| 勉強法、大学別過去問などのカテゴリー、質問のメール、数学の表記法など |
|
わんこら式数学の勉強法 どういうわけか、これを読んで成績上昇した人が続出してます。 非常に反響が大きいので書籍化も考えてます。 →わんこら式数学の勉強法をやった人の声 勉強法 他に参考書の勉強の仕方(数学に限らず)、参考書のブックリスト、ノートの選び方とか暗記の方法などなど 高校数学の問題や公式 (公式や解法パターンなどの解説) 整数問題の解法の解説と問題演習 (整数問題の解法パターンや演習用に整数問題を集めました) 中学数学の問題や公式 (中学数学の基本公式から難問まで扱ってます) 中学受験の算数の問題の解答や解説 (まだ少ないですが、頑張ります) 高校物理 数理物理 理論物理と数学の中間的な記事。内容は大学レベルまで。 各大学別、過去問の解説のまとめ 東京大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理系、文系の解説も完了 京都大学入試の数学の過去問の解説 2009年度理系甲乙と文系の解説も完了 東京工業大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度の解説も完了 一橋大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度の解説も完了 神戸大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度の解説完了 大阪大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理系の解説も完了 慶応大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理工学部と医学部の解説完了 早稲田大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理工学部の解説完了 名古屋大学の入試の数学の過去問の解説 2009年度理系の解説も完了 東北大学の入試の数学の過去問の解説 センター試験の過去問の解説 2009年度のも解説済み 数学の入試問題などの解答、解説 色々な問題 東京大学の入試の物理の過去問の解説 2009年度だけ わんこら日記 日記ブログでも数学の問題を解説してます。このブログの更新情報も書いてます。 数学、物理のネタ わんこら日記で、数学とか物理系の話。大学の専門的な内容まで色々 メールは→メール 上のは迷惑メールにされる危険があるので出来ればkazuyuki_ht☆guitar.ocn.ne.jp（☆を@にしてください）にしてください。 mixiは パソコンはこっち 携帯はこっち わんこら式数学の勉強法をやる会のmixiのコミュニティ↓ パソコンはこっち 携帯はこっち 数学の質問や相談、依頼、その他何でも気軽にメッセージください。 家庭教師の依頼とかは神戸周辺なら何とかなります。 プロフィール メルマガで更新情報も発行してます。 携帯はこっちに空メール送信で登録できます。→わんこらメルマガ登録(携帯用) 表記法 x^yはxのy乗 e^xはexp(x)もオッケー anはaに添え字n 極限はlim(x→a) n回微分はd^nf/dx^nまたは略してf^(n) 定積分は∫(a，b) Σ計算はΣ(k=1〜n) またはΣ(条件) 条件は例えば1≦i＜j≦nと書くと、1≦i＜j≦nを満たす整数i、jですべて足し上げる。 ルートや分数は√(a+b)、(a+b)/(c+d) 複素共役z~ ベクトルa→単にaとする時もあり aが底、bが真数の対数はlog_a(b) リンクについて…相互リンク募集してますので希望の方はメールへお願いします。 単にリンクしたい方はリンクしてください。一言メールくれると嬉しいです。 受験系のリンクが集まってます リンク集  |
▲ページトップへ| 微分積分のグラフの問題、関西大学システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部2009年度（2月1日）の第一問の解説 |
| 鼻水が出るとのが寂しいことのように感じるこの頃ですね。 今回は微積分のよくある標準的なグラフの問題です。 関西大学システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部の2009年度2月1日実施 [問題]  f(x)=1/(1+e^(2x-1))(-∞＜x＜∞) とおく。次の[ ]をうめ、設問(2),(3)に答えよ。 (1)f(x)の導関数f'(x)は f'(x)=[1] であり、f(x)の2次導関数f''(x)は f''(x)[3]/(1+e^(2x-1))^2 である。 曲線y=f(x)には、変曲点が1つある。変曲点の座標は[3]である。 曲線y=f(x)には、漸近線が2本ある。そのうちの1つは,y=0である。 もう一方の漸近線の方程式は[4]である。 (2)曲線y=f(x)の増減表を記述蘭にかき、変曲点と漸近線が分かるように、y=f(x)のグラフの概形を解答用紙の[5]にかけ。 (3)[4]で求めた漸近線,y軸,直線x=1と曲線y=f(x)によって囲まれてできる領域の面積を求めよ(解答は記述蘭にかけ)。 [解答と解説] (1)  まずf(x)の微分です。 1+e^(2x-1)で微分してから、1+e^(2x-1)をxで微分です。 f''(x)を求めるのはこういう f'(x)=-2e^(2x-1)/(1+e^(2x-1))^2 のような分数関数の微分は結構大変なとこでよく計算間違いしますが、こういう答えしか受け付けませんって言わんばかりの問題は逆に恐いとこです。 分数関数f(x)/g(x)の微分 (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2 にあてはめて計算したってください。 変曲点はあるとすればf''(x)が0になるとこでf''(x)=0になるのはe^(2x-1)のとこが0の時だけ、つまり2x-1=0⇔x=1/2の時だけだからこれが f(1/2)=1/2で(1/2,1/2)が答えです。 穴埋めやからこれでええねんけど、記述式ならこれは不十分でした。 変曲点はf''(x)の符号が切り替わる点であって,0だからと言って変曲点とは限りません。 例えば f''(x)=(x-2)^2 やったら、f''(2)=0やけどf''(x)=(x-2)^2≧0やからずっと上に凸な関数で凹凸がx=2で切り替わってません。 まあだから本当は増減表を書いてもて、変曲点はx=1/2のとこって言うのが一番明確やねんけど簡易的に書くとしたら f''(x)=0⇔x=1/2 f''(x)＞0⇔x＞1/2 f''(x)＜0⇔x＜1/2 でx=1/2のとこでf''(x)の符号が切り替わってることを書いておけばええかな。 漸近線はy=0の方はx→∞の方の極限やから、もう一つはx→-∞の方を考えたらよくて e^(2x-1)→0やから lim(x→-∞)f(x)=1/(1+0)=1 でy=1がもう一つの漸近線です。 (2)  増減表を書いてグラフを描いたってください 漸近線と変曲点も書き入れといてな。 (3)  求める面積は0≦x≦1のとこでy=1とy=f(x)にはさまれた部分で S=1-∫(0→1)1/(1+e^(2x-1))dx を求めたらオッケーです。 まあこう来たら、だいたいe^xの関数やったらt=e^(2x-1)とか置換したらだいたい上手く行くかな。 t=e^(2x-1) から dt=2e^(2x-1)dx ⇔ dt/(2e^(2x-1))=dx やけど左辺はtの関数にしたいとこやからe^(2x-1)をもっかいtに書き換えるのがコツで dt/(2t)=dx それで x|0|…|1| t|1/e|…|e| 後は計算して S=1-∫(1/e→e)1/(2t(1+t))dt この積分は 1/(t(t+1))=1/t-1/(t+1) と言うように部分分数にしたらよかったですね。 まあこんなことオレが言うまでもなかったか。 すいません。 答えは1/2になります。 結構きれい過ぎて不安になる値やな。 高校数学の入試問題などの解説  |
▲ページトップへ| 確率の問題、東北大学2009年度文理共通第3問の解説 |
| はさみが欲しいときはオレに言ってくれ。 東北大学2009年度の文理共通の第三問の解説 [問題] 袋の中に青玉が7個、赤玉が3個入っている。袋から1回につき1個ずつ玉を取り出す。一度取り出した玉は袋に戻さないとして、以下の問いに答えよ。 (1)4回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ。 (2)8回目が終わった時点で赤球がすべて取り出される確率を求めよ。 (3)赤球がちょうど8回目ですべて取り出される確率を求めよ。 (4)4回目が終わった時点で取り出されている赤球の個数の期待値を求めよ。 文系は(3)まで、理系は(4)まで。 [解答と解説] こういう玉を取り出していって袋に戻さない試行は、玉を左から順番に並べていく試行をに読みかえると非常に簡単になることが多いです。 ただ気をつけて欲しいのは確率やから、青玉とか赤玉とか色が同じものでも全て区別して数えてください。 参照→確率と場合の数の違い、同様に確からしいとは… (1)  4回目に初めて赤玉が取り出される確率は、1〜3番目まで青で4番目に赤がくるときです。 だから確率は 1〜3番目の青玉の並べ方7P3 4番目の赤玉の選び方3C1 残り6個を並べて6! だから 7P3・3C1・6!/10!=1/8 言葉でごちゃごちゃ考えて説明するより絵を書いて考えて簡潔に説明したってください。 (2) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されるのは、9番目と10番目が青玉になるときです。 だから条件の厳しいほうから並べていけば良かったから 9番目10番目に青玉を並べる方法は7P2通り 残り8個を並べて8!通りで 求める確率は 7P2・8!/10!=7/15 (3)  赤球がちょうど8回目ですべて取り出されるのは8回目が赤で9回目,10回目が青の時だから 8番目の赤を選ぶ方法は3C1 9番目,10番目に青を並べる方法は7P2 残り7個並べて7!通り よって求める確率は 3P1・7P2・7!/10!=7/40 (4)  4回目が終わった時点で赤玉の個数をX個とおいて、X=k(k=0,1,2,3)となる確率をP(X=k),Xの期待値をE(X)と置いておいて、まあここまで別に丁寧に定義しなくてもええねんけど何回も 4回目が終わった時点で赤玉の個数が〜 って書くとしんどいからな。 (i)X=3の時 1〜4回目に赤が3個、青が1個だから 赤の選び方3C3 青の選び方7C1 その四つの並べて方は4! 残り6個並べて6! P(X=3)=3C3・7C1・4!・6!/10!=1/30 (ii)X=2の時 1〜4回目に赤が2個、青が2個だから 赤の選び方3C2 青の選び方7C2 その四つの並べて方は4! 残り6個並べて6! P(X=3)=3C2・7C2・4!・6!/10!=3/10 (iii)X=1の時 1〜4回目に赤が1個、青が3個だから 赤の選び方3C1 青の選び方7C3 その四つの並べて方は4! 残り6個並べて6! P(X=3)=3C1・7C3・4!・6!/10!=1/2 よって E(X)=3・1/30+2・3/10+1・1/2=6/5 でもこれは  玉10個中、3個が赤玉ってことは玉が1個当たりに赤玉の割合は3/10なわけやから4個取り出すと赤玉が取り出された期待値は 3/10×4=6/5 って勘でわかるねんけどな。 計算は簡単やけど、説明は難しいって感じやな。 東北大学の入試の数学の過去問の解説 |
▲ページトップへ
