受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次不等式の問題、東北大学文系2009年度第一問の解説
ちょっとチカちゃんを頼むわ。


東北大学文系2009年度第一問の解説


[問題]
touhoku2009bu1.jpg

すべての実数xに対して不等式

2^(2x+2)+2^x・a+1-a>0

が成り立つような実数aの範囲を求めよ。


[解答と解説]
touhoku2009bu1_1.jpg

指数の式とこればだいたい2^x=tとおいてtの式と考えて解くことが多いです。

2^(2x)は指数法則

a^(xy)=(a^x)^y=(a^y)^x

から(2^x)^2と考えて

2^(2x)=t^2

とか置いていきます。


2^(2x+2)のような場合は指数法則

a^(x+y)=(a^x)(a^y)

から

2^(2x+2)=(2^2)(2^(2x))
=4(2^(2x))
=4t^2

って置き換えるねん。


それで2^x=tと置いたときは範囲に注意してください。

xが全ての実数の範囲なら、2^xは全ての正の数を動きます。


だから2^x=tとおくと

2^(2x+2)+2^x・a+1-a>0

4t^2+at+1-a>0

でt>0やな。


だから問題はすべての正の数tで

4t^2+at+1-a>0

が成り立つような実数aの範囲を求めたらええことになるけど、どう扱って求めたらええかと言うと

f(t)=4t^2+at+1-a

とおいてy=f(t)(t>0)のグラフを考えて小さくなるとこが0より大きくなるようにしたらええねん。


二次関数では最小値は軸の位置によって変わったから

f(t)=4(t+a/8)^2+(-a^2-16a+16)/16

と平方完成して軸はt=-a/8ってわかります。


(i)
軸t=-a/8が0以下つまりはa≧0なら、t>0で増加関数やからf(0)のとこが0以上であればオッケーやな。
f(0)≧0⇔a≦1

f(0)>0じゃなくてf(0)≧0であることに注意したってください。

t>0はt=0は入らないからf(0)は0でもええねん。


それでa≧0とあわせて

0≦a≦1

(ii)
touhoku2009bu1_2.jpg

もう一つは軸t=-a/8がt>0に入るとき、つまり-a/8>0⇔a<0の時

これはy=f(t)の最小値が頂点のf(-a/8)だから

f(-a/8)>0⇔(-a^2-16a+16)/16>0

-8-4√5<a<-8+4√5

であればオッケーやな。


今度は-a/8はt>0に入るから、0より大きくなければならないねん。


後一つ注意せなあかんのは

-a/8≧0つまりa≦0の時って場合わけしたら、

軸-a/8が0の時はt>0に軸は入らないからf(-a/8)≧0で
-a/8がが0より大きいときはf(-a/8)>0

って具合悪くなることにも注意してくれ。


結局a<0とあわせて

-8-4√5<a<0

(i),(ii)から

-8-4√5<a<0または0≦a≦1



-8-4√5<a≦1


簡単な問題に見えて端点が入るとか入らないとか気をつけなあかん問題やったな。

東北大学の入試の数学の過去問の解説




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絶対値が入った二次方程式の問題、東北大学理系2009年度の第六問の解説
二日間歯磨き粉の無い生活を送った気分ですね。


東北大学理系2009年度第6問の解説


[問題]
touhoku2009ri6.jpg

実数aに対して、xの方程式
|x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1=0
が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。


[解答と解説]
まず一番最初に考えられるのは定数分離と言う典型的な方法があります。

ただこれは定数文理すると分数関数になるから数学3の知識が必要やし、絶対値も外さなあかんってことで大変やねんな。


ただ大変と言っても、この方法でやればコツコツ計算するだけで絶対に出来ると言うとこのは大切なことやし、うまい方法を考える前に計算してしまった方が早いときもあるやろ。
うまい方法が思いつくとも限らんしな。

だからこういう、ややこしい計算して求められる能力が数学の基本的な力を高めると思います。


と言うことでまずは、定数分離でもコツコツ求めめてみます。
数学3をやらない文系の人は、ここは軽く読み流しといてください。

touhoku2009ri6_1.jpg

まず
a=(xの式)
の形にしなあかんけど、

(2|x|-4|x-2|)a=1-|x(x-2)|

のとこで(2|x|-4|x-2|)で割るときに注意せなあかんねん。

これが0やったら割られへんからな。

だから

(2|x|-4|x-2|)=0としたら

(2|x|-4|x-2|)=0⇔|x|=2|x^2|
⇔x=±2(x-2)
⇔x=4,4/3

で、x=4の時は右辺の1-|x(x-2)|は-7

x=4/3の時は右辺は1/9

で左辺は0だから矛盾してます。


よって

(2|x|-4|x-2|)≠0

だから割ることが出来ます。

文字が入った式で割るときは、よくこうやるから注意しとったってください。


結局

a=(1-|x(x-2)|)/(2(|x|-|x-2|))

だから

f(x)=(1-|x(x-2)|)/(2(|x|-|x-2|))

とおいて、次は絶対値を外さなければなりません。


うへ~!

って隣の人に消しゴムを投げつけたくなりそうですが、

x(x-2)とxとx-2は正負が切り替わるのはxが0と2です。


だから
x≦0と0≦x≦2と2≦xの三つに場合わけしたらオッケーです。


ただこうやって何も考えずに全部=を入れて
x≦0と0≦x≦2と2≦x
と場合わけしといたら、
x≦0と0<x≦2と2<x
と違って0が入るとか入らんとか深いことは考えずに済むことが多くて便利ですが、今回はまずいです。

だから
x<0,0≦x<2,2≦xと場合わけします。

その理由はこれから説明していきますわ。


touhoku2009ri6_2.jpg

(i)x<0の時

f(x)=(x^2-2x-1)/(2(4-x))

f'(x)=-(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)

でこれはx<0では常に負です。


(ii)0≦x<2のとき

f(x)=(-x^2+2x-1)/(2(4-3x))

f'(x)=(3x-5)(x-1)/(2(4-3x)^2)

(iii)2≦xの時

f(x)=(x^2-2x-1)/(2(x-4))

f'(x)=(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)

ここまで計算大変やったな。

後はなが~い増減表を書くだけや。

x=4/3,2の漸近線にも注意したってくな。


それで何で
x≦0と0≦x≦2と2≦x
と場合わけしたらあかんかって
x≦0と0<x≦2と2<x
と場合わけしなあかんかと言うと


x≦0の時
f'(x)=-(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)
とすれば
f'(0)=-9/32

0≦x<2の時
f'(x)=(3x-5)(x-1)/(2(4-3x)^2)
とすれば
f'(0)=5/32

で導関数がx=0のとこで二つ違う値になるから、あかんねんな。

絶対値が入った関数ではよくある話やけどf(x)がx=0で微分不可能やからこういうことなるねん。

だから

x<0の時
f'(x)=-(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)

0≦x<2の時
f'(x)=(3x-5)(x-1)/(2(4-3x)^2)

ってせなあかんってことに注意したってください。

x=2も同じです。


それで苦労してグラフを書くと

touhoku2009ri6_3.jpg

後はこれでy=aがy=f(x)と異なる4つの共有点を持つ範囲にすればいいから、

-1/8<a<0,2/9<a<1/4,3+√7<a


こうやって処理能力があれば、非常に強いと思います。

まあ理系の問題やしな。


それでこの問題を数学3を使わずに解こうとするとどうなるかと言うと絶対値を外して二次関数の解の配置問題みたいなのに持ち込みます。

たぶんこうやって解いて欲しかったんかもしれません。

touhoku2009ri6_4.jpg

f(x)=|x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1
とおいて絶対値をはずして
x≦0の時
f(x)=x(x-2)-2ax+4a(x-2)
={x-(1-a)}^2-a^2-6a-2

0≦x≦2の時
f(x)=-x(x-2)+2ax+4a(x-2)-1
=-{x-(3a+1)}^2+9a^2-2a

2≦xの時
f(x)=x(x-2)+2ax-4a(x-2)-1
={x-(a+1)}^2-a^2+6a-2

これがどういうグラフになるか考えてy=f(x)がx軸と共有点を4つ持つようにしたいねんけど、そうなるには単調減少と単調増加が2つずつ必要だから、3つの放物線の軸がそれぞれの定義域に入ってるかどうかで場合わけをしたいとこです。

だから

1-a≦0と0≦1-a

3a+1≦0と0≦3a+1≦2と2≦3a+1

a+1≦2と2≦a+1

で場合わけしなければなりません。


って2×3×2=12通りで場合分けしてたら56分後、

「たかし~ごはんよ~」

ってママが部屋を覗きに行ったら

touhoku2009ri6_5.jpg

ヘイ!ヘイ!って提灯振り回して走り回ってて、その辺のカーテンとかソファーに火つけて暴れまくってる状態で発見されます。



まあ一回落ち着け

1-a≦0と0≦1-a

3a+1≦0と0≦3a+1≦2と2≦3a+1

a+1≦2と2≦a+1

はa=1,-1/3,1/3で切り替わるから

a≦-1/3と-1/3≦a≦1/3と1/3≦a≦1と1≦a

の四つで場合わけしたらいいだけです。


どの値で切り替わるかで、場合わけをしたら上手くいくことが多いねん。


ただここでもx軸と4つの異なる共有点を持つことを考えると

a≦-1/3と-1/3≦a≦1/3と1/3≦a≦1と1≦a

と言うように全部≦にして場合わけすると上手くいかなくて

a≦-1/3と-1/3<a<1/3と1/3≦a≦1と1<a

と場合わけせなあかんねん。


まあこれはやってみなわからんことやねんけど、

4つの異なる共有点を持つには単調減少と単調増加が2つずつ必要で、-1/3<a<1/3と1<aの二つの範囲がその可能性があるねんけど、そうなるには軸の頂点が端点じゃなくて定義域の中に入っとかなあかんねん。


とりあえずは口で説明してもあれやから、やってみよか。

touhoku2009ri6_6.jpg

(i)a≦-1/3の時
それぞれの定義域での頂点と定義域の関係は
1-a>0,3a+1≦0,a+1<2だから
y=f(x)のグラフを書くと

x<2まで単調減少して2<xで単調増加するからx軸と4つの共有点を持つことはありません。

(ii)-1/3<a<1/3の時

1-a>0,0<3a+1<2,a+1<2
でこれは0≦x≦2での放物線の軸3a+1が定義域の内側に入ります。

単調減少の部分が二つ、単調増加の部分が二つずつ必要やけどそれには
軸が3a+1=0とか3a+1=2とか端の場合はあかんねん。

0<3a+1<2とか内側に入る場合に単調減少の部分が二つ、単調増加の部分が二つずつ出来るねん。

だから
-1/3<a<1/3
って言う場合わけになります。

それで、この時x軸と4つの異なる共有点をもつには

f(0)<0
f(3a+1)>0
f(2)<0

になればオッケーです。

こえを整理すれば
-1/8<a<0,2/9<a<1/4

touhoku2009ri6_7.jpg

(iii)1/3≦a≦1の時

1-a≧0,2≦3a+1,a+1≦2で

この場合x<0で単調減少,0<xで単調増加だからx軸と異なる4つの共有点を持つことはありえません。

(iv)1<aの時
1-a<0,2<3a+1,a+1>2だから
x≦0の部分の放物線は軸がx<0にあって、
0≦x≦2の部分の放物線は放物線は軸が入ってなくて単調増加
x≧2の部分の放物線は軸が2<xのあります。

だから単調増加の部分と単調減少の部分が2つずつ出来るねんけど、これも軸が端点になったらあかんねんな。

だから1≦aじゃなくて1<aって場合わけしてます。

それでx軸と異なる4つの共有点を持つには
f(1-a)<0
f(2)>0
f(a+1)<0
であればよくて1<aとあわせて
3+√7<a

(i)~(iv)より

-1/8<a<0,2/9<a<1/4,3+√7<a


疲れたな。

東北大学の入試の数学の過去問の解説




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行列の問題、東北大学理系2009年度第5問の解説
新しいもの好きはラクダに乗りたがるか…

東北大学理系2009年度第5問の解説

[問題]
touhoku2009bunri5.jpg

a,b,c,d,p,qはad-bc>0,p>0,q>0を満たす実数とする。2つの行列
A=(a b c d)とP=(p 0 0 q)がAPA=P^2を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)P^3A=AP^3が成り立つことを示せ。
(2)Aをpとqで表せ。

((a b c d)は行列
a b
c d


[解答と解説]
(1)
touhoku2009bunri5_1.jpg

恐らくは
APA=P^2を使えば
P^3A=P^3A
が示せるんちゃうかって思えます。

思えない人は、まああれですわ。

あれや。

それでどう示すかと言うと、次数下げの時と同じようにP^2をAPAに置き換えたらどうかな思って

P^3A=P^2・PA
=(APA)PA
=AP(APA)
=AP・P^2
=AP^3

これが

P^3A=P・P^2・A
=P(APA)A
=PAPA^2

とやればちょっと具合悪いですね。

だから行列は実数や複素数のように次数下げとか同じようことをやるのがコツやねんけど、掛け算が交換が出来ない。
ここが違うとこに注意したってくれ。

(2)
touhoku2009bunri5_2.jpg

たぶん(1)のP^3A=AP^3を使うんやろうけど、これはもちろん必要条件です。
これが成り立ってても

ad-bc>0,p>0,q>0
A=(a b c d)
P=(p 0 0 q)
APA=P^2

が成り立たへんからな。

じゃあどういう扱いをするんか言うと、

必要条件で条件を絞る

ってことです。

参照→必要条件を出して条件を絞る、またはそれが十分条件であることを示す流れの解法

だから
P^3A=AP^3
これを整理してみると

b(p^3-q^3)=0
c(p^3-q^3)=0

って式が出ます。

これで結構条件が絞られるわけやな。


ただなんかこれを見てるだけでは

b=0かつq=0
または
p=q

??

って感じやねんけど、この問題はAをpとqで表せって問題です。

だからpとqが定数扱いでpとqの条件で場合分けをせなあかんねん。

つまり
p=qの時は、二つの式は成り立つからbとcは任意
p≠qの時は、b=c=0


これで場合わけして処理していって
(i)p=qの時、P=pE
だから
APA=P^2を整理すると

a^2+bc=p
(a+d)b=0
(a+d)c=0
d^2+bc=p

これをどう処理したらええか、大変やけどまず

(a+d)b=0
(a+d)c=0

から

a+d=0
または
b=c=0

やねんけど、この場合わけでは結構ややこしくなることがあります。

例えば
a(a+d)+b=0

なら
a+d=0
の時b=0

b=c=0の時

a(a+d)=0

ってなるから、もっかい
a+d=0
または
a=0

と言うようにa+d=0の場合わけが出てきて、消しゴムにシェーペンでぶるえ~!!って穴空けまくって、気持ち悪いことなります。

そこでどうするかと言うと

a+d=0
または
a+d≠0

と場合わけしたら、非常にすっきりして上手いったりします。

これはこういう行列の問題でたくさん連立式が出てきた時の処理によく使います。


だから今回も
(a+d)b=0
(a+d)c=0


a+d=0の時
a=-dで

全ての式に代入していくとad-bc>0の式が

-(d^2+bc)>0

d^2+bc<0
になりますが、
d^2+bc=p>0
だったから矛盾してます。
だからこの場合はなし。


a+d≠0の時
b=c=0
だから
a^2+bc=p,d^2+bc=p,ad-bc>0
から
a^2=p,d^2=p,ad>0

touhoku2009bunri5_3.jpg

よってa,dは同符号なので
(a,d)=(±√p,±√p)(複号同順)

複号同順は
(+√p,+√p)と(-√p,-√p)って意味です。

(+√p,+√p),(+√p,-√p),(-√p,+√p),(-√p,-√p)
の場合は複号任意って書いたりするのはええかな?

ええみたいやな。


次の場合わけ
(ii)p≠qの時、b=c=0でした。

だからこれもほとんど同じで
APA=P^2を整理すると
a^2=p,d^2=q
でad-bc>0からad>0でaとdは同符号です。
だから

(a,d)=(±√p,±√q)(複号同順)

(i)(ii)から
A=(±√p 0 0 ±√q)(複号同順)

とp=qの場合もまとめて書くことが出来ます。

まとめて書かなくても点数が引かれることはたぶん無いと思います。

東北大学の入試の数学の過去問の解説




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プロフィール

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京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
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