受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角形の内接円の作図の方法
今日は三角形の内接円の書き方を説明します。

そしたら、今日もコンパスお兄さんを呼んでみよか。

コンパスお兄さ~ん。


090825_m1.jpg

「あらやだ。
可愛い男の子ばかりじゃないの。」


コンパスお兄さんはジャニーズ系の美少年に物を買い与えるとこはありますが、親切なので気軽に質問してください。


そしたらさっそく内接円の作図について説明しましょう。

090826_m1.jpg

三角形ABCがあるとします。
これに内接円を書いてみます。


○∠ABCの二等分線を引く

どの角の二等分線でもいいねんけど、とりあえずは∠ABCの二等分線を書いてみます。
二等分線の書き方は

090826_m2.jpg

点Bにコンパスの針をのせて、適当な長さの開き具合で円を書いて辺ABと辺ACと交わりを作ります。

090826_m3.jpg

今度はコンパスの開き具合を上と下の交点を結んだ線分の長さの半分より長くして、下の交点に針を置いてチョンって上の方に印をつけるように書きます。

090826_m4.jpg

コンパスをそのままの開き具合にして置いて、今度は上の方に針を置いてさっきつけた印に交わるよう印をつけます。

090826_m5.jpg

それで定規で直線でその交点と点Bを結びます。


○∠ACBの二等分線を引く

これも残りの2つの角のうちどっちでもいいんですが、とりあえず∠ACBの二等分線を書くことにします。

090826_m6.jpg

さっきと全く同じようにして二等分線を書いてください。


この二つの二等分線の交点Iが内接円の中心になります。


○内接円の中心Iから辺BCに垂線をおろす。

これも辺ABでも辺CAでもいいけど、とりあえず辺BCにおろします。

垂線のおろしかたは、

090826_m7.jpg

中心Iにコンパスの針を置いて、コンパスを適当な長さに開いて辺BCに交わると二点で交わるように円の一部をチョン、チョンって書きます。

090826_m8.jpg

次にその二つの交点を線分とした垂直二等分線を引きます。
だからまずその二つの交点を結んだ線分の長さの半分より少し長くコンパスを開いて、右の交点の方に針を置いて、下の方にチョンって印をつけます。

090826_m9.jpg

コンパスの開き具合をそのままにしておいて、今度は左の交点の方に針を置いて下に印をつけてさっきの印と交わるようにします。

090826_m10.jpg

それで定規でその交点と内接円の中心Iを直線で結びます。

090826_m11.jpg

その直線と辺BCの交わったところが、内接円と辺BCとの接点になります。
だから中心Iにコンパスの針を置いて、コンパスの鉛筆の方をその接点にあわせるようにして開きます。
その半径の長さで円を書いたらできあがりです。


みんな出来たかな?


内接円の作図は結構大変やな。


内接円の中心は三辺からの距離が等しくなる点やけど、∠ABCの二等分線上の点は辺ABと辺BCからの距離が等しい点の集合で、∠ACBの二等分線上の点は辺ACと辺BCからの距離が等しい点の集合だから、その二つの二等分線の交点は三辺AB,BC,CAからの距離が等しい点になります。

だからこれが内接円の中心になります。

半径はその中心から辺までの距離やから、中心から一つの辺に垂線を降ろしたらその垂線の長さが半径になります。

中学数学の公式や問題の解説




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三角形の外接円の作図の方法
今日は三角形ABCの外接円の書き方を説明しよか。

定規とコンパスだけで書くのが作図ってことやで。


そしたら、今日もコンパスお兄さんを呼んでみよか。


コンパスお兄さ~ん!

090825_m1.jpg

ごめん遊ばせ。

コンパスお兄さんは、可愛い男の子がおったら家に誘って一緒にお風呂入ろうとする所はあるけど、いい人です。

みんな恐がらずに話しかけてみましょう。


そしたら早速
まず三角形ABCの外接円の作図の方法を説明しはじめます。

090825_m2.jpg

△ABCがあるとします。
今からこれに外接円をかきます。


○辺BCの垂直二等分線を引く

どの辺でもいいねんけど、とりあえず辺BCの垂直二等分線を引きます。
垂直二等分線の書き方は

090825_m3.jpg

まずCにコンパスの針を置いて、コンパスの開き具合を辺BCの半分の長さよりも少し長くして上の方と下の方にチョン、チョンって円の一部を書きます。

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コンパスの開き具合をそのままにしておいて、同じ半径で今度は点Bにコンパスの針を置いて、上の方と下の方にチョン、チョンって円の一部を書いて、さっき書いたものと上も下も交わるようにします。

この時、交わらなかったらさっきの点Bに針をおいた時に、もっと長く円の一部を書いたってください。

090825_m5.jpg

次に上の交点と、下の交点を定規を置いて直線で結びます。

これで辺BCの垂直二等分線の完成です。


○辺ACの垂直二等分線を引く

これも残りの二辺のうちどっちでもええねんけど、とりあえず辺ACに垂直二等分線を引きます。

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さっきとまったく同じようにやります。


○垂直二等分線の交点を中心とした円を書く。

090825_m7.jpg

垂直二等分線の交点が外接円の中心Oになります。
だからそこにコンパスの針を置いて、中心Oから点Bまでの距離が外接円の半径になるからコンパスの鉛筆の方を点Bにあわせてから、円を書きます。

もちろん3点A,B,Cどの点も中心Oからの距離は同じやから点Bじゃなくて、点Aとか点Cにコンパスの鉛筆の方をあわせて円を書いてもオッケーです。


これで完成。


外接円はこのように、三点A,B,Cからの距離が等しい点が中心やねんけど、辺BCの垂直二等分線上の点は2点B,Cからの距離が等しい点の集合で、辺ACの垂直二等分線の点は2点A,Cからの距離が等しい点の集合だから、その二つの垂直二等分線の交点が3点A,B,Cがの距離が等しい点になってて外接円の中心であることがわかります。

中学数学の公式や問題の解説




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比例のグラフの書き方
比例と反比例の関係とグラフと変域で、比例のグラフの書き方について具体的に書きたい思います。

と言うより、y=-(1/3)xがどんなグラフなんか質問があったからやねんけど。


そのy=-(1/3)xのグラフの書き方を説明します。

まずこの式でxに色々な値を入れてyがどんな値かを調べるねん。
x=0を代入すると、y=0になります。
これは比例のグラフy=axなら、みんな0になるねんけどな。
x=1を代入してみると、y=-1/3×1=-1/3になります。
x=2を代入してみると、y=-1/3×2=-2/3。
x=3を代入してみると、y=-1/3×3=-1。
x=4を代入してみると、y=-1/3×4=-4/3。
x=5を代入してみると、y=-1/3×5=-5/3。
x=6を代入してみると、y=-1/3×6=-2。

今度はxにマイナスの値をいれてみると
x=-1を代入してみると、y=-1/3×(-1)=1/3になります。
x=-2を代入してみると、y=-1/3×(-2)=2/3。
x=-3を代入してみると、y=-1/3×(-3)=1。
x=-4を代入してみると、y=-1/3×(-4)=4/3。
x=-5を代入してみると、y=-1/3×(-5)=5/3。
x=-6を代入してみると、y=-1/3×(-6)=2。

それで、これらの値に対応する点をグラフにうちます。
だいたい中学生なら方眼紙やな。
よく学校に忘れて友達に土下座して1枚もらって授業はじまったら」3枚くらい使うことになって泣きそうになるやつな。

090823_m1.jpg

点をうっていって、定規でそれらの点を結ぶとできあがります。

しかしグラフ書くのにいちいち大量に値を調べてたら、もう疲れてきて

090823_m3.jpg

こういうおじさんが近づいてきて連れて行かれる精神状態になってまいます。

だからそういうことならんように、比例のグラフは直線になるねんから、直線は通る2点さえわかればその2点を定規で結べば書かけるはずやから、y=-(1/3)xならまずx=0,y=0の原点を通るはず。
もう一点は別に何でもいいけど、y=-(1/3)xは1/3が分数やからx=3やとy=-1って綺麗な値になって扱いやすいねん。

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(3,-1)の点を打って、定規で原点と(3,-1)の2点を直線で結ぶとできあがり。


こうやって比例のグラフを書いたってください。


そしたら、たくさんグラフを書いていってみよか。

090823_m4.jpg

y=7x
ならx=0の時、y=0で原点を通るのはお決まりで
x=1を代入すると、y=7やから(1,7)を通る。

(1,7)の点を打って、原点と(1,7)の2点を直線で結ぶと完成。

090823_m5.jpg

y=(13/5)x
はx=0を代入すればy=0だから、これももちろん原点(0,0)を通っていて、
x=5を代入するとy=13やから
原点を(5,13)の2点を直線で結んで完成。

x=1を代入するとy=13/5で、この(1,13/5)の点を使ってもええけど単にx=5やとy=13で整数になるから扱いやすいってだけの話やねんな。


090823_m6.jpg

y=x
は原点を通っていて、x=1を代入するとy=1やから
原点と(1,1)の2点を直線で結んだらオッケー。

y=xの直線でちょうど45°の傾きになるねん。

090823_m7.jpg

y=(1/2)x
はもちろんこれも原点を通って、x=1を代入するとy=1/2で別にこれでもええねんけど、x=2の方が代入するとy=1で少し扱いやすくなって
原点と(2,1)を結んで完成。



090823_m8.jpg

y=-(1/2)x
はマイナスになってもx=0を代入すればy=0やから原点(0,0)をちゃんと通って、
x=2を代入すれば、y=-1やから
原点と(2,-1)を直線で結んで完成。

090823_m9.jpg

y=-x
はこれも原点を通って、x=1を代入するとy=-1から
原点と(1,-1)を直線で結んだらオッケーです。

090823_m10.jpg

y=(-14/3)x
はこれも原点を通って、x=3を代入したらy=-14やから
原点と(3,-14)を直線で結んだらええねん。

これもx=1じゃなくてx=3を代入してるんはy=-14になって整数になるから扱いやすそうやからって言う理由だけやで。
包含用紙が-14とか出てきたらはみでる時は(1,-14/3)の点を書いたりせなあかんしな。
まあそんな感じですわ。

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京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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