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東京大学2016年度理系文系第二問、確率の問題の解説
さきほど股関節の右側のところから、右足の親指の爪にかけて

ぶるえ~!!!!!

ってなってました。


東京大学2016年度理系文系第二問の確率の問題を解説いきます。


[問題]
20160707044842d67.jpg

A,B,Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

(a)1試合目でAとBが対戦する。
(b)2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
(c)k試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は1/2で、引き分けはないものとする。

(1)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。



{文系は問いが一つ追加で
(1)ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(3)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。
}

[解答と解説]
(1)
Aが優勝するのは…
20160707044843fe5.jpg
AとBが戦ってAが勝ち、AとCが戦ってAが勝つときやろ
AとCが戦ってAが勝ち、AとBが戦ってAが勝つときやろ

だからn試合目では

って理論的に考えると…


二日後に家で

20160707044845591.jpg
こういう状態で発見されます。



どうやったら、こうなるねん!



20160707044846a51.jpg

そこで麦藁帽子かぶって、草原を走り回ってる何も考えてない全時代的なやつおるやん。
そういうやつは、あほそうで絶対解けなさそうやねんけどまずは全部書いてみるやん。


201607070448488a2.jpg

そしたら3回ごとに繰り返すって結構すぐにわかるねん。


東大の確率はまずは、こんなあほに解けるんかって感じでまずは全部書いてみる処理が多いねん。

こういう処理の感じを覚えていくのが東大のコツやねん。

しかも、実際に文系は5試合目で優勝するのを求めさせて、あほへの誘導がついてるしな。


ちなみに実はこの確率は他の大学でも、過去にほとんど同じ問題でてます。

と言うことで

2016070704492123a.jpg

n=3kのときは、Aが勝つことはないから確率0

上の方の樹形図のn=3k-1のとき
ACB ACB … ACB AA
ってACBがk-1個続いてからのAAやから
{(1/2)^3}^(k-1)・1/2・1/2=1/4・(1/8)^(k-1)

下の方の樹形図のn=3k+1のときは
BCA BCA … BCA A
ってBCAがk個続いてからのAで
{(1/2)^3}^k・1/2=1/2・(1/8)^k

どっちも1通りやから単に1/2かけていって(1/2)^nなだけやねんけどな。


(2)
20160707044922c8d.jpg

どうってことない普通の条件付き確率やな。
新課程やから、無理に出したんかもしれん。


条件付き確率は

3m回以下でA優勝した事象を新しい全体にするねん。

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになるのはどれくらいの割合かを計算するわけやな。

だから

新しい全体の大きさは
Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになる部分の大きさは

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

で割合は

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k/{Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k}

これを計算して

(8^m-8)/(5・8^m-12)
ですね。

ありがとうございました。



東京大学の入試の数学の過去問の解説

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横浜市立大学医学部2016年度第二問、確率の問題の解説
雨が最近よく降りますね。

これは最近、よく雨が降るってことかもしれんな。


それでは
横浜市立大学医学部2016年度第Ⅱ問の確率のいっときます。


[問題]
201606140249132c9.jpg

n枚のカードの表(おもて)面に相異なる整数値が書かれている。ただし、どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない。
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている。ここから1枚ずつ好きなカードをめくっていき、書かれている数値がn枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる1人ゲームを考える。n枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合、次にめくるカードがないのでゲームは終了である。
ゲームの勝敗は、最後にめくったカードに書かれていた数値がn枚のカードの中で最大であれば勝ち、そうでなければ負けとする。

n未満の自然数kについて以下の戦略S_kを考える:

はじめのk枚までは必ずめくり、そのk枚に書かれていた数値のうち最大のものをMとする。k+1枚目以降でMより大きな数が書かれたカードをめくったら、ただちにめくるのをやめる。

戦略S_kにしたがって場合に、このゲームに勝つ確率をP_n,kとする。以下の問いに答えよ。

(1)P_3,1を求めよ。

(2)iをk+1以上、n以下の整数とする。戦略S_kにしたがった場合に、ちょうどi枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ。

(3)nが十分に大きいとき、戦略S_kを使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう。nに対してどのくらいのkを用いるかによって勝てる確率は変わる。簡単にするため、n=3pの場合を考える。ただし、pを自然数である。このときk=pとして、極限値
lim(p→∞)P_n,k
を求めよ。


[解答と解説]
(1)
これはルールを把握するためにも、誘導がなくても具体的な値で考えてみたいとこやな。
3つのカードなら並べ方が3!の6通りしかないから全部書いてもたらええわ。
3つのカードを小さいものから、1,2,3として

20160614024914b1c.jpg

1 ②3 あかんやつ
1 ③2 ええやつ
2 1③ ええやつ
2 ③1 ええやつ
3 2① あかんやつ
3 1② あかんやつ

この6つが同様に確からしい(確率が全て等しい)から、(ええやつ通り)/(全通り)を求めたらええねん。

ええやつは6つのうち3つより
3/6=1/2やな。


(2)i枚目にちょうどカードをめくって勝つには

あれですね。

そう、あれですね。

カードを小さい順に1,2,3,…,nとして
2016061402491568b.jpg

最初のk枚a_1,a_2,…,a_kとして、最大のをmとするやろ。
それでそのk枚の選び方はn_C_k通りやろ

k+1枚目から、i-1枚目までをa_(k+1),…,a_(i-1)として選び方は(n-k)_C_(i-k-1)
やろ。

a_m>a_(k+1),a_(k+2),…,a_(i-1)

となるのは…




って考えてると


2016061402491783b.jpg

六つ子ふにゅ、イケメン化F6でお蔵入りになります。



こういうのはな、最初から一般化で考えるとわかりにくかったりするねん。

具体的にやってみてから、一般化を掴でいくとええやろな。

(1)で実際に、具体的にやらされてるしな。


と言うことでn=8,k=3,i=6で考えてみよか。
20160614024918231.jpg
12(3) ④56 あかんやつ
12(8) 34⑤ あかんやつ
1(5)4 23⑧ ええやつ
2(7)3 16⑧ ええやつ
1(6)5 4⑧1 あかんやつ

最後が8のやつしかあかんやろ。

全部書いていくと

□□□ □□8
□□□ □□7
□□□ □□6
□□□ □□5
□□□ □□4
□□□ □□3
□□□ □□2
□□□ □□1

のうち□□□□□8のとこにしかないねん。

そのうち1枚目から7枚目までで、最大のものが最初の3枚目までに出てこないとあかんな。

最大を△とかくと
△□□ □□8
□△□ □□8
□□△ □□8
□□□ △□8
□□□ □△8

これで全部やな。


こうやって全部描くと、どの並びも同様に確からしいに注目しやすくなるねん。

そしたら
(ええやつ通り)/(全通り)
を求めればええことになるやろ。

すると
1/8の□□□□□8のうち△が最初の三つに入ってる割合3/5
より
1/8×3/5
と求められるねん。



と言うことで後は一般的に書けばよくて
2016061402495019b.jpg
i枚目がnなのは1/n
そのうち1枚目からi-1枚目から最大の△が1枚目からk枚目になっているものはk/(i-1)なので
1/n・k/(i-1)=k/(n(i-1))

と求まります。
こうやって図で全部書く感じで書いたら伝わりやすいやろな。



ただ更に言うとi枚並べると同様に確からしい(確率が等しい)と言うことは

ただの場合の数の問題になるから順番をかえて数えたらよくなるねん。

だから条件が厳しい順に決めていって

20160614024951f07.jpg

i枚目はnで確率1/n
1枚目からk枚目までにlは場所がk通りの確率1/(n-1)
他は単にl-1以下を並べていけばええから
1/n・1/(n-1)・(l-1)/(n-2)・(l-2)/(n-3)・…・(l-(i-2))/(n-(i-1))
これでlはi-1からn-1まで足せばええねん。

しかもややこしく見えるけど、
(l-1)(l-2)…(l-(i-2))
は連続i-2整数の積やから、このΣは
1/(i-1)・{l(l-1)(l-2)…(l-(i-2))-(l-1)(l-2)…(l-(i-2))(l-(i-1))}
で階差数列にして簡単にΣ計算できるわけやな。

これで普通に計算してくれたらええわ。

これは説明がしやすくて満点がとりやすそうなのがええな。


(3)
20160614024953bfd.jpg
これはただの区分求積やから余裕やな。

もう説明いらんやろ。

写真見といてください。



いやあ、それにしても横浜市立医学部の確率は毎回結構大変やな。


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Author:かずゆき
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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