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表記法
x^yはxのy乗
e^xはexp(x)もオッケー
anはaに添え字n
極限はlim(x→a)
n回微分はd^nf/dx^nまたは略してf^(n) 定積分は∫(a,b)
Σ計算はΣ(k=1~n)
またはΣ(条件)
条件は例えば1≦i<j≦nと書くと、1≦i<j≦nを満たす整数i、jですべて足し上げる。
ルートや分数は√(a+b)、(a+b)/(c+d)
複素共役z~
ベクトルa→単にaとする時もあり
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東京大学2019年度理系第一問、定積分の問題の解説
さて物干し竿な季節となりましたが、東京大学2019年度理系第一問積分の問題を解説していきます。



[問題]
20190607164047073.jpg
次の定積分を求めよ。

∫(0,1)(x²+x/√(1+x²)(1+x/(1+x²)√(1+x²)dx


[解答と解説]
√(1+x²)の積分は東大でも京大でもよく出てきますね。
そらもう
√(1+x²)=t-xとかx=tanθ
と置換やろ。

20190607164049eb8.jpg

いつものやり方ですね
1+x²=t²-2tx+x²でxについて解いて
x=(t²-1)/2t
微分して
dx=(t²-1)/2t²dt
それで
√(1+x²)=t-x=t-(t²-1)/2t²=(t²+1)/2t²
やったな。

もうお決まりや。

ちゃうねん、ちゃうねん。

もうお決まりやねん。

x=0のときt=1
x=1のときt=1+√2で
∫(1,1+√2)((t²-1)/2t+2t/(t²+1)(t²-1)/2t)(1+((t²-1)/2t)/((t²+1)/2t)³)dt


ってやってると


あれ?あいつおらへんぞ

って探してたら

20190607164050ede.jpg

冷たくなって倒れてるところを発見されることになります。



これは頑張ったら出来るねんけど、それは理論上できるっていう話なだけであって限られた時間で要領よく解く方法と言うわけではないねん。

そしたらどうすればよいのかと言うと


展開して整理して、項がそれぞれどうなってるかを見てあげるねん。

よく考えると、どの積分は普通は展開してそれぞれの項ごとにどうやって計算してあげたらいいかを無意識にやってるしな。
201906071641239d6.jpg

展開していくと


x/√(1+x²)
はそもそも普通に積分できました。

[1/3x³+√(1+xx²)](0,1)
=√2-2/3


すると残りの項は
x³/(1+x²)√(1+x²)

x²/(1+x²)²
は√(1+x²)があるからx=tanθとかでやってみよか

20190607164159e26.jpg

x=0のときθ=0
x=1のときθ=π/4
と対応させて
dx=1/cos²θdθ

そしたら
(1-cos²θ)/cos²θ・sinθの項は
(cosθの関数)×(cosθ)'

sin²θは(1-cos2θ)/2
で積分できますね。

これで
[1/cosθ+cosθ+1/2θ1-1/4sin2θ](0,4/π)
=(3√2)/2-9/4+π/8
やからあわせて

(5√2)/2-35/12+π/8

となります。


やることは基本的なのに詰まる。
東大らしい問題ですが,過去問で慣れて点数を固めてください。

東京大学の入試の数学の過去問の解説


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東京大学2016年度理系文系第二問、確率の問題の解説
さきほど股関節の右側のところから、右足の親指の爪にかけて

ぶるえ~!!!!!

ってなってました。


東京大学2016年度理系文系第二問の確率の問題を解説いきます。


[問題]
20160707044842d67.jpg

A,B,Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

(a)1試合目でAとBが対戦する。
(b)2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
(c)k試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は1/2で、引き分けはないものとする。

(1)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。



{文系は問いが一つ追加で
(1)ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(3)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。
}

[解答と解説]
(1)
Aが優勝するのは…
20160707044843fe5.jpg
AとBが戦ってAが勝ち、AとCが戦ってAが勝つときやろ
AとCが戦ってAが勝ち、AとBが戦ってAが勝つときやろ

だからn試合目では

って理論的に考えると…


二日後に家で

20160707044845591.jpg
こういう状態で発見されます。



どうやったら、こうなるねん!



20160707044846a51.jpg

そこで麦藁帽子かぶって、草原を走り回ってる何も考えてない全時代的なやつおるやん。
そういうやつは、あほそうで絶対解けなさそうやねんけどまずは全部書いてみるやん。


201607070448488a2.jpg

そしたら3回ごとに繰り返すって結構すぐにわかるねん。


東大の確率はまずは、こんなあほに解けるんかって感じでまずは全部書いてみる処理が多いねん。

こういう処理の感じを覚えていくのが東大のコツやねん。

しかも、実際に文系は5試合目で優勝するのを求めさせて、あほへの誘導がついてるしな。


ちなみに実はこの確率は他の大学でも、過去にほとんど同じ問題でてます。

と言うことで

2016070704492123a.jpg

n=3kのときは、Aが勝つことはないから確率0

上の方の樹形図のn=3k-1のとき
ACB ACB … ACB AA
ってACBがk-1個続いてからのAAやから
{(1/2)^3}^(k-1)・1/2・1/2=1/4・(1/8)^(k-1)

下の方の樹形図のn=3k+1のときは
BCA BCA … BCA A
ってBCAがk個続いてからのAで
{(1/2)^3}^k・1/2=1/2・(1/8)^k

どっちも1通りやから単に1/2かけていって(1/2)^nなだけやねんけどな。


(2)
20160707044922c8d.jpg

どうってことない普通の条件付き確率やな。
新課程やから、無理に出したんかもしれん。


条件付き確率は

3m回以下でA優勝した事象を新しい全体にするねん。

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになるのはどれくらいの割合かを計算するわけやな。

だから

新しい全体の大きさは
Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになる部分の大きさは

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

で割合は

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k/{Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k}

これを計算して

(8^m-8)/(5・8^m-12)
ですね。

ありがとうございました。



東京大学の入試の数学の過去問の解説

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京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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