受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角形の図形問題、三角形ABCの内部に点Pをとり各辺に点Pから垂線を引く。
[問題]三角形ABCがあり、内部に点Pをとる。
点Pから辺BC、CA、ABにそれぞれ垂線PD、PE、PFを引く。
この時、
BC/PD + AC/PE + AB/PF
が最小になるのは点Pがどんな点の時か?


[解答]
この問題は、三角関数でごりごりと計算しだすとノート何ページも使って計算しまくって、いつの間にかノートに

うへ~!

ってお経書きまくってると言う無限地獄に陥る可能性があります。


080928_m1.jpg
こういう
BC/PD + AC/PE + AB/PF
のような形を見ると、一回考えてみて欲しいのがコーシーシュワルツの不等式です。

コーシー、シュワルツの不等式はx→とy→をベクトルとすると
|x→|^2|y→|^2≧(x→・y→)^2
のことで、x→=(x1,x2,x3)とy→=(y1,y2,y3)とすると
(x1^2 + x2^2 + x3^2)(y1^2 + y2^2 + y3^2)≧(x1y1+x2y2+x3y3)^2
で高校ではコーシー・シュワルツの不等式と言います。

積分のコーシー・シュワルツの不等式もありますが、内積はもっと色々な定義があって同じものです。

BC/PD + AC/PE + AB/PFにコーシー・シュワルツを使うには

x→=(√(BC/PD),√(AC/PE),√A(B/PF))とy→=(√(BC・PD),√(AC・PE),√(AB・PF))

とすれば、

|x→|^2=BC/PD + AC/PE + AB/PF

|y→|^2=BC・PD + AC・PE + AB・PF

ですがBC・PD + AC・PE + AB・PFは△ABCの面積は1/2(BC・PD + AC・PE + AB・PF)だから面積の2倍でPの位置によらず一定の値をとります。

また

(x→・y→)^2=(BC + AC + AB)^2

でこれも△ABCの三辺の長さを足したものの二乗で点Pの位置によらず一定の値をとります。

と言うことはコーシー・シュワルツの不等式から

(BC/PD + AC/PE + AB/PF)(BC・PD + AC・PE + AB・PF)≧(BC + AC + AB)^2



BC/PD + AC/PE + AB/PF≧(BC + AC + AB)^2/(2△ABC)

(BC + AC + AB)^2/(2△ABC)は点Pによらない一定の値なことに注意して

この不等式の等号成立は

kを定数として

(√(BC/PD),√(AC/PE),√A(B/PF))=k(√(BC・PD),√(AC・PE),√(AB・PF))

となるようなkがある時。

つまり
PD=PE=PF(=1/k)になる時でこれは点Pが△ABCの内心の時で、この時BC/PD + AC/PE + AB/PFは最小になります。

高校数学の問題と解説




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高校受験の対策はまずは過去問
高校受験の対策は本屋とかで受けたい高校の過去問を売ってますが、まずはそれを何回かやるの一番良いです。


勉強が不十分でわからない分野とかあるかもしれませんが、まずは過去問をやってみて分からなかった所から復習していくようにしてください。

いきなり復習をしようとしても何をしていいのかわからないと思います。

それと過去問を何回かやっておけば似たような問題が出ることがよくあります。


数学について言えば、二年に一回くらいのペースで二次関数と一次関数の応用問題が出たりするのがわかったりします。

そうすれば、二次関数と一次関数の応用問題を何問か解いて練習すれば良いことがわかります。


こうやっていけば、そんなに実はわかってないのに同じような問題が出たから解けたってこともあるかもしれません。


中学生の家庭教師やってる時でも何回か繰り返し過去問をやりましたが本番は同じような感じで安心して受けられたってことで焦らず落ち着いて受けられると言うメリットもあります。

ただ、中学の時になかなか自分で過去問を買って過去問を繰り返してやってみるって言うことをやれる人って余りいないと思います。

そこがちょっと難しいところです。

反対に言えば、こういうことが出来ない人は多いのでちゃんと過去問で対策をやっておくと結構差が出ます。


自分の場合も、英語が苦手でしたが過去問の英語をざっとやった結果、

ああ、こういう感じの問題が多いのか

って何となくコツみたいなのを掴んで受験本番は思いの他よく出来ました。


だから、高校受験でもまずは過去問をやってみるってことを必ずやっておいてください。

勉強方法




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センター試験の対策と勉強法
センター試験の勉強で大切なことは

○実力は二次試験の勉強でつける

○センター試験の過去問を必ずやる。

○マーク模試で時間配分や雰囲気に慣れる

○模試とセンター試験は全然違う

です。

これは一応数学のことについて書いてますが他の教科にも参考になるかもしれません。


センター試験でしか数学を受けないと言う場合はまた別かもしれませんが、基本は二次試験の勉強でセンター試験の勉強はカバーします。
センター試験で使うような定理、公式や解法は二次試験の勉強をしていれば網羅されます。
やはり難関大学ほど二次試験の配点は大きいので二次試験の勉強がしっかり出来てるかが大きく影響するので余りセンター試験には時間がさけません。

普通に二次試験の勉強をしていればだいたい実力としては大丈夫です。



後は大切なことはセンター試験の過去問をやることです。

最初は数学が得意なはずなのに過去問をやってみたら点数がとれないこともありますが、まだ慣れていないだけって開きなおりましょう。

悩むことはありません。

純粋な学力とはまた少し別の力を要求されているだけです。

不器用な性格とかそういうのもたぶん関係あります。

だからセンター試験は苦手とか言わず、過去問をやりまくって研究することが一番重要です。
常識で考えてみたら解けたりとか色々とわかってくると思います。


反対に研究してコツを掴めば実力以上の結果も出るかもしれません。



マーク模試では時間配分やマークの塗方を練習するもんだと思ってください。

マーク模試でこの1問に拘ったから失敗したとか、
この問題は分かっていたのにとか、
マーク欄が一個ずれていた、
問題の量が多すぎるとか、

色々失敗をすることで、全体を見通して解ける問題からやる戦略をたてたりとか、時間配分の感覚を掴んだりとかしてください。

注意しなければならないのは、センター試験と模試では問題の質に大きく差があります。
業者が大量に作らなければならないマーク模試と、一年に一つ大学教員が400人くらいで作った試験では当然大きく違います。

マーク模試では出来ていたのにセンター試験は出来なかったとか、マーク模試はいまいちだったけど何故かセンター試験は出来たって言うことはよくあります。

だからセンター試験は過去問をやって研究することが大切なので必ず過去問やるようにしてください。


2次試験の勉強でセンター試験には時間があまりさけませんが、足切りされたり大きく失敗してしまったら意味がありません。

きっちり過去問をやって研究して練習をやっておくと良いと思います。

センター試験の過去問の解説

勉強方法




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プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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