受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、一橋大学2009年度の第5問の解説
そろそろ春になってきて、もう10月は過ぎたんだなって感じるな。

一橋大学2009年度の第5問の解説です。


[問題]
X,Y,Zと書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚のカードが選ばれたとき、xy平面上の点Pを次の規則にしたがって移動する。

・Xのカードが選ばれたとき、Pをx軸の正の方向に1だけ移動する。
・Yのカードが選ばれたとき、Pをy軸の正の方向に1だけ移動する。
・Zのカードが選ばれたとき、Pは移動せずにそのままの位置にとどまる。
(1)nを正の整数とする。最初、点Pを原点の位置におく。XのカードとYのカードの2枚から無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i)n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii)Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。

(2)nを正の3の倍数とする。最初、点Pを原点の位置におく。Xのカード、Yのカード、Zのカードの3枚のカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i)n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii)Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。


[解答と解説]
(1)(i)
090421_m0.jpg

x座標とy座標を足すとnになるような0以上の整数になる点の場所だから

(n,0),(n-1,1),…,(0,n)のn+1個です。

n個って書いてもた時には、友達と殴りあいしてください。

(ii)
p,qを0以上の整数(p+q=n)として結局は
(p,q)に到達する場合の数が最大のものを求めろってことです。
確率はその場合の数を2^nで割るだけやからな。

(p,q)に到達する場合の数はn回からp回Xを選んでn_C_pです。

だからn_C_pが最大になるpを求めろってことやな。

そらもう二項定理考えたら
nが偶数ならp=n/2、
nが奇数ならp=(n+1)/2,(n-1)/2や!
これやがな!
って言うのは誰にもわかるけど、それを証明しろ言われてぶほー!って血吐いて倒れる感じです。

pの数列みたいなのと考えて
n_C_(p+1)-n_C_pを考えたらええねんけど、これやったらちょっとn!/p!(n-p)!…とか式が大変になるから、
n_C_p/n_C_(p+1)
を計算するテクニックを使います。

でもn_C_(p+1)-n_C_pでも大丈夫やけど、こういうたくさん割り算できそうなのはn_C_p/n_C_(p+1)を考えると書くのが楽って言うのを身につけといったってください。

n_C_p/n_C_(p+1)=n!/p!(n-p)!・(p+1)!(n-p-1)!/n!
=(p+1)/(n-p)

それでこれが1なのか、1より大きいのか、1より小さいのか考えます。
ただ
(p+1)/(n-p)=1としてみると
p=(n-1)/2やからnが奇数か偶数かで場合分けが必要になります。

090420_m1.jpg

(a)n:偶数の時
(p+1)/(n-p)>1
とすると
p>(n-1)/2
nは偶数だからpはn/2以上になります。

p≧n/2の時
n_C_p/n_C_(p+1)>1

n_C_p>n_C_(p+1)

だから
n_C_n/2>n_C_(n/2+1)>…>n_C_n

(p+1)/(n-p)<1
とすると
p<(n-1)/2
nは偶数だからpはn/2-1以下になります。

p≦n/2-1の時
n_C_p/n_C_(p+1)<1

n_C_p<n_C_(p+1)

だから
n_C_n/2>n_C_(n/2-1)>…>n_C_0

よって
n_C_0<n_C_1<…<n_C_n/2>…>n_C_n

でp=n/2で最大だから座標はq=n-n/2=n/2より
(n/2,n/2)


090420_m2.jpg

(b)n:奇数の時
奇数やから
(p+1)/(n-p)=1となる場合があって
p=(n-1)/2の時
n_C_(n-1)/2=n_C_(n+1)/2

(p+1)/(n-p)>1
とすると
p>(n-1)/2
nは奇数だからpは(n+1)/2以上になります。

p≧(n+1)/2の時
n_C_p/n_C_(p+1)>1

n_C_p>n_C_(p+1)

だから
n_C_(n+1)/2>n_C_((n+1)/2+1)>…>n_C_n

(p+1)/(n-p)<1
とすると
p<(n-1)/2
nは奇数だからpは(n-1)/2-1以下になります。

p≦(n-1)/2-1の時
n_C_p/n_C_(p+1)<1

n_C_p<n_C_(p+1)

だから
n_C_(n-1)/2>n_C_((n-1)/2-1)>…>n_C_0

よって
n_C_0<n_C_1<…<n_C_(n-1)/2=n_C_(n+1)/2>…>n_C_n

で最大になるにはp=(n-1)/2,(n+1)/2だから座標(p,q)はp+q=nから
((n+1)/2,(n-1)/2),((n-1)/2,(n+1)/2)

(a)(b)からまとめると
n:偶数の時(n/2,n/2)
n:奇数の時((n+1)/2,(n-1)/2),((n-1)/2,(n+1)/2)

(2)
(i)
090420_m3.jpg

グラフ書けばわかりやすいかもしれませんが、pを0≦p≦nの整数としてx=p上には
y=0,1,2,…,n-pのn-p+1個あるから
Σ(p=0~n)(n-p+1)=Σ(k=1~n*1)k
=(n+1)(n+2)/2個

ここまではいいですね。

(ii)
この問題はXをp回、Yをq回,Zをr回とすると(p,q)に到達するのは
n!/p!q!r!(n=p+q+r)
通りで確率は3^nで割るだけだから

n!/p!q!r!(n=p+q+r)

が最大になるp,q,rを求めろって言うことでたぶん、試験会場をごろごろ転がりだしてもう手がつけられへんことなった人も多いと思います。


これは大変やな。

これが最大になるのは、そらnが3の倍数やから(p,q,r)=(n/3,n/3,n/3)
ってことはわかるねんけどな。

それを証明しろと言われるとは思わんかった。


n!/p!q!r!(n=p+q+r)

この形から証明するとちょっとわかりにくいと思います。
だからこの式の原点に戻って

n_C_p・(n-p)_C_q

と書きかえると、(1)の結果が使いやすいと思います。

使いやすいってことだけやけどな。

まあpとqの2変数やからpをまず固定して最大値を求めて,pを動かします。

だから(n-p)_C_qの部分の最大値M(p)を考えたらええから、これは(1)から

M(p)=
n_C_p・(n-p)_C_((n-p)/2)(n-p:偶数の時)
n_C_p・(n-p)_C_((n-p+1)/2)(n-p:奇数の時)

とわかります。

これでM(p)の最大値を求めたらええわけやねん。

090420_m4.jpg

(a)n-p:偶数の時
M(p)はn-pが偶数の時の式やけど、M(p+1)はn-(p+1)が奇数だから奇数の時の式になることに注意したってくれ。

M(p)/M(p+1)
=n!/(p!((n-p)/2)!((n-p)/2)!)・((p+1)!((n-p)/2)!((n-p)/2-1)!)/n!
=2(p+1)/(n-p)

2(p+1)/(n-p)>1とすると
p>(n-2)/3でnは3の倍数だからpはn/3以上でこのとき
M(p)>M(p+1)

2(p+1)/(n-p)<1とすると
p<(n-2)/3でnは3の倍数だからpはn/3-1以下でこのとき
M(p)<M(p+1)

だから
M(1)<M(2)<…<M(n/3)>…>M(n)

って
p=n/3,q=n/3の時と
わかりました。
だから座標は(n/3,n/3)

(b)n-p:奇数の時
こっちもM(p)はn-pが奇数の時の式やけど、M(p+1)はn-(p+1)が偶数だから偶数の時の式になることに注意したってくれ。

M(p)/M(p+1)
=n!/(p!((n-p+1)/2)!((n-p-1)/2)!)・((p+1)!((n-p-1)/2)!((n-p-1)/2-1)!)/n!
=2(p+1)/(n-p+1)

2(p+1)/(n-p+1)>1とすると
p>(n-1)/3でnは3の倍数だからpはn/3以上でこのとき
M(p)>M(p+1)

090420_m5.jpg

2(p+1)/(n-p+1)<1とすると
p<(n-1)/3でnは3の倍数だからpはn/3-1以下でこのとき
M(p)<M(p+1)

だから
M(1)<M(2)<…<M(n/3)>…>M(n)

って
p=n/3,q=n/3の時と
わかりました。
だから座標は(n/3,n/3)


以上(a)(b)より求める座標は(n/3,n/3)と言うことがわかったな。

これはしんどい問題や。

文系でこれやからな。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

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ベクトルの問題、一橋大学2009年度第4問の解説
あ、消しゴム忘れた。

嘘やって。


一橋大学2009年度第4問の解説を書きます。

[問題]
090418_m1.jpg

一辺の長さが2の正三角形ABCを平面上におく。△ABCを1つの辺に関して180°折り返すという操作を繰り返しすという操作を繰り返し行う。辺BCに関する折り返しをT_A,辺CAに関する折り返しをT_B,辺ABに関する折り返しをT_Cとする。△ABCは、最初3点A,B,Cがそれぞれ平面上の3点O,B',C'の上に置かれているとする。

(1)T_A,T_C,T_B,T_C,T_Aの順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をPとする。また、T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B,T_Aの順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をQとする。θ=∠POQとするとき、cosθの値を求めよ。

(2)整数k,lに対して,OR→=3kOB'→+3lOC'→により定められる点Rは、T_A,T_B,T_Cの折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になることを示せ。



[解答と解説]

この問題はクルクルです。

090418_m2.jpg

一緒にクルクルするのがコツです。

考えるんじゃなくて、まずはクルクル折り返して絵を書いていくことで問題が理解出来て解法の筋道が見えてくるもんやねん。

どの問題にも言えることやねんけどな。

(1)
090418_m3.jpg

T_A,T_C,T_B,T_C,T_Aって△ABCをクルクルと折り返して図を書いていきます。

次に
T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B,T_Aって△ABCをクルクルと折り返して図を書いていきます。


そしたらPQの長さは正三角形の高さ二つ分の長さやから
正三角形一つの高さは2sin60°=√3で
PQ=2√3
とわかりました。

OPは横に正三角形3個分の6、縦に正三角形の高さ2個分の2√3で三平方の定理から
OP=√(36+12)=4√3
って出すか、もっと正三角形の高さ4つ分やから4√2ってやった方が早くええかもしれんな。

OQは横に正三角形3個分の6、縦に正三角形の高さ4個分の4√3で三平方の定理から
OQ=√(36+48)=2√21

これで余弦定理から

cosθ=(48+84-12)/(2・4√4・2√21)
=(5√7)/14

って上手に出来ました。

(2)

090418_m4.jpg

実際にどういう操作をしたら
OR→=3kOB'→+3lOC'→
って移り変わるか書くと簡単に示しやすいです。

OB'→とOC'は一次独立やから別々に考えたらよかって、まず3OB'→平行移動移動させることを考えてみます。

まあ上の方に折り返していくだけやから絵をクルクル書いていって

T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B…(*)

って折り返せば△ABCが3OB'→平行移動したことになります。

点Aだけ3OB'→平行移動なら

T_A,T_C,T_B,T_A

だけでもええことになるけど、3kOB'→平行移動させるってなったらなんか書き方がややこしいことになるねんな。

だから

T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B

って折り返せば△ABCが3OB'→平行移動するからk回この操作を繰り返せば△ABCは3kOB'→平行移動するって簡単に書けるねん。


同じように3OC'→平行移動させることを考えると、横の方に折り返していくだけやからまたお兄さんと一緒に絵をクルクル回転させて

T_A,T_B,T_C,T_A,T_B,T_C…(**)

って折り返せば△ABCが3OC'→平行移動するからl回この操作を繰り返せば△ABCは3lOC'→平行移動します。

だから操作(*)をk回、操作(**)をl回繰り返したら点Aは点Rに移る。


こうやって、クルクル絵を書いて絵で答えるのがコツやねん。


そうすれば、もう中学生みたいなレベルで解けるし数学者は
図を書いたら終わりやろ
が口ぐせやから採点する側もごちゃごちゃ文章書かれるより見ればわかるから高評価やねん。

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円と放物線の問題、一橋大学2009年度第3問の解説
晩御飯を食べても何かもの足りない時に数学をやるのがコツや。


一橋大学2009年度の第3問の解説

[問題]
090417_m1.jpg
p,qを実数とする。放物線y=x^2-2px+qが、中心(p,2q)で半径1の円と中心(p,p)で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。



[解答と解説]
090417_m2.jpg

放物線の頂点の存在しうる領域ってことやから平方完成をしてみたら
y=x^2-2px+q=(x-p)^2-p^2+q
で頂点が(p,-p^2+q)ってなってます。

と言うことは放物線の頂点も二つの円の中心もどっちもx=p上にあるわけやん。

だから、x方向に-p平行移動させて

放物線y=x^2-p^2+q

x^2+(y-p)^2=1

x^2+(y-2q)^2=1
の両方と共有点をもつp,qの条件を考えても一緒なわけや。

数学的に言うと同値なわけやな。


別に平行移動せんでもええかもしれんけどそのまま計算してたら、うへ~って消しゴムを隣の受験生におもいっきり投げつけることになります。


ただ二回同じような計算してたら、ちょっとあれやから

y=x^2-p^2+q

x^2+(x-a)^2=1
aは実数

が共有点をもつようなp,qの条件をaであらわしてa=p,2qって代入したら解答がちょっとすっきりすると思うねん。

まずy消去して

x^2+(x^2-p^2+q-a)^2=1

x^4+(-2p^2+2q-2a+1)x^2+(-p^2+q-a)^2-1=0

これが解を持つことを考えたらよかって、xが決まれば①のy=x^2-p^2+qからyも決まるからxの方程式だけ考えたらオッケーってことなります。

まあこういう4次方程式が解を持つ条件は、決まったやり方があって

t^2+(-2p^2+2q-2a+1)x^2+(-p^2+q-a)^2-1=0

がt≧0で解を持つ条件を考えたらええねん。

そうしたらx^2=tでxが解を持つことと同じやからな。

090417_m3.jpg

だからこっからは、もう二次方程式の解の配置の問題なわけや。
f(t)=t^2+(-2p^2+2q-2a+1)x^2+(-p^2+q-a)^2-1
とおいて、判別式をDとすると
D=(-2p^2+2q-2a+1)^2-4{(-p^2+q-a)^2-1}≧0

-p^2+q-a≧-5/4

で0≦tとt≦0に解を持つ場合と

t≧0だけに解を持つ場合の二つに分けて

(i)f(0)≦0の時
f(0)≦0⇔(-p^2+q-a)^2-1≦0
⇔-1≦-p^2+q-a≦1

(ii)f(0)≧0,-(-2p^2+2q-2a+1)/2≧0の時
f(0)≧0
-(-2p^2+2q-2a+1)/2≧0

-p^2+q-a≦-1

(i)(ii)から
-p^2+q-a≦1
で-p^2+q-a≧-5/4とあわせて
-5/4≦-p^2+q-a≦1

090417_m4.jpg

a=pの時は
-5/4≦-p^2+q-p≦1
a=2qの時は
-5/4≦-p^2+q-2q≦1

後はこれを頂点で表したらよくて、頂点(X,Y)とおくと
y=x^2-2px+q=(x-p)^2-p^2+q
からX=p,Y=-p^2+qやったから

p=X,q=Y+X^2で

-5/4≦-p^2+q-p≦1
-5/4≦-p^2+q-2q≦1

-5/4+X≦Y≦1+X
-2X^2-1≦Y≦2X^2+5/4

それでこれを図示たらもう完璧や。

さすが、みんなよく出来てるな。

お兄ちゃん嬉しいわ。

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東京で数学と物理の講師やってます

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