受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

10進法とn進法の変換方法
n進法について説明します。


まずは次の問題を考えて下さい。


[問題]
たかし君は23725円のスヌーピーの人形を買おうと思いました。

たかし君は1円玉を23725個持ってきたとします。

どうなりますか?






[答え]
角に追い詰められてミゾオチに膝蹴りかまされまくる。
100211m1.jpg


1万円札を2枚,千円札を3枚,100円玉を7枚,10円玉を2枚、1円を5枚持ってきてたら、たかし君は内臓破裂せずにすんでいたのです。

つまり数を表すときは1が何個あるかなんか考えてたら大変やねん。

そこで23725のような場合一番大きい10000が2個ある。
残り3725では1000は3個ある。
残り725では100が7個ある。
残り25では10が2個ある。
残り5では1が5個ある。
こうやって大きい順に何個あるかを与えていけば
10000が2個で、1000が3個で、100が7個、10が2個、1が5個の数

って簡単に表現あらわせるねん。

その2,3,7,2,5を
23725
って左から並べて数をあらわします。


この10の何乗が何個あるか?って考えて数を表す方法を10進法と言います。

普段使ってる数が10進法です。


ここを2にしたのが2進法,3にしたのが3進法、4にしたのが4進法、…、
nにしたのがn進法です(nは自然数)


例えば10進法で563は3進法であらわすとどうなるか?

まず3^5=243が2個で残り563-243×2=77

77に3^4=81は0個で残りはまだ77のまま

77に3^3=27は2個で残りは77-27×2=23

23に3^2=9は2個で残りは23-9×2=5

5は3は1個で残りは5-3=2

2は1が2個

だから3進法では

202212

って表せるねん。


10進法への直し方は3^5=243が2個、3^4=81は0個、3^3=27は2個、3^2=9は2個、3は1個、2は1が2個って言う意味やから

243×2+81×0+27×2+9×2+3×1+1×2=563

って表せます。


ただ10進法からn進法に直すには小さい桁から出していった方が簡単です。


さっきので563を3進法であらわすのも

563を3で割ると商187で余り2やから下から1桁目は2

187を3で割ると商62で余り1やから下から2桁目は1

62を3で割ると商20で余り2やから下から3桁目は2

20を3で割ると商6で余り2やから下から4桁目は2

6を3で割ると商2で余り0やから下から5桁目は0

2は3で割ると商0で余り2やから下から6桁目は2

で3進法では

202212

と表せる。

100211m2.jpg
100211m3.jpg

やってることは

563=243×2+81×0+27×2+9×2+3×1+1×2
=3(81×2+27×0+9×2+3×2+1)+2
=3(3(27×2+9×0+3×2+2)+1)+2
=3(3(3(9×2+3×0+2)+2)+1)+2
=3(3(3(3(3×2+0)+2)+2)+1)+2
=3(3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2)+2

と言うことです。

3(3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2)+2
3で割ると商が(3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2)で余りが2が出てくる。
この2は下から1桁目やった。

その商3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2を3で割ると商が3(3(3(2)+0)+2)+2で余り2が出てくる
この2は下から2桁目やった




実際の計算はこれを使ってください。

もう意味わからんようになってきてその辺で血吐いてる人も計算方法だけは覚えてください。


100211m4.jpg

ちなみに7進法で2.415って小数であらわされてると

2+4×1/7+1×(1/7)^2+5×(1/7)^3

って言う意味になります。


一般的な書き方すると数Mをn進法で表すには

100211m5.jpg

M=Σ(k=-i~j)a_k・n^k
(a_kは0≦a_k≦n-1の整数)

となるa_kは一意に決まってn進法では
a_ja_(j-1)…a_1a_0a_(-1)…a_(-i)
と表わすと言うことになります。


これがMが負の整数でも一意になります。
しかし無限に項が必要になったりします。


例えば-1を7進法で表すと余りが0~6になればいいから
-1を7で割ると商は-1,余り6
商の-1を7で割ると商は-1,余り6

永遠と続く

だから-1は7進法では

…66666666666

そういえば0.99999999…=1やったけど-1を10進法で表すと実は
-1=…9999999999
って9を無限に並べたやつで、実際
…99999999×…9999999=…000000001
(-1)×(-1)=1
となってるねんな。


これで-1も永遠の安らぎを得ました。


ここでまたn進法とは違うものですがp進整数を紹介しときます。

100211m6.jpg

pを素数とします。
何故素数かはZ/pZが体になるからです。

例えばZ/10Zでは5には何をかけても1にならないから5は逆数がありませんでした。

Z/7Zでは2×4≡1,3×5≡1,6×6≡1(mod 7)
と言うように素数を法としてたら全ての元には逆数が存在します。

だから割り算できるようにpは素数を考えます。

話は戻って∀n∈Zは

n=a_0+a_1p+a_2p^2+…+a_ip^i+…(0≦a_i≦p-1)

と一意に表されます。

q_0:Z→Z/pZ

を自然な射影とすればq_0(n)=a_0です。
精度は悪過ぎですがnはa_0に近い値みたいな感覚です。

同様にして

q_(i-1):Z→Z/p^iZ

を自然な射影とすれば

q_(i-1)(n)=a_0+a_1p+a_2p^2+…+a_(i-1)p^(i-1)

nはa_0+a_1p+a_2p+…+a_(i-1)p^(i-1)みたいなもの。
だんだん精度がよくなってきます。

これらの集合をすべてのiについて一斉に考えることで得られる集合Z_pをp進整数環と言いその元をp進整数と言います。

a_0+a_1p+a_2p^2+…+a_ip^i+…(0≦a_i≦p-1)

全体のなす集合です。

自然な射影
π:Z/p^iZ→Z/p^(i-1)Z
用いて

Z_p={(a_(i-1)~)∈Π_i≧1 Z/p^iZ;π(a_i~)=a_(i-1)~}

と書けます。

このことをZを近似する無限に続く系列

 π     π     π
…→Z/p^3Z→Z/p^2Z→Z/pZ

の射影的極限と言って

Z_p=lim←Z/p^iZ

と書きます。


これ大学で最初友達が黒板に書きだした時はようわからんかった。

でも今見れば慣れてきて当たり前のように感じるな。


こんな定義を専門書で正確に覚えていくと理解出来るようになると思います。

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3で割り切れる数、4で割り切れる数の見分け方
よく次の数のうち3で割り切れる数を選びなさいって言うような問題とかありますが、それで
21546432、353646、23452…
とか問題に並んでて、いちいち割り算やってたら2時間ぐらいして

090820_m1.jpg

公園でうへ~ってブランコ占領してまうことありますよね。


そういうことにならんように今日は割り切れるかどうかの簡単な判定方法を紹介します。

これは高校生はもちろんのこと小学生、中学生のうちから覚えておいてください。

なぜそうなるか、わからない場合はとりあえず判定方法だけ覚えてください。
3と4だけは覚えたってくれ。
よく使うし、他は当たり前のことや、3と4のをちょっと工夫したらわかる感じやしな。

○2で割り切れる条件

これは当たり前ですが、1の位が0,2,4,6,8のどれか、つまり偶数の時です。
14676584は1の位は4で偶数だから2で割り切れる。
213677は1の位は7で奇数だから2で割り切れない。


○3で割り切れる条件

これは各桁の数の和が3で割り切れる時です。
例えば
237なら2+3+7=12で12は3で割り切れるから237は3で割り切れる。
367121なら3+6+7+1+2+1=20で20は3で割り切れないから367121は3で割り切れない。

何故各桁の数の和を考えたらいいのかと言うと

090820_m2.jpg

100とか1000とかは
100=99+1=3×33+1
1000=999+1=3×333+1
って3で割ると1余ります。

それで例えば2578なら

2578=2000+500+70+8
と分けて
2000+500+70+8=
=2×1000+5×100+7×10+8
=2×(999+1)+5×(99+1)+7×(9+1)+8
=2×(3×333)+5×(3×33)+7×3×3+2+5+7+8
=3×(2×33+5×33+7×3)+2+5+7+8

と言うように
2000は3で割った余りは2を3で割った余りと同じ
500を3で割った余りは5を3で割った余りと同じ
70を3で割った余りは7を3で割った余りと同じ
8を3で割った余りは8を3で割った余りと同じ

だから2578は2+5+7+8を3で割った余りと同じだから、
2+5+7+8が3で割り切れたら2578も3で割り切れます。

高校生なら3で割った余りは、各桁の和を3で割った余りと同じと覚えておいてください。


4で割り切れる条件

これは下2桁が4で割り切れる時です。

3576347312は下2桁が12で4で割り切れるから、元の数も4で割り切れる。
6672342は下2桁が42で4で割り切れないから、元の数も4で割り切れない。

意外とこれを知らない高校生もいますが、理由はかなり簡単で

090820_m3.jpg

100=4×25だから100は4で割り切れるから、例えば58147って数なら

58147=581×100+47
=581×4×25+47

で58100は4で割り切れるから、58147を4で割った余りは47を4で割った余りと一致します。

だから下2桁が4で割り切れたら、元の数も4で割り切れます。

これも高校生なら4で割った余りは、下2桁の数を4で割った余りと同じと覚えたってくれ。


○5で割り切れる条件

これはさすがに、誰でもわかると思いますが1の位が0か5の時です。
457470は1の位が0だから5で割り切れる
53771は1の位が1だから5で割り切れない。


○6で割り切れる条件

6=2×3だから2で割り切れて3で割り切れる時です。
つまり1の位が偶数で、各桁の数の和が3の倍数の時です。

7572は1の位が2で偶数、各桁の和は7+5+7+2=21で3で割り切れるから7572は6で割り切れる。
574は1の位が6で偶数だが、各桁の和は5+7+4=16で3で割り切れないから574は6で割り切れない。


○8で割り切れる条件

下3桁が8で割り切れる時です。

645128は下3桁の128は8で割り切れるから645128は8で割り切れる
3567234156は下3桁の156は8で割り切れないから3567234156も8で割り切れない。

理由は4の時とほとんど同じで、1000=125×8で1000は8で割り切れるから

090820_m4.jpg

例えば61239724なら
61239724=61239×1000+724
=61239×8×125+724

で8で割った余りは下3桁の724を8で割った余りと一致します。

だから下3桁がとりあえず8で割り切れたら元の数も8で割りきれるねんな。

これも高校生なら、ある自然数を8で割った余りは下3桁を8で割った余りと同じって覚えてください。


○9で割り切れる条件

各桁の和が9で割り切れる時です。
3の時と同じやな。

93546は9+3+5+4+6=27で27は9で割り切れるから93546は9で割り切れる。
6572は6+5+7+2=20で20は9で割り切れないから6572は9で割り切れない。

理由は3の時と同じで100とか1000とか言う数は
100=99+1=9×11+1
1000=999+1=9×111+1
で9で割ると1余りますが、

090820_m5.jpg

例えば37924なら

37924=30000+7000+900+20+4
=3×10000+7×1000+9×100+2×10+4
=3×(9999+1)+7×(999+1)+9×(99+1)+2×(9+1)+4
=3×(9×1111+1)+7×(9×111+1)+9×(9×11+1)+2×(9+1)+4
=9(3×1111+7×111+9×11+2)+3+7+9+2+4

と言うように
37924は30000と7000と900と20と4の和で
30000は9で割った余りは3
7000を9で割った余りは7
900を9で割った余りは9つまり0
20を9で割った余りは2
4を9で割った余りは4

より37924を9で割った余りは3+7+9+2+4を9で割った余りと一致します。
だから各桁の和が9で割り切れたら元の数も9で割り切れるねん。

高校生ならある自然数を9で割った余りは各桁の和を9で割った余りと同じと覚えてください。

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速さ、時間、距離の公式は、「はじき」よりも距離は面積と覚えろ!
中学受験する子とかその親もちょっと聞いて欲しいねんけど、
時間と速さの距離の関係は最初はよくわからんと思う。

(速さ)×(時間)=(距離)

(距離)÷(速さ)=(時間)

(距離)÷(時間)=(速さ)

これだけ組み合わせがあるからな。


だからそこで、はじきって言う計算する方法があって絵で覚えるのには一つの賢い方法やとは思う。

でもなこれは

090210_m1.jpg

は、じ、き

の書く順番を間違えたら終わりなんや。
ほんまどれやねんって話しや。



そこで、ぜひ覚えて欲しいのは

縦が速さ、横が時間の長方形の面積が距離

090210_m2.jpg

って覚えて欲しいねん。

まあ
「距離は面積や!」
とさえ言うだけで後は縦と横を速さと時間にすればいいから、この図は覚えられると思う。

距離は面積や!

それだけです。

距離は面積や!

それだけなわけや。

距離は面積や!

ほんまそれだけやねん。

距離は…

もうええわ!って今しばかれそうになった。


それでこの覚え方の素晴らしいとこは、距離は面積って覚えた人は高校に入って大学に行って物理を学んだりするとかなりスムーズに理解出来て他の人と差が出てくるねん。

ここからはちょっと数式が高校レベルやから、またマニアックなお兄さんがなんか言うてるな思って欲しいねんけど距離は面積って言うイメージがわかってると

090210_m3.jpg

x=∫(t1,t2)v(t)dt

と言うように速度vを時刻tで積分すると位置xになるって言う式が当たり前に感じるねん。


だから、将来のためにも
「距離は面積や!」
って覚えたってくれ。

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プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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