受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題…因数分解をする解法
整数問題はみんな甘くて切なくて心が苦しくなるから、

なんで整数なんてこの世にあるんだろう。
整数問題なんか無くなればいいのに。

って思うかもしれません。

その気持ちはわかります。



[問題]
xとyが整数で

xy=x+y+4

の時、x、yを求めよ。



[解答・解説]
整数問題の解法を色々とありますが、整数問題の一つの解法に

(因数分解された文字式)=(整数)


と言う形にして整数の約数を考えて解くと言う方法があります。


例えばmとnを正の整数とする時
mn=6
ならば6の約数は{1,2,3,6}だから
(m,n)=(1,6),(6,1),(2,3)(3,2)
と言う組み合わせしかありえません。


こういう形にするには、文字でない整数は足したり引いたりするのに融通が聞くことを使って因数分解出来る形にします。

xy-x-y=4

と言うように文字を左辺に移項して因数分解の基本的なやり方、xで整理すると

xy-x-y=(y-1)x-y

でxの係数はy-1だからxの無い項にy-1を作り出すには1を一番後ろに足せば因数分解出来る形になります。
だから

(y-1)x-y+1-1=(y-1)x-(y-1)-1
=(y-1)(x-1)-1

になります。

だから元の式は

(x-1)(y-1)-1=4

から

(x-1)(y-1)=5

となります。

(x-1)と(y-1)は整数で5の約数は{1,5}だから正負の組み合わせも考えて

(x-1,y-1)=(1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)

より

(x,y)=(2,6),(6,2),(0,-4),(-4,0)

と答えが決まりました。

整数問題でこのやり方もよく出るので、選択肢の一つにいれてください。



せっかくなのでちょっと練習問題を作ってみました。

答えとかやり方を知りたい人や、解答を見て欲しい人は適当にメールください。

[練習問題]
m,nを整数として
m^2+mn=3m+4n+9
が成り立つ時、mとnの値を求めよ。
(m^2はmの2乗と言う意味です)

解答と解説

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整数問題の解法の解説と問題演習




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物理の勉強法、運動方程式を機械的に立てるのがコツ
物理は究めると満点がとりやすい科目と言われますが、ただ何となくやってるだけではなかなか成長しません。


物理は運動方程式をたてるかどうかが大きく影響しますが、オレが物理であの瞬間からわかるようになったなって言うのがあって、それは運動方程式をたてる時に機械的に立てるようにするやり方を教わった時です。
この機械的にやるって言うのがコツです。

そのコツがわかってから、かなり複雑な力学の問題でもほとんど間違わなくなりました。

今回はその運動方程式の機械的な立てかたの手順を書い


1、図を書く。

元から問題に図が書いてあれば、もちろんそれを使います。

2、座標をとる。

3、物体が接触してる所に働いてる力の矢印を全部書く。
(垂直抗力、摩擦力、糸やバネの張力)

4、それ意外の力、重力(万有引力)、浮力、抵抗を書く。

5、とった座標の向きの運動方程式を立てる。


です。


以下詳しく説明していくと



1、図を書く。


これは数学でも一緒ですが図を書くことで問題を理解出来るし、何よりも物理では運動方程式を立てるので非常に重要な働きをします。

2、座標をとる。

081013_p1.jpg

水平方向右側向きに正とか、鉛直方向下向きに正と言うように都合の良い方向や好きな方向にちゃんと軸を直角にとって図に矢印を書いておきます。


3、物体が接触してる所に働いてる力の矢印を全部書く。

081013_p2.jpg
物体が接触してる所を全部○かなんか付けてチェックをしてみだくさい。
そして、そこに全部矢印を書いてください。
物体が接してる面から受ける抗力って言うのは垂直抗力と摩擦力の合力を抗力と言います。
物体が板に乗ってる時は、垂直抗力だけでなく摩擦力も
物体が壁に接してる時も、摩擦力だけでなく垂直抗力も忘れないように考えてください。


4、それ以外の力、重力(万有引力)、浮力、空気抵抗、静電気力などを書く。

081013_p3.jpg
力学では重力、電磁気学では静電気力が多いと思います。
これはよく書き忘れるので注意してください。

5、運動方程式を立てる。

081013_p4.jpg
運動方程式は質量m、加速度a、力をFとすると
ma=F
ですが、座標をとった向きに力の矢印が向いてる場合は右辺に足してください。
座標をとった向きと反対に力の矢印が向いてる場合は右辺から引いてください。
そうすれば、正の方向にvの大きさで力の矢印を書いたものはvがもしマイナスでも力の矢印が反対と言うことになるので自動的に正負が合います。
力の矢印が座標のどの軸にも平行でない時は、三角比などを使ってその方向へ力を分解してください。
普通、写真の例のような方向に軸はとらないし束縛条件とか色々ありますが、とりあえずはそういうことはまた次の機会と言うことで。


このように運動方程式を機械的な手順で立てる練習をして出来るようになれば、かなり複雑で難解な問題まで解けるようになります。

勉強法

高校物理

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衝突後物体が一体となると、何故運動量は保存量されて運動エネルギーは保存されないか?
弾丸を物体に撃ち、衝突後一体となった時は、運動量は保存されるのに運動エネルギーは何故保存されないんですか?


確かに運動量は保存されますが、運動エネルギーは保存しません。

弾丸の質量をm、衝突前の速度をv
物体の質量をM、衝突前の速度をV

衝突後の弾丸と物体の速度をUとすると運動量保存則から

mv+MV=(M+m)Uより

U=(mv+MV)/(M+m)

で別に計算しなくても重心の速度vg=(mv+MV)/(M+m)に一致してるはずだからわかりますが、運動エネルギーは

衝突前:1/2mv^2+1/2MV^2

衝突後:1/2(M+m)U^2=1/2(mv+MV)^2/(M+m)

で衝突後では衝突前より運動エネルギーは

1/2mv^2+1/2MV^2 - 1/2(mv+MV)^2/(M+m)
=Mm(v-V)^2/2(M+m)

だけ減っています。
これは重心の観測者から見れば弾丸の速度はv-vg=M(v-V)/(M+m)、物体はV-v=m(V-v)/(M+m)で衝突後の運動エネルギーは0だから、衝突前の運動エネルギー

1/2m(v-vg)^2 + 1/2M(V-vg)^2=Mm(v-V)^2/2(M+m)

に一致してます。


衝突の問題は重心で考えさせられることが多いので慣れていてください。



それで、この減った分は物体に弾丸が埋まるさいに音が鳴ったり熱の発生にエネルギーが変化しています。

どういう時に運動エネルギーが保存されるのかと言うと完全弾性衝突、つまりはね返り係数が1の時です。

この問題では衝突後の相対速度が0なのではね返り係数は0です。

本来、2つの物体の衝突の問題は衝突後の二つの速度を求めなければならないので式が二つ必要でそれが運動量保存則とはね返り係数なわけですが、このように合体する問題でははね返り係数が0って言う条件が衝突後の物体二つの速度が同じと言うことに使われています。
衝突後の物体の速度がそれぞれ同じなら相対速度が0ではね返り係数は0ってことになります。


おまけに運動量が保存されるのは、弾丸と物体の間のお互いに及ぼす力、つまり内力が作用反作用の法則で打ち消しあうからです。

何故そのような力の関係が運動量の話になるかと言うと、それは物理の話と言うより運動方程式と作用反作用の法則による数学的な式の変換の話で
弾丸が物体から受ける力をf(t)とすると、作用反作用の法則から
物体が弾性から受ける力は-f(t)で運動方程式は

弾丸:mdv/dt=f(t)
物体:MdV/dt=-f(t)

でf(t)はわけのわからない時間tの関数ですが、この二式を足すと

d(mv+MV)/dt=0

になります。

これはmv+MVは時間で微分すると0、つまりmv+MVは時間tによらず一定の値をとるってことです。
これが運動量保存則です。

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