受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

じゃんけんの確率の問題、神戸大学2009年度文系の第3問の解説
胃が痛い時はオレに相談してくれ。


神戸大学2009年度文系第3問の解説

[問題]
(1)A,Bの2人がそれぞれ、「石」、「はさみ」、「紙」の3種類の「手」から無造作に1つを選んで、双方の「手」によって勝敗を決める。「石」は「はさも」に勝ち「紙」に負け、「はさみ」は「紙」に勝ち「石」に負け、「紙」は「石」に勝ち「はさみ」に負け、同じ「手」どうしは引き分けとする。AがBに勝つ確率を求めよ。
(2)
上の3種類の「手」の勝敗規則を保ちつつ、これらに加えて、4種類目の「手」として「水」を加える。「水」は「石」と「はさみ」には勝つが「紙」には負け、同じ「手」どうしは引き分けとする。,A,Bがともに4種類の「手」から無造作に1つを選ぶとするとき、Aが勝つ確率と引き分けの確率を求めよ。
(3)
上の4種類の「手」の勝敗規則を保ちつつ、これらに加え、さらに第5の「手」として「土」を加える。Bが5種類の「手」から無作為に1つを選ぶとき、Aの勝つ確率がAの選ぶ「手」によらないようにするためには、「土」と「石」「はさみ」「紙」「水」との勝敗規則をそれぞれどのように定めればよいか。ただし、同じ「手」どうしの場合、しかもその場合にのみ引き分けとする。



[解答と解説]
(1)090412_m4.jpg

じゃんけんの問題って言うのはようわかると思う。
後は解き方やな。

これくらいなら、文章を書くより樹形図とか表とかを書いて確率を出した方が解答をしやすいと思うねん。
大学受験になると、何故かそういう中学生的思考をしなくなる人が多いので常に中学生的にやるって言う選択肢を入れといったください。

全部書き出して、数えて確率を求めるって言うのは戦闘能力が低い下等生物がやることじゃなくて、高度な問題を解くのに重要なアプローチです。

○:石、△:はさみ、×:紙として
○が△に勝つことを○→△
引き分けを○←→○
と書くことにします。

まずA,Bの手のだし方は全部3×3=9通りでAが勝つのは
○→△
△→×
×→○
の3通りだから確率は3/9=1/3

引き分けになるのは
○←→○
△←→△
×←→×
の3通りだから確率は3/9=1/3

(2)
090412_m5.jpg
□:水とすると
A,Bの手のだし方は4×4=16通りで
AがBに勝つのは
○→△
△→×
×→□
×→○
□→○
□→△
の6通りで確率は6/16=3/8

AがBに引き分けるのは
○←→○
△←→△
×←→×
□←→□
の4通りで確率は4/16=1/4

(3)
090412_m6.jpg
●:土とすると
(2)の図をmる戸
○と△は勝てる手は1つずつです。
それで×と□は2つずつやん。

だから、この不平等さを是正するには
○→●,△→●
●→×、●→□
とやれば、どれも勝てる手が2つずつになります。

だから文章にすれば
土は紙と水に勝ち、石とはさみに負ける
とすればええことになります。


樹形図っぽく書いてやったけど、

090412_m7.jpg

こうやってリーグ戦みたいに図を書くと、かなりクリアに解答できるから、この書き方の解答も覚えたってくれ。

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二次関数の問題、神戸大学2009年度文系第2問の解説
ひゃっほ~い。

このちょっと引くようなテンションでいくか。

神戸大学2009年度文系第2問の解説


[問題]
090412_m8.jpg

aを正の実数とし、f(x)=-a^2x^2+4axとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1)0≦x≦3におけるf(x)の最大値を求めよ。

(2)2点A(2,3),B(3,3)を端点つる線分をlとする。曲線y=f(x)と線分l(端点を含む)が共有点を持つようなaの値の範囲を求め、数直線上に図示せよ。


[解答と解説]
(1)
090412_m9.jpg

二次関数やからこれはもう平方完成する以外に道がありません。
まあそんなこと言うと微分もあるってしばかれそうやけどな。

f(x)=-a^2(x-2/a)^2+4

これで軸はx=2/aで0≦x≦3での最大値を求めろってことやから、よくあるパラメーターの値によって場合分けする問題になります。
xの二次の係数は負の時の最大値は、頂点か端点になります。

軸が定義域の左側、定義域の中、定義域の右側の三つを考えなければあかんけど、ただaは正だから定義域の左側はありえないから調べなくてもオッケーなことがわかります。

(i)0<2/a≦3つまり2/3≦aの時、頂点で最大になるから最大値は4
グラフを横にそえたってください。

(ii)3≦2/aつまりa≦2/3の時、右側の端点のx=3で最大になるから最大値はf(3)=-9a^2+12a

(i)(ii)より最大値あ
-9a^2*12a(0<a≦2/3)
4(2/3≦a)

こうやってaの関数みたいに書くのが便利かな。

(2)

090412_m3.jpg

A,Bの座標をよく見るとどっちもy座標が3です。
と言うことは、y=3(2≦x≦3)とy=f(x)が交点を持つようなaを求めればええから、f(x)とlをy軸負の方向に3平行移動させて
g(x)=f(x)-3,y=0(2≦x≦3)
の共有点を持つようなaを求めるのと同じだから、二次関数の解の配置の問題になります。

判別式調べて軸を調べてg(0)とg(3)調べて、うへ~ってなってても血吐くくらいで別に命には別状ないしオッケーなんですが、この問題ではそこまでややこしいことをやらなくてもy=3とy=f(x)の交点は簡単に求まるように出来てて
f(x)=3とすると
-a^2x^2+4ax=3

a^2x^2-4ax+3=0

(ax-3)(ax-1)=0

より交点のx座標がx=3/a,1/aとわかります。

だからこれが少なくともどっちかが2≦x≦3の範囲にあれば良いから

2≦1/a≦3または2≦3/a≦3

1/3≦a≦1/2または1≦a≦3/2

でこれを数直線上に書けばオッケーです。

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ベクトル方程式の問題、神戸大学2009年度文系第1問の解説
もうお腹すいてきた。

神戸大学2009年度文系の問題を解説します。


[問題]
090412_m1.jpg
(1)xy平面においてO(0,0),A(1/√2,1/√2)とする。このとき
(OP→・OA→)^2+|OP→-(OP→・OA→)OA→|^2≦1
をみたす点P全体のなす図形の面積を求めよ。
(2)xyz空間において,O(0,0,0),A(1/√2,1/√2,1/√2)とする。このとき
(OP→・OA→)^2+|OP→-(OP→・OA→)OA→|^2≦1
をみたす点P全体のなす図形の体積を求めよ。



[解答と解説]
090412_m2.jpg
(1)成分が表示されてるからベクトル方程式とか大げさなもんと言うよりもOP→=(x,y),OA→=(1/√2,1/√2)を代入して整理したらええ問題やねんけど、

代入する前にある程度そのままで整理してから代入した方がやっぱり早いかな。
OP→について整理して

(OP→・OA→)^2+|OP→-(OP→・OA→)OA→|^2≦1

(OP→・OA→)^2+|OP→|^2-2(OP→・OA→)^2+(OP→・OA→)^2|OA→|^2≦1

|OP→|^2+(|OA→|^2-1)(OP→・OA→)^2≦1

ここで

|OA→|^2=(1/√2)^2+(1/√2)^2=1
だから

|OP→|^2≦1

になります。

これは半径1の円の周および内部だから円の面積を求めたらよくて答えは
π

(2)
こっちも(1)と同じ式だから二回書く必要はないけど与式は
|OP→|^2+(|OA→|^2-1)(OP→・OA→)^2≦1
になって
|OA→|^2=(1/√3)^2+(1/√3)^2+(1/√3)^2=1
より
|OP→|^2≦1

だからこれは三次元だから半径1の球の面および内部で球の体積を求めたらよくて答えは
4π/3


ただ最初に書いたようにOP→=(x,y),OA→=(1/√2,1/√2)を代入して整理したらええ問題で、代入する前にもう少し整理した方が良いってだけの話しです。

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