受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

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等速円運動の速度と加速度

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等速円運動の速度と加速度
高校で習う等速円運動は数学三の三角関数の微分を習ってない時期に無理矢理勉強しなければならないので結構意味がわからなくなりがちです。

円の半径をr、角速度をω、速度ベクトルをv↑、v↑の大きさv、加速度の大きさをaとする

まずは速度の大きさv=rωを示しましょう。
ph1_1.jpg

このように、微小時間Δtの間に円周をvΔt進みますが、この時青いとこの角度はωΔtだからこの赤い弧の長さはrωΔt
よって
vΔt=rωΔt
両辺Δtでわって
v=rω

これはほとんど弧度法の問題なので
弧度法、何故π=180°か?
ここも併せて、見ると参考になるかもしれません。


次は、やっかいな加速度の大きさa=vω=rω^2です。
直線上の運動では
加速度=速さの変化量/時間の変化量
でしたが、今の場合2次元で速度ベクトルの向きが変化するから
加速度の大きさ=速度ベクトルの変化の大きさ/時間の変化量
です。
これを式で表していきましょう。

ph1_2.jpg

微小時間Δtに、速度ベクトルv↑が速度ベクトルv'↑に変化したとします。
等速なのでv'↑の大きさもvです。

Δtの間に速度ベクトルの変化を表したベクトルは
v'↑-v↑
です。
始点を揃えて書くと
ph1_3.jpg

この青のベクトルが速度ベクトルの変化を表したベクトルです。
これを左の半径vの円で、角度ωΔtの弧の長さに近似します。
すると速度ベクトルの変化の大きさΔv=|v'↑-v↑|は
Δv=vωΔt
です。
だから
a=Δv/Δt
=vωΔt/Δt
=vω
=rω^2
Δtを0に限りなく近づけると、限りになくaはvωに近づくと考えられます。
加速度ベクトルの向きはv'↑-v↑で限りなくv'↑をv↑に近づけると、向きは限りなくvに直角で円周から中心への向かう向きに近づきます。
常に中心に向かって加速しているわけです。


これでわかれば別にもういいと思いますが、参考にもう少し正確には
弧度法、何故π=180°か?
のsinx/x→1(x→0)のとこの証明を応用して
vsinωΔt<Δv<vtanωΔtだから
vω(sinωΔt/ωΔt)<Δv/Δt<vω(sinωΔt/ωΔt)cosωΔt
vω(sinωΔt/ωΔt)→vω、(Δt→0)
vω(sinωΔt/ωΔt)cosωΔt→vω、(Δt→0)
より
Δv/Δt→vω、(Δt→0)

ただここまでこれば結局のところsinx/x→1(x→0)を使ってやってるから、もう微分と同じです。
やはり三角関数の微分を習うと、こんなベクトルの微小な変化量を考えるよりすっきりすると思います。
微分を使えば、等速円運動の円の中心を原点とした位置ベクトルは
x↑=r(cosωt,sinωt)
で速度は
v↑=r(dcosωt/dt,dsinωt/dt)
=r(-ωsinωt,ωcosωt)
=rω(-sinωt,cosωt)
だから大きさは
v=rω√(sinωt^2+cosωt^2)=rω
加速度は
a↑=rω(-dsinωt/dt,dcosωt/dt)
=rω(-ωcosωt,-ωsinωt)
=-rω^2x↑
だから大きさ同じように
a=rω^2

また
v↑=rω(-sinωt,cosωt)
=rω(cos(ωt+π/2),sin(ωt+π/2))
より反時計周りに運動している時は、速度ベクトルは位置ベクトルを反時計周りに90°回転させた向き。
a↑=-rω^2x↑
から、位置ベクトルと加速度ベクトルは反対向きとわかります。

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階差数列やΣ計算
一般的に階差数列
bn=an+1-anは

Σ(k=1~n)bk
=Σ(k=1~n)ak+1-ak
=a2-a1+a3-a2+a4-a3…an+1-an
=-a1+(a2-a2)+(a3-a3)…(an-an)+an+1
=an+1-a1

階差数列はこの
Σ(k=1~n)bk=an+1-a1
と言う関係式がポイントです。
n≧2の時
Σ(k=1~n-1)bk=an-a1
だから
an=Σ(k=1~n-1)bk-a1

例えば初項b、公比rとしてbn=br^(n-1)の等比数列の場合など
an=a1+Σ(k=1~n-1)bk
=a1+Σ(k=1~n-1)br^(k-1)=a1+b(1-r^n)/(1-r)
と計算できます。

Σ(k=1~n)bk=an+1-a1
の関係は当たり前のようでかなり重要で
さらに例えばan=n^2の時は
(n+1)^2-n^2=2n+1
から
Σ(k=1~n)(2k+1)=an+1-a1=(n+1)^2-1
だから
Σ(k=1~n)k=1/2{(n+1)^2-1-n}
=1/2n(n+1)
ってΣの計算も導かれます

もう一個さらに
Σ(k=1~n)bk=an+1-a1
の関係を使えば
1/n(n+1)=-1/(n+1)+1/n
bn=1/n(n+1)
an=-1/n
と考えると
Σ(k=1~n)1/k(k+1)=an+1-a1
=1-1/(n+1)
と足せなさそうなものまで足せます。

この分数の足し算は例えば、1+1/2+1/4+1/9+…+1/n^2+…
と無限に足しつづけると、どこまでも大きくなるのか?
それともある値を越えないのか?考えると
n-1<nより
n(n-1)<n^2
で逆数をとって
1/n^2<1/n(n-1)だから
1+Σ(k=2~n)1/k^2<1+Σ(k=2~n)1/k(k-1)=1+1-1/(n+1)<2
でいくら足しても2未満とわかります


ちなみにこの値は
Σ(1~∞)1/n^2=π^2/6です
求め方は、大学でということで

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