受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2016年度理系文系第二問、確率の問題の解説
さきほど股関節の右側のところから、右足の親指の爪にかけて

ぶるえ~!!!!!

ってなってました。


東京大学2016年度理系文系第二問の確率の問題を解説いきます。


[問題]
20160707044842d67.jpg

A,B,Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

(a)1試合目でAとBが対戦する。
(b)2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
(c)k試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は1/2で、引き分けはないものとする。

(1)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。



{文系は問いが一つ追加で
(1)ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(3)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。
}

[解答と解説]
(1)
Aが優勝するのは…
20160707044843fe5.jpg
AとBが戦ってAが勝ち、AとCが戦ってAが勝つときやろ
AとCが戦ってAが勝ち、AとBが戦ってAが勝つときやろ

だからn試合目では

って理論的に考えると…


二日後に家で

20160707044845591.jpg
こういう状態で発見されます。



どうやったら、こうなるねん!



20160707044846a51.jpg

そこで麦藁帽子かぶって、草原を走り回ってる何も考えてない全時代的なやつおるやん。
そういうやつは、あほそうで絶対解けなさそうやねんけどまずは全部書いてみるやん。


201607070448488a2.jpg

そしたら3回ごとに繰り返すって結構すぐにわかるねん。


東大の確率はまずは、こんなあほに解けるんかって感じでまずは全部書いてみる処理が多いねん。

こういう処理の感じを覚えていくのが東大のコツやねん。

しかも、実際に文系は5試合目で優勝するのを求めさせて、あほへの誘導がついてるしな。


ちなみに実はこの確率は他の大学でも、過去にほとんど同じ問題でてます。

と言うことで

2016070704492123a.jpg

n=3kのときは、Aが勝つことはないから確率0

上の方の樹形図のn=3k-1のとき
ACB ACB … ACB AA
ってACBがk-1個続いてからのAAやから
{(1/2)^3}^(k-1)・1/2・1/2=1/4・(1/8)^(k-1)

下の方の樹形図のn=3k+1のときは
BCA BCA … BCA A
ってBCAがk個続いてからのAで
{(1/2)^3}^k・1/2=1/2・(1/8)^k

どっちも1通りやから単に1/2かけていって(1/2)^nなだけやねんけどな。


(2)
20160707044922c8d.jpg

どうってことない普通の条件付き確率やな。
新課程やから、無理に出したんかもしれん。


条件付き確率は

3m回以下でA優勝した事象を新しい全体にするねん。

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになるのはどれくらいの割合かを計算するわけやな。

だから

新しい全体の大きさは
Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになる部分の大きさは

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

で割合は

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k/{Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k}

これを計算して

(8^m-8)/(5・8^m-12)
ですね。

ありがとうございました。



東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2016年度理系第1問、不等式の問題の解説
東京大学2016年度理系第一問を解説します。

ちょっと久しぶりやな。
東京に来てから更新初かもしれん。

あれからオレたちは、ずいぶん遠くまで来てしまったような気がする。

東京に来て、メイドカフェにも行くようにもなった。

こうやってオレたちは何か大切なものを失って…

ええから、はよ解説しろや!



[問題]
20160605162617e3c.jpg

eを自然対数の底、すなわちe=lim(t→∞)(1+1/t)^tとする。すべての正の実数xに対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
(1+1/x)^x<e<(1+1/x)^(x+1/2)



[解答と解説]
まず何をしたらよいのかやな。

不等式の証明としては、一番最初の選択肢としては微分とかして解析的に解くやな。

代数的に解くと難しいものも、ごり押しで解けてしまったり、むしろ簡単になることもあるからな。
しばいて何とかなるんやったら、しばいとけばええやろみたいな。


ただ、底と指数の両方に変数があるからこういうときは似たような関数の微分
x^xの微分はどうしたかと言うと

対数微分しました。

logy=xlogx
これで両辺xで微分して
y'/y=logx+1
って出来るやろ。

そういう思い出あるやん。


オレたちはそういう大切なものを失ってきたわけや。


まあf(x)^g(x)でもe^g(x)log(f(x))ごり押しで微分できるけど、それやったら対数とったらええやろって話になるな。


と言うことで正なことをことわってから対数をとって微分やな。

20160605162619901.jpg

まあ対数微分しなくても、対数とったら不等式を証明してもええやろな。

log(1+1/1x)で微分するよりも、log(x+1)-logxにしてから微分の方が少しだけ楽かもしれん。

f(x)=xlog(1+1/x)
=x(log(x+1)-logx)
一回微分すると

f'(x)=log(x+1)-logx-1/(x+1)

よくわからんから、これもう一回微分したらlogが消えるから何とかなりそうやな。

f''(x)=1/(x+1)-1/x+1/(x+1)^2
=-1/(x(x+1)^2)<0

でf'(x)単調減少


2回微分しなくてもグラフで考えても出来るたみたいやけどな。


201606051626207c2.jpg

単調減少でx→0やx→∞を考えてみるとええやろな。
x→∞でf'(x)→0やから
f'(x)>0
でf(x)は単調増加ですね。

それでグラフ描くみたいに
x→∞でf(x)→loge=1
やからf(x)<1やな。


そしたら調子乗って同じように右側もやろか。

20160605162622189.jpg

g(x)=(x+1/2)log(1+1/x)

g'(x)=log(x+1)-logx-(x+1/2)/(x(x+1))
同じように微分して


20160605162624c2b.jpg
ぶるえ~!!!

ってその場で血吐いて後ろに倒れないでくださいね。

邪魔やからな。


これくらいやったら全然計算するから、計算してください、

特に関東の大学は計算がややこしくなりやすいねん。


まあこれもグラフを考えても出来るみたいやけどな。


g''(x)=1/(2x^2(x+1)^2)>0

これでg'(x)単調増加

2016060516274543e.jpg

x→∞でg'(x)→0
g'(x)<0

これでg(x)は単調減少
x→∞でg(x)→loge=1
で完成


第一問やしばっちり完答したいとこやな。



(1+1/x)^xは微分して単調増加って流れになってるけど、これは単調増加って有名やから覚えててもええかもな。

と言うことで
a_n=(1+1/n)^nがeに収束することの証明を紹介しとこか。
eに収束すると言うか、収束するって言う証明やな。

収束するからそれをeにしたって話やからな。

単調増加かつ上に有界って言えば収束すると言えるねん。

上に有界って言うのは、ある実数Aがあって
全てのnに対してa_n≦A
と出来るってことな。



201606051627469f2.jpg
単調増加は二項定理で展開する方法があるねん。

一つ項においてn(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!・(1/n)^k
はk個の1/nをn(n-1)(n-2)…(n-k+1)に分配して
1/k!・(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)
とやるねん。

20160605162747d99.jpg

そしたらa_(n+1)も二項定理で展開したら1項目,2項目は1で共通
3項目からn+1項目までは同じように
1/k!・(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(k-1)/(n+1))
これはa_nの3項目からn+1項目
1/k!・(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)
よりnのとこがn+1になっていて大きいわけやな。

しかもa_(n+1)は更にn+2項目があって1/(n+1)^(n+1)>0やからa_(n+1)はより大きくなって

a_n<a_(n+1)
と言えるねん。

さっきの問題のように微分したら簡単と見せかけて
指数関数の微分は(1+x)^(1/x)→eと言う結果を使ってるから
微分して単調増加と言ってeに収束しますって言うと
eに収束するから微分できてeに収束しましたと言う循環論法やから気をつけてな。


20160605162749100.jpg

上に有界なことはa_nの3項目からn+1項目の一つの項が
1/k!・(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)<1/k!

だから
1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
を上から抑えるには、計算しやすくてこれより数列の和を考えてあげたらええやろな。

だいたい2の方が小さいから
k!=1・2・3・…・k>1・2・2・…・2=2^(k-1)

これで等比数列の和で簡単に計算しやすいわ。

1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
<1+1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)
=1+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=3-(1/n)^(n-1)
<3

で抑えられましたね。


これで収束することを証明できたな。

大学でよくやらされるねんけどな、ただこのネタを元に問題が出てることもあるから、こういうのもあるなってぐらいの程度で知っといてもええかもな。


東京大学の入試の数学の過去問の解説

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東京大学2013年度文系第2問、二重根号、二次曲線の問題の解説
夏休みも終わって二学期がはじまりますが

色々と終わりを迎えました

勉強の方はどうですか?


東京大学2013年度の文系第二問の解説を書きます

これは数学Cの二次曲線との関係について質問がよくあるからな


[問題]
toudai2013bu21.jpg

座標平面上の3点P(0.-√2),Q(0,√2),A(a,√(a^2+1))(0≦a≦1)を考える
(1)2つの線分の長さの差PQ-AQはaによらない定数であることを示し、その値を求めよ
(2)Qを端点としてAを通る半直線と放物線y=(√2)/8・x^2との交点をBとする。点Bから直線y=2へおろした垂線と直線y=2との交点をCとする。
このとき、線分の長さの和PA+AB+BCはaによらない定数であることを示し、その値を求めよ。


[解答と解説]
これは数学Cでやる二次曲線の性質を知っていると、見通しはかなりよくはなります。

二次曲線の性質を知らずに解く現実的なちゃんとした解答は後から紹介するとして

まずはせっかくなんでどういう背景かを説明したいと思います


双曲線

toudai2013bu22.jpg

双曲線はよく習う基本的なものは
x^2/a^2-y^2/b^2=1

x^2/a^2+Py^2/b^2=-1

とかです
それで焦点とかの概念があり

焦点をA,Bとすると
|AP-BP|=2a

|AP-BP|=2b

と言うように、2つの焦点からの距離が一定となる点の集まりやねん

イメージはこんなんやな

toudai2013bu23.jpg

この双曲線上の点から

2つの焦点に向かって同じ速さで向かっていくと

オウ
オウ

って言うこのオウの時間差がいつでも同じになるねん


toudai2013bu24.jpg

だから(1)とかではA(a,√(a^2+1))はaを媒介変数やと思って
x=a,y=√(a^2+1)でa消去すると
双曲線上
x^2-y^2=-1上にあることがわかって
焦点は1+1=2やから
(0,±√2)
よりP,Qはこの双曲線の焦点になっています
と言うことはPA-AQは二つの焦点からの距離の差やから

PA-AQ=2・1=2

ってすぐにわかります


次は放物線


toudai2013bu25.jpg
放物線は
y^2=4pxとx^2=4py
の形が数学Cで習う基本的な式ですが

準線と焦点の概念があり
放物線は
この準線と放物線との距離が等しくなるような点の集まりです

イメージとしては

toudai2013bu26.jpg
放物線上の点から準線と焦点に向かって
同時に同じ速さで進むと

オウ!

って同時につきます


だから(2)では


toudai2013bu27.jpg



y=(√2)/8・x^2

x^2=4√2y
で準線はy=-√2
焦点(0,√2)

Qは焦点になっています


(1)から
PA=2+AQですが
PA+AB+BC=2+AQ+AB+BC
=2+QB+BC

放物線の性質からBから準線に垂線BHを引いて

QB=BHになるから

2+QB+BC=2+BH+BC
=2+HC
=4+√2

とわかります




しかし

そもそも文系の問題で数学Cをやってる人が少ない
理系で数学Cをやってても二次曲線の性質なんか覚えてないしほとんど問題でない

と言うことから何も知らずに解くのが現実的やな


東大らしい複雑な処理を勉強すればええねん。




数学Cが出る、うへ~!!って膨大な時間かけても

普通、そんな数学Cなんか余りでないわけです



でも東大らしい複雑な処理を繰り返してやって要領を身につけるとどんな問題のパターンにも通用します


だから敢えて出来るだけ計算ごり押しで進めていく方針できます




まず普通に計算してみると

toudai2013bu28.jpg

PA-AQ=√(a^2+(√(a^2+1)+√2)^2)-√(a^2+(√(a^2+1)-√2)^2)

といつもように血を吐きそうになりますが

吐くにはまだ…7分早いとこやな


問題にaによらない定数であるって書いてるねんから

簡単になるはずです

と言うことは二重根号が外せるはずです


(1)の解答

toudai2013bu29.jpg

後は計算をしていくと二重根号を外して

AP=√(2a^2+1)+1
AQ=√(2a^2+1)-1

となります


0≦a≦1の範囲から√(2a^+1)と1との大小関係ははっきりさせて
|√(2a^2+1)-1|
をはずしてください


そしたら
PQ-AQ=2となります

だから数学Cよりも数学1の二重根号を繰り返した方がええとこやな


(2)

toudai2013bu210.jpg

やっぱ(1)を使うはずやから
PA=2+AQ
より
PA+AB+BC=2+AQ+AB+BC
やな

この(1)を使うはずってことを覚えてください


それで図を書いてみるるAQ+AB=QBやな

だから
2+BQ+BCを求めたらええことなります


それでここで

toudai2013bu211.jpg

放物線の性質からQが焦点になってるからB(b,(√2/8)b^2)
と置いてA(a.√(a^+1))の構造とか関係なしに華麗に解けます

でもここは知らないと仮定すれば

ごり押しで解くことになるので

あえてa関係あると思ってごり押しで計算してみます


やっぱ華麗な解答よりも泥臭い計算をやりきる力がどの場面でも
影響して底力を上げます


安定的によい点数がとれる人は

計算力や処理能力があるから運に左右されずに

しょうもない解法でどうアプローチしてもだいたいいいとこまで解けたりするわけやな


(2)の解答いきます

toudai2013bu212.jpg


Bの位置を軽く知りたいので
0≦a≦1から
1≦√(a^2+1)≦√2
でQよりy座標が下になるようにAを書いておけばええかな

そしたらCよりBの方が下になるしな

それでさっき書いたように
PA+AB+BC=2+QB+BC

それでここはごり押しなんで普通に
直線QAを求めて放物線の交点を求めると

QA:y=(√(a^2+1)-√2)x/a+√2
y=(√2)/8・x^2

これで膨大な計算をすると(1)と同じ形の二重根号が解にあらわれて
x=2√2(√2+1)(√(a^2+1)-1),2√2(-√2+1)(√(a^2+1)+1),

これは死ぬな

toudai2013bu213.jpg

これでBは交点のうちx座標が大きいほうやから
x=2√2(√2+1)(√(a^2+1)-1),
で長すぎるから

b=2√2(√2+1)(√(a^2+1)-1),

とおきます

これは計算でよくやるテクニックですね

B(b,(√2)/8・b^2)

になって

QB=√(b^2+((√2)/8・x^2-√2)^2)

これで出来るだけ整理して追い詰められてからaの式を代入するのが
処理の仕方です

すると

QB=(√2/8)(b^2+1)

って根号が外れました

もう
BC=2-(√2)/8・b^2
やから

2+QB+BC=2+(√2/8)(b^2+1)+2-(√2)/8・b^2
=4+√2


と求まりました


結局
b=2√2(√2+1)(√(a^2+1)-1),
関係ないやん!

って言う話やけど、まあ一応それは計算してからわかることやからな

解答には書かんでええとこやな


東京大学の入試の数学の過去問の解説

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京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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