受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分積分の問題、慶應大学医学部2009年度第四問の解説
君らもやす子にしばいてもらおか。


慶應大学医学部2009年度の第四問の解説

[問題]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。、また、設問(2),(3)に答えなさい。

090514_m1.jpg

平面上を運動する点Pの、時刻tにおける座標(x,y)が
x=f(t)=cos2t+tsin2t,y=g(t)=sin2t-tcos2t
と表されているとする。

(1)点Pの時刻tにおける加速度ベクトルα→を求めるとα→=((あ),(い))である。

(2)時刻t(ただしt≠0)における点Pをとおり、その時刻における加速度ベクトルα→に平行な直線をlとするとき、lは必ず原点を中心とする半径1の円Cに接することを示しなさい。その接点Qの座標は((う),(え))である。

(3)f(t)は区間0≦t≦π/2で減少することを示しなさい。

(4)tがπ/4からπ/2まで変化するとき線分PQが動いてできる図形の面積Sを求めるとS=(お)である。



[解答と解説]
(1)
090514_m2.jpg

加速度ベクトルは位置を二階微分したもので

f''(t)=-4tsin2t

g''(t)=4tcos2t

だからα→=(-4tsin2t,4tcos2t)です。

これはtsin2tとかの微分がややこしいだけやな。

(2)
lの傾きは4tcos2t/(-4tsin2t)とかやるとsin2tが0の時とかと場合分けが大変やから、

0でない2つのベクトル、a→=(a_1,a_2),b→=(b_1,b_2)があるとき
a→//b→⇔
a_1=tb_1,
a_2=tb_2となるt(≠0)が存在

a_1b_2-a_2b_1=0

これを使うとよくてl上の点RをR(x,y)とすると
→PR=(x-f(t),y-g(t))
これがα→と平行であればええから

(x-f(t))4tcos2t-(y-g(t))(-4tsin2)=0

t((cos2t)x+(sin2t)y-1)=0

t≠0だから

(cos2t)x+(sin2t)y=1

これは円C:x^2+y^2=1の点(cos2t,sin2t)における接線になってるわけや。

x^2+y^2=r^2の点(x',y')における接線は
x'x+y'y=r^2
ってやつな。


(3)
090514_m3.jpg

これは二階微分まで調べたらわかるってやつで
0<t<π/2においてf''(t)=-4tsint<0
だから0≦t≦π/2でf'(t)は減少関数だから
0<t<π/2において
f'(t)<f(0)=0
よって0≦t≦π/2でf(t)は減少関数

この0<t<π/2と0≦t≦π/2の違いは何なのか?って言う疑問がわくかもしれませんが、そもそも単調減少関数とか減少関数とか定義があいまいなわけやねんな。
本に任意のx,y(x<y)に対してf(x)≧f(y)が単調減少とかf(x)>f(y)が減少とか本によって定義が違うねん。

だから適当でも大丈夫だと思います。

一応解答は、減少関数とは任意のx,y(x<y)に対してf(x)>f(y)がなりたつことの解答にして、f'(t)≦0って等号があると、もしa≦t≦b(a<b)でf'(t)=0とするとa≦x<y≦bとなるx,yに対してf(x)=f(y)になるかもしれないからf'(t)<0を示しました。

(4)
まずPQ=tです。
それで(2)から点Pは円Cの点Qにおける接線上で、(3)より点Pはtが増加するとx軸負の方向へ移動することがわかりました。

090514_m4.jpg

これでPQの動く範囲の図がかけます。

すると、

S=∫(-1,π/4)ydx-(円Cの1/4)-(横π/4高さ1の長方形)

になります。

これを計算していきます。

まず円Cの面積はπでこの1/4はπ/4

長方形も1×π/4=π/4

∫(-1,π/4)ydxの部分は計算しまくって剥離骨折してください。

090514_m5.jpg
090514_m6.jpg

基本は2倍角を使っていって、部分積分で三角関数の方を積分してtを微分してなくしていきます。

答えは
7π^3/192

とか人を不安にさせる答えになりました。

慶應大学の入試の数学の過去問の解説

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確率を漸化式で解く問題、慶應大学医学部2009年度第三問の解説
そしたら、次の問題でどてらしてもらか。

だからそれどういう意味やねん。


慶應大学医学部2009年度の[Ⅲ]の解説。

[問題]
090512_m1.jpg
090512_m2.jpg
090512_m3.jpg

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(3)に答えなさい。

正方形の4つの頂点にA_1,A_2,A_3,A_4の順に反時計回りに名前をつける。A_1,A_2上には表を上にした硬貨を1枚ずつ置き、A_3,A_4上には裏を上にした硬貨を1枚ずつ置く。いま次の操作Tを何回か繰り返し行う。

操作T
4つの頂点のどれかを確率1/4ずつで選ぶ。選ばれた頂点をA_i(i=1,2,3,4)とするとき、辺に沿ってA_i上の硬貨と並んでいる硬貨2枚のうちA_i上の硬貨とは逆の面を上にしたものの枚数をkとする。次に、A_i上の硬貨を確率k/3でひっくり返し、確率1-k/3でそのままにしておく。

以下、nを自然数とする。操作Tをn回繰り返し行った結果、表を上にした硬貨がちょうど1枚だけある確率をp_n,ちょうど2枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる確率をq_n,ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率をr_n,ちょうど3枚だけある確率をs_nとする。

(1)p_1=(あ),q_1=(い),r_1=(う),s_1=(え)である。

(2)n≧2のとき、p_n,q_n,r_n,s_nとp_(n-1),q_(n-1),r_(n-1),s_(n-1)の関係を4次の正方行列を用いて表すと

(p_n q_n r_n s_n)=((お) (か) 1/3 0 (き) (く) 0 1/6 (け) (こ) 1/3 0 0(さ) 1/3 (し))(p_(n-1) q_(n-1) r_(n-1) s_(n-1))
である。これより任意のnに対してr_nを求めるとr_n=(す)である。
(3)任意のnに対してp_n=s_nであることを示しなさい。
(4)任意のnに対して(√2)p_n+q_nと(-√2)p_n+q_nをそれぞれ求めると

(√2)p_n+q_n=(せ),(-√2)p_n+q_n=(そ)である。これより
o_n=1/2√2・((せ)-(そ)),q_n=1/2・((せ)+(そ))


[解答と解説]
(1)
090512_m4.jpg

この問題はなんか…もぉ…はぅん…って感じやな。

まず問題文が長いし操作がややこしいし、問題解くのも面倒臭くてもう力が抜けて好きにしてってソファーに寝転んでテーブルには浣腸置かれいたって言う状況になるわけや。

p_1,q_1,r_1,s_1を求めろってことやけど、とりあえず全部書き出して下さい。
こういう問題は文章で長々とわけわからん説明するより、絵を書いて説明するのがコツです。

まあ穴埋めやから、慶応大学医学部のこの問題については答え出すだけでええけどな。

写真を見てもらって、
p_1=1/12+1/12=1/6
q_1=1/6×4=2/3
r_1=0
s_1=1/6


(2)
もうこれが死ぬな。
なんでこんなややこしいことをさせるんやろな。

行列はあんまり関係なくて、単に4つの連立漸化式が成り立つってことだけです。

後は

p_n=(お)p_(n-1)+(か)q_(n-1)+1/3・r_(n-1)

なら、n-1の状態で表が1枚になってる確率がp_(n-1)で、表1枚の状態から操作Tをほどこして1枚のままになる確率が(お)になります。
それでn-1の状態で表が2枚が辺に沿って並んでいる確率がq_(n-1)で、表2枚が辺に沿って並んでいる状態から操作Tをほどこして1枚になる確率が(か)になります。
そしてn-1の状態で表が2枚が対角線に沿って並んでいる確率がr_(n-1)で、表2枚が対角線に沿って並んでいる状態から操作Tをほどこして1枚になる確率がなんか知らんけど1/3らしいな。

そうは言っても今受験会場ではないし勉強のためには、やっぱりうやむやと言うわけにはいかん。

だから穴埋めとは関係ないものまで全て書き下してみました。

n-1の状態で表2枚が辺に沿って並んでいる状態からの操作は(1)で書き下してるからそれを利用してください。

090512_m5.jpg

090512_m6.jpg

090512_m7.jpg

この図から4つの連立漸化式が求まります。
表1枚になるやつはp_nの確率へ、表2枚が辺に沿って並んでいるやつになるのはq_nの確率へ、表2枚が対角線に沿って並んでいるやつになるのはr_nの確率へ、表3枚のはs_nの確率へ

090512_m8.jpg

p_n=(1/12+1/6+1/4+1/6)p_(n-1)
+(1/12+1/12)q_(n-1)+(1/6+1/6)r_(n-1)+0×s_(n-1)
=2/3・p_(n-1)+1/6・q_(n-1)+1/3・r_(n-1)

q_n=(1/12+1/12)p_(n-1)+(1/6+1/6+1/6+1/6)q_(n-1)
+0×r_(n-1)+(1/12+1/12)s_(n-1)
=1/6・p_(n-1)+2/3・q_(n-1)+1/6・s_(n-1)

r_n=0×p_(n-1)+0×q_(n-1)
+(1/12+1/12+1/12+1/12)r_(n-1)+0×s_(n-1)
=1/3・r_(n-1)

s_n=0×p_(n-1)+(1/12+1/12)q_(n-1)+(1/6+1/6)r_(n-1)
+(1/6+1/4+1/6+1/12)s_(n-1)
=1/6・q_(n-1)+1/3・r_(n-1)*2/3・s_(n-1)

これで四つの連立漸化式が作れて、行列の表示したらオッケーなわけや。

r_nは公比1/3、初項r_1=0の等比数列やから
r_n=0×(1/3)^(n-1)=0

まあ計算するまでもなく0やけどな。

(3)
090512_m9.jpg

漸化式を見るとすぐにわかるとは思いますが、記述式はこれしかないし一応ちゃんとした証明である数学的帰納法を用いて丁寧に示しとこか。

数学的帰納法により任意のnに対してp_n=s_nが成立することを示す。
(i)n=1の時
(1)よりp_1=s_1=1/6で題意成立。

(ii)n=kの時、p_k=s_kと仮定すると
(2)より
p_(k+1)=2/3・p_k+1/6・q_k+1/3・r_k
=2/3・p_k+1/6・q_k

s_(k+1)=1/6・q_k+1/3・r_k+2/3・s_k
=2/3・s_k+1/6・q_k

よってp_(k+1)=s_(k+1)

(i)(ii)よりいすべてのnについてp_n=s_nが成立

(4)
090512_m10.jpg

これはなんか知らんけど(√2)p_n+q_nと(-√2)p_n+q_nを考えたら解けるってやつです。

(√2)p_(n+1)+q_(n+1)にさっきの連立漸化式から

p_(n+1)=2/3・p_n+1/6・q_n+1/3・r_n
=2/3・p_n+1/6・q_n

q_(n+1)=1/6・p_n+2/3・q_n+1/6・s_n
=1/3・p_n+2/3・q_n

を使うと

(√2)p_(n+1)+q_(n+1)=(√2+4)/6((√2)p_n+q_n)
になって(√2)p_n+q_nは公比(√2+4)/6の等比数列だから
(√2)p_n+q_n=((√2)p_1+q_1)((√2+4)/6)^(n-1)
=((√2+4)/6)^n

ってなんか知らんけど、上手いこといって同様にして
-(√2)p_n+q_n==((-√2+4)/6)^n
が出てきます。


受験会場ではこれで完璧やねんけど、なんで(√2)p_n+q_nとか(-√2)p_n+q_nなんか言うと、

連立漸化式の一つの解法として

p_(n+1)=ap_n+bq_n
q_(n+1)=cp_n+dq_n

と言うのがあると

p_(n+1)-αq_(n+1)=β(p_n-αq_n)

と言う式に出来ないかを考えて、p_nとq_nであらわしていくと

ap_n+bq_n-αcp_n-dαq_n=βp_n-αβq_n

(a-αc-β)p_n+(b-dα+αβ)q_n=0

より
a=αc+β
b=dα-αβ
を解いたらええわけで、この式では

2/3=α/3+β
1/6=2α/3-αβ

これを解いて
(α,β)=(-1/√2,(4+√2)/6),(1/√2,(4-√2)/6)

やから
p_(n+1)+1/√2・q_(n+1)=(4+√2)/6・(p_n+1/√2・q_n)
⇔(√2)p_(n+1)+q_(n+1)=(4+√2)/6・((√2)p_n+q_n)

p_(n+1)-1/√2・q_(n+1)=(4-√2)/6・(p_n-1/√2・q_n)
⇔(-√2)p_(n+1)+q_(n+1)=(4-√2)/6・((-√2)p_n+q_n)

と言うように、(√2)p_n+q_nと(-√2)p_n+q_nを考えたら等比数列になるってことがここからきてます。

まあ、この解法は覚えていなくても
p_(n+1)=ap_n+bq_n
q_(n+1)=cp_n+dq_n
からq_nかp_nかを消去するとp_nかq_nかの三項間漸化式になって解けるから、覚える必要は特にはありません。

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楕円と微分の問題、慶應大学医学部2009年度の第二問の解説
今日は相方が鼻血出して倒れた時の気分やけど、がんばるか。

慶應大学医学部2009年度の[Ⅱ]の楕円と微分の問題です。


[問題]
[Ⅱ]
090509_m1.jpg

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。

a,bを正の実数、mを実数、kを負の実数とする。xy平面上の楕円C:x^2/a^2+y^2/b^2=1と直線l:y=mx+kが異なる2点P,Qで交わるための必要十分条件はk>-(あ)であり、このときPQ=(2ab√(い))/(あ)である。
さらに、2点P,Qを固定して点Rを楕円C上で動かすときの△PQRの面積の最大値をAとするとA=PQ/2×(う)である。次に、mを固定してkを動かすとき、Aが最大となるkの値は(え)であり、その最大値は(お)である。

[解答]
090509_m2.jpg

異なる2点で交わるためには、やっぱりここは普通にyを消去してxの二次方程式にして、それが異なる2つの解を持てばええと思います。

一つ注意しとかなければならないのは、直線x=c(cは定数)とかx軸に垂直な直線ならxが一つの値に対して、直線と楕円の交点は上下に二つ出来ますが、y=mx+kではx軸に垂直な直線はありえないから、単にy消去してxの二次方程式が異なる二つの解をもてば大丈夫なわけです。

y消去して整理すると

(b^2+a^2m^2)x^2+2mka^2x+k^2a^2-a^2b^2=0…(1)

これが異なる2つの解をもつには判別式をDとするとD>0より

D/4=(mka^2)^2-a^2(k^2-b^2)(b^2+a^2m^2)
=-a^2b^2(k^2-b^2-a^2m^2)

だから
-a^2b^2(k^2-b^2-a^2m^2)>0

-√(b^2+a^2m^2)<k<√(b^2+a^2m^2)

kは負だから条件は-√(b^2+a^2m^2)<k(<0)だけでオッケーです。

090509_m3.jpg

次にPQの求め方やけど、ここは結構計算上大切なポイントがあってP,Qの座標を求めてからPQをまともに計算すると血吐きます。

こういうのはやり方が決まっていて
(b^2+a^2m^2)x^2+2mka^2x+k^2a^2-a^2b^2=0
の解をα,βとすると,点P,Qはy=mx+k上でもあるから
P(α,mα+k),Q(β,mβ+k)で
PQ=√((β-α)^2+(mβ+k-mα-k)^2)
=|β-α|√(1+m^2)

と言うように、出来るだけα、βのまま計算してまとめていきます。

|β-α|は二次方程式ax^2+bx+c=0の解の公式
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
から
(-b+√(b^2-4ac))/(2a)-(-b-√(b^2-4ac))/(2a)
=√(b^2-4ac)/a
のことで
(b^2+a^2m^2)x^2+2mka^2x+k^2a^2-a^2b^2=0
では
2ab√(b^2+a^2m^2-k^2)/(b^2+a^2m^2)
になります。

090509_m4.jpg

だから(b^2+a^2m^2)x^2+2mka^2x+k^2a^2-a^2b^2=0
の解をα、β(α<β)としておくと

β-α=2ab√(b^2+a^2m^2-k^2)/(b^2+a^2m^2)

PQ=(2ab√((b^2+a^2m^2-k^2)(1+m^2)))/(b^2+a^2m^2)

090509_m5.jpg

△PQRが最大になるのは、P,Qは固定だから点RからPQにおろした垂線の長さが最大になる時です。

ここで、いつものように点Rにおける接線がPQと平行になるようなのを求めると、わけわからんことなって死にます。

ほんまもうあかんようになると思う。

その方法は確かに有効な問題がかなり多いですが、この問題については死にます。

その辺の判断は難しいかもしれませんが、やっぱり楕円やから接線はちょっとややこしいわけやな。

と言うことで、もう一つの方法

点Rは楕円C上より点R(acosΘ,bsinθ)とおいて、点と直線の距離の公式から垂線の長さを求めてθを動かして最大値を求める

を使います。

やっぱ、円とか楕円とかなると三角関数の媒介変数の方が計算が簡単になること多いからな。

mx-y+k=0と点R(acosΘ,bsinθ)に使うと

|macosθ-bsinθ+k|/√(m^2+1)

これはちょうど三角関数の合成が使えるから、

|macosθ-bsinθ+k|/√(m^2+1)
=|√(m^2a^2+b^2)cos(θ+γ)+k|/√(m^2+1)
≦(√(m^2a^2+b^2)-k)/√(m^2+1)

(cosγ=ma/√(m^2a^2+b^2),sinγ=b/√(m^2a^2+b^2))

kが負の実数だから√(m^2a^2+b^2)cos(θ+γ)も同じ符号で絶対値が最大のものである-√(m^2a^2+b^2)をとった時に
|-√(m^2a^2+b^2)cos(θ+γ)+k|
が最大になります。
この絶対値の中は負より、マイナスをかけて
√(m^2a^2+b^2)-k
と絶対値が外せます。

まあちょっとややこしいけどな。

だからRから直線PQにおろした垂線の長さの最大値は
(√(m^2a^2+b^2)-k)/√(m^2+1)
この時、Aも最大で
A=1/2・PQ×(√(m^2a^2+b^2)-k)/√(m^2+1)

090509_m6.jpg

次はmを固定してkを動かすってことやけどPQの値を入れると

A=1/2×(2ab√((b^2+a^2m^2-k^2)(1+m^2)))/(b^2+a^2m^2)×(√(m^2a^2+b^2)-k)/√(m^2+1)
=ab(√(b^2+a^2m^2-k^2)(√(m^2a^2+b^2)-k))/(b^2+a^2m^2)

これをkで微分するわけや。

おえ~!??

ちょう、ほんま?おえ~!?


まあ一回落ちつけ。

これは実はもっと簡単な式で例えば
√(b^2+a^2m^2)=M
とおくと

A=ab(√(M^2-k^2)(M-k))/M^2
=ab(√((M-k)^3(M+k)))/M^2

ってそこそこ簡単になるわけやな。

微分するのは(M-k)^3(M+k)のとこだけ調べたらいいから

f(k)=(M-k)^3(M+k)
とおくと
f'(k)=-3(M-k)^2(M+k)+(M-k)^3
=-4(k-M)^2(k+M/2)

090509_m7.jpg

増減表を書くとk=-M/2で最大値になることがわかります。

だからk=-√(b^2+a^2m^2)/2の時、最大となり
最大値は
ab(√(M/2)^3(3M/2)))/M^2
=(3(√3)ab)/4

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