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わんこら式数学の勉強法 どういうわけか、これを読んで成績上昇した人が続出してます。 非常に反響が大きいので書籍化も考えてます。 →わんこら式数学の勉強法をやった人の声 勉強法 他に参考書の勉強の仕方(数学に限らず)、参考書のブックリスト、ノートの選び方とか暗記の方法などなど 高校数学の問題や公式 (公式や解法パターンなどの解説) 整数問題の解法の解説と問題演習 (整数問題の解法パターンや演習用に整数問題を集めました) 中学数学の問題や公式 (中学数学の基本公式から難問まで扱ってます) 中学受験の算数の問題の解答や解説 (まだ少ないですが、頑張ります) 高校物理 数理物理 理論物理と数学の中間的な記事。内容は大学レベルまで。 各大学別、過去問の解説のまとめ 東京大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理系、文系の解説も完了 京都大学入試の数学の過去問の解説 2009年度理系甲乙と文系の解説も完了 東京工業大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度の解説も完了 一橋大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度の解説も完了 神戸大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度の解説完了 大阪大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理系の解説も完了 慶応大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理工学部と医学部の解説完了 早稲田大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理工学部の解説完了 センター試験の過去問の解説 2009年度のも解説済み 数学の入試問題などの解答、解説 色々な問題 東京大学の入試の物理の過去問の解説 2009年度だけ わんこら日記 日記ブログでも数学の問題を解説してます。このブログの更新情報も書いてます。 数学、物理のネタ わんこら日記で、数学とか物理系の話。大学の専門的な内容まで色々 メールは→メール 上のは迷惑メールにされる危険があるので出来ればkazuyuki_ht☆guitar.ocn.ne.jp（☆を@にしてください）にしてください。 mixiは パソコンはこっち 携帯はこっち わんこら式数学の勉強法をやる会のmixiのコミュニティ↓ パソコンはこっち 携帯はこっち 数学の質問や相談、依頼、その他何でも気軽にメッセージください。 家庭教師の依頼とかは神戸周辺なら何とかなります。 プロフィール メルマガで更新情報も発行してます。 携帯はこっちに空メール送信で登録できます。→わんこらメルマガ登録(携帯用) 表記法 x^yはxのy乗 e^xはexp(x)もオッケー anはaに添え字n 極限はlim(x→a) n回微分はd^nf/dx^nまたは略してf^(n) 定積分は∫(a，b) Σ計算はΣ(k=1〜n) またはΣ(条件) 条件は例えば1≦i＜j≦nと書くと、1≦i＜j≦nを満たす整数i、jですべて足し上げる。 ルートや分数は√(a+b)、(a+b)/(c+d) 複素共役z~ ベクトルa→単にaとする時もあり aが底、bが真数の対数はlog_a(b) リンクについて…相互リンク募集してますので希望の方はメールへお願いします。 単にリンクしたい方はリンクしてください。一言メールくれると嬉しいです。 受験系のリンクが集まってます リンク集  |
▲ページトップへ| 必要条件を出して条件を絞る、またはそれが十分条件であることを示す流れの解法 |
| 今回は、必要条件で条件を絞ったら、甘い空間がひろがる話をしたいと思います。 まずこんな問題があったとします。  f(x)=x^2-2ax+2a+2 g(x)=x^2-(2a-3)x-6aとする。 どんなxに対しても「f(x)＞0またはg(x)＞0」が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。 それで解いてこうとするとまず  g(x)=(x-2a)(x+3) と因数分解出来るから g(x)≦0になる範囲でf(x)＞0を示したら良さそうと言う見通しを立てて、結局は二次関数f(x)の解の配置問題になってきて、使いそうな値を調べておくと f(x)=(x-a)^2-a^2+a+2 軸:x=a f(2a)=2a+2 f(-3)=8a+11 f(x)=0の判別式をDとすると D/4=a^2-2a-2 ってなります。 それで2aと-3は大小関係がわからんから、まずこれで場合わけしてそれで、その範囲でf(x)＞0になるように軸の位置で場合わけしたらええってことになりそうですね。 ここまでよくある流れやな。 さあて場合わけするか。  (i)2a＜-3⇔a＜-3/2の時 g(x)＞0⇔x＜3a,-3＜x で 2a≦x≦-3でf(x)＞0になればよいから 軸:x=a＜2aで、f(2a)＞0 または 軸:2a≦a≦-3で,D＜0 … (ii)2a＞-3⇔a＞-1の時 … ってやると二時間後  公園で太陽の子になって静止してることになります。 自分では太陽を抱きかかえてるつもりやねんけど、周りから見たらちょっと近づいたらあかんよ系になってる状態です。 こんなことなったらもう手遅れです。 そんなことならんようにするには、よくあるのが 「必要条件によって条件を絞る」 ことやねん。 「必要条件によって条件を絞る」 もっかい言うとこか？ 「必要条件によって条件を絞る」 それでどうするかと言うと、 ある範囲で成り立つ とこれば その範囲のある点でも成りたつ のが必要やからそれを調べてみるねん。 これで求まる条件はあくまで必要条件で、答えではないけどこれは満たさなければなりません。 今回の場合、すべての実数xでf(x)＞0,g(x)＞0が成り立つようなaを求めなあかんねんけど、x=2aとx=-3でも成り立つはずやん。 なんでx=2aとx=-3を選んだかと言うとg(2a)=g(-3)=0やから、f(2a)＞0,f(-3)＞0にならなあかんからやねんな。 だからx=2aとx=-3でf(x)＞0が必要なわけやな。 これによって出てくる条件は答ではないねんけど、 その条件は満たさなければならないねん。 f(2a)＞0かつf(-a)＞0 ⇔ 2a+2＞0かつ8a+11＞0 ⇔ a＞-1かつa＞-8/11 ⇔ a＞-1 でa＞-1が必要です。 a＞-1が別に答えではないねんけど、a＞-1まで条件を絞ることが出来たら -3＜-2＜2a だから-3と2aの大小関係もわかるわけや。 これで大幅に場合分けが減るねんな。 と言うことは後は軸x=aが-3≦x≦2aに入るか、右にあるか左にあるかで場合わけしたらよくて -3≦a≦2aの時つまり0≦aのときと 2a≦aの時つまり-1＜a≦0のときを調べたらええねん。 a≦-3はありえへんからふたつだけですわ。 だから解答は   こうなります。 後は写真見といてください。 こうやって、必要条件で条件を絞ったり、または出てきた条件が十分条件であると示したりするような流れの解答が有効なことがものすごく多くて入試問題でも出まくります。 一見、意図がわからないことが多いねんけど、これは必要条件で条件を絞ってるなってわかってこれたらなあって思います。 そしたら必要条件で条件を絞ってたり、出てきた必要条件が十分条件になってるとか言うような流れを使った問題の解答を適当に紹介しとこか。 整数問題、東京大学2006年度理系前期第四問の解説 行列の問題、慶應大学2009年度理工学部B1の解説 一次変換の問題、大阪大学2009年度理系第2問の解説 三角関数の図形問題、京都大学2009年度理系甲第2問の解説 整数問題と不等式の問題、一橋大学2008年度前期数学の第1問の解説 整数問題と極限値の応用問題、東京工業大学2008年度前期第2問の解説 二次不等式の問題 高校数学の公式や問題の解説  |
▲ページトップへ| 正規部分群はどういう意味があるか |
正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。 まずは定義は Gを群として、HがGの部分群で H=gHg^-1(∀g∈G) (gHg^-1:={ghg^-1|h∈H}) を満たすとき、HをGの正規部分群と言います。 まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。 なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。 それで定義も忘れると。 そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。  だいたいこんな感じ。 これでだいたい、 せ…正規部分群…おまえ… ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。 だから大学の数学は意味はわからんけど、とりあえずは何となく書いて覚えてみて進めまくることで関連性とか同じような考え方とかが出てきてわかってきたり、記憶が定着したりするねんな。  剰余集合G/Hを考えて、これが自然に群の構造を持つにはどうなればええかってことを考えてみるねんけど、群の構造を持つとしたらGの任意の元a,bに対して (ah)(bh')=abh'' (h,h',h''∈H) と言うような演算が成り立たなあかんわけやな。 でも群は可換とは限らないから (ah)(bh')=abh'' ⇔ ahbh'=abh'' で計算がとまってしまうねん。 もしGがアーベル群なら積の順番が交換できるから ahbh'=abhh' なわけやからh''=hh'で特に問題なく (ah)(bh')=abh'' は成り立ってるねん。  ただGがアーベル群でなくても ahbh'=abh'' ⇔ a(hb)h'=abh'' でhb=bh'''となるようなら ahbh'=abh'''h' でh''=h'''hでうまいこといくねん。 だからアーベル群より緩い Hb=bH ぐらいの可換性が任意のGの元bで成り立てばええわけやねん。 Gの元bとHの元hは交換することは出来なかったとしても hb=bh''' と言うようにHの中の他の元になるけど、交換らしきことを考えるねん。 するとHb=bHって言うのは文字を書き換えると gH=Hg(∀g∈G) が成り立つことやけど、これはg^-1を右から作用させて gHg^-1=H になるから、正規部分群になりますやん。 だから、正規部分群って言うのは剰余集合が群になる意味があって、可換性が求められるねんけど、アーベル群ほどの可換性はないけどもう少し緩い可換性やねん。 アーベル群 xy=yx(∀x,y∈G) 正規部分群 xH=Hx(∀x∈G) こうやって、関連性とか意図が見えてくるとわかりやすくなったりするねんけどな。 それが見えてくるには、そこでわからんって悩んだりし続けるんじゃなくて手を動かして書いてとりあえずは覚えてみてどんどん進めていくことで見てくるねん。 そしたらこれをもう少しちゃんと書くと  群Gの正規部分群Hに対して (xH)(yH)∈G/H×G/H→G/H∋(xyH) (x,y∈G) と定める乗法によりG/Hは群になり Ψ:x∈G→G/H∋xH により定まる写像ΨはGからG/Hの上への凖同型である。 [証明]  y∈Gのとき、yHy^-1=Hゆえ Hy=yH よって (xH)(yH)=x(Hy)H =xyHH =xyH がGの部分集合として成立してる。 よって,G/Hにおける演算 (xH)(yH)=xyH は元xH,yHの表し方に関係なく定まる。 これはwell-definedってやつやな。 xH=x'H、yH=y'Hの時にもし xyH≠x'y'H になったら、写像として意味がないねんな。 でもさっきの計算から (xH)(yH)=xyH がGの部分集合として成り立っていて (x'H)(y'H)=x'y'H もGの部分集合として成り立っていてxH=x'H、yH=y'Hの時は xyH=x'y'H もGの部分集合として成り立つからオッケーやねん。  次に結合法則は x,y,z∈Gに対して ((xH)(yH))(zH)=(xyH)(zH) =(xy)zH =x(yz)H =(xH)(yH)(zH) G/Hの単位元はHで (xH)(x^-1H)=xx^-1H =H だからx^-1HがxHの逆元 だからG/Hは群になる。 Ψ(xy)=xyH =(xH)(yH) =Ψ(x)Ψ(y) よりΨは凖同型 数理物理 |
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