受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

合同式≡と剰余類の説明と応用問題
剰余類とか合同式は聞いたことありますか?

聞いたことありますね。


本格的には大学で理学部数学科に行ったら代数とかでもっと厳密に習いますが、高校の整数問題でも合同式を使うと解答が簡単に書きやすいので高校の参考書でも多く見られると思いますたぶん。

剰余類って概念と合同式の計算とかは、知らなくても3で割った余りが1の時…とか場合わけしたら必要は無いですが、
例えばこのn^3+2n+1を3で割ると1余ることを証明せよ。の問題でも解答はかなり簡単に書けるので時間が限られている試験では非常に役立ちます。


ただ新しい概念なので理解は難しくても合同式の計算自体は中学生でも扱えるようなものです。


まず3を法とする剰余類って言うのを考えてみます。

整数は3で割ると余り0になるのもの、余り1になるもの、余り2になるものの3つに分類されます。

kを整数として、n=3kの時、n=3k+1、n=3k+2とか場合わけして考えたことあると思います。

整数のうちこの余り0になるものの集合をC0、余り1になるものの集合をC1、余り2になるものの集合をC2とします。

C0は-3とか12とか0とかが入っていて、kを整数として3kとかで表せるものが入っています。

C1には4とか-5(=-2×3+1)とか16とか1が入っていて、3k+1とかで表せるものが入っています。

C2には8とか-4(=-2×3+2)とか17とか2が入っていて、3k+2とかで表せるものが入っています。

どの整数も、C0かC1かC2にわけられます。

このC0とかC1とかC2とか3で割った余りが同じものの集まりを、3を法とした剰余類と言います。


だからn=3kの時とか場合分けしたりして問題を解いたことあると思いますが、それはnが剰余類C0に属する時、n=3k+1の時はnが剰余類C1に属する時、n=3k+2に属する時って言うように実は既に剰余類の考え方をしてきています。


剰余類についてだいぶん分かってきた所で、剰余類に属するものは3で割ると同じ余りになるので、この余りが同じになる整数であるって言うことをどう表すかの問題として

の記号を使います。

-3≡0≡3≡6≡9≡…

これを合同式と言います。
もちろん3が法でないと、こうならないので

6≡9(mod 3)

のように(mod 3)と書きます。
文脈上明らかな時は省略されることもあります。

まあ本にはa-bがmで割り切れる時(a,bが同じ剰余類に属する時)
a≡b(mod m)
と書くとか定義されてると思います。

そしてこの-3≡0≡3≡6≡9≡…(mod 3)のようにC0に入ってるのは≡で結べますが、この≡で結べる整数を一つ代表として簡単な0を選びます。

普通の意味の0と剰余類が同じ意味の0がごちゃごちゃになるから、0~(←0の上にバーをかく)とあらわすこともよくあります。

だから-3≡0、9≡0、12≡0と言うようにC0に入ってる整数は0と表せると考えます。

同じようにC1に属するのを代表して1、C2に属するのを代表して2と表して

4≡10≡-5≡1(mod 3)

5≡14≡-4≡2(mod 3)


それで、この表記を使うとどういうメリットがあるかと言うと足し算と引き算と掛け算が普通に出来て式が簡単に書けて便利と言うことです。


証明はa,bを3で割ると余りi,jになるとすると(a≡i、b≡jであるとすると)整数k、hを用いてa=3k+i、b=3h+jと表せて

a+b≡3(k+h)+i+j≡i+j

a-b≡3(k-h)+i-j≡i-j

ab≡3(3kh+kj+hi)+ij≡ij

で、結構当たり前の計算なので反対にいきなりこれを書くと何のためにこういうことをやってるのかわかりにくいのが特徴です。


余談ですが実はこれは素数を法とした時は割り算も出来ます。

割り算はaで割ると言うことはa×b=1となるbが存在してb(=1/a)をかけると言うことですが
例えば5を法とした時、

2×3≡1だから3で割ると言うことは2かけると言うことです。

これは素数を法とした場合のみの話で、例えば素数ではない4を法とすると2×0≡0、2×1≡2、2×2≡0、2×3≡2というように、2には何をかけても1にはなるのが存在しません。

話がそれました。
またおっさんがなんか言うてるなって思っててください。

参照→合同式の割り算

そしたら、実際に合同式を使って問題をやってみましょう。


[問題]
a^2+3b^2=100000001
を満たす整数a,bが存在しないことを証明せよ。


[解答]
a^2+3b^2=100000001
を満たす整数a,bが存在するとすると

nを整数として、3を法として

n≡0の時、n^2≡0×0≡0

n≡1の時、n^2≡1×1≡1

n≡2の時、n^2≡2×2≡4≡1

より

a^2+3^b≡a^2≡0または1であるが

100000001=99999999+2≡2

より矛盾。
したがって、整数a,bは存在しない。

高校数学の公式や問題の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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整数問題の倍数の問題(剰余系、合同式)と連続2整数と連続3整数
整数問題、甘くて切ないですが今回はよくある問題を解説したいと思います。

以下、n^3はnの3乗、n^2はnの2乗を表す。

[問題]
nを自然数とする。

n^3+2n+1を3で割ると1余ることを証明せよ。


[解説]
こういう問題でよくやるのがkを0以上の然数として

(i)n=3kの時(k≠0)(nが3で割れる自然数)

(ii)n=3k+1の時(nが3で割ると1余る自然数の時)

(iii)n=3k+2の時(nが3で割ると2余る自然数の時)

に場合分けして代入してみます。

(本当はn=3k、n=3k-1、n=3k-2と場合分けを書いたほうがkは自然数と言う条件で統一されて使いやすいので慣れてきたらこっちの表記でやってみてください。)


(i)n=3k(k≠0)の時、n^3+2n+1=27k^3+6k+1=3(3k^2+2k)+1

3×自然数+1
の形になるから、3で割ると1余ります。

(ii)n=3k+1の時、n^3+2n+1=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2+1=3(9k^3+9k^2+5k+1)+1
で同じく
3×自然数+1
の形になるから、3で割ると1余ります。

(iii)n=3k+2の時、n^3+2n+1=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4+1=3(9k^3+18k^2+14k+3)+1
でこれも同じように
3×自然数+1
の形になるから、3で割ると1余ります。


これで証明は終わりです。


ちなみに剰余系(合同式)を勉強してる人は3を法とする剰余系の演算を使えば

n≡0の時、n^3≡0×0×0≡0(mod3)
n≡1の時、n^3≡1×1×1≡1(mod3)
n≡2の時、n^3≡2×2×2≡8≡2(mod3)

なのでn^3≡n(mod3)になってるから

n^3+2n+1≡3n+1≡1(mod3)
と出来ます。


わかった、そこまで言うんやったらまた剰余系については書きます。



このやり方も大切なので覚えて欲しいのですが連続2整数n(n+1)、連続3整数n(n+1)(n+2)を使う方法があります。

n(n+1)は1と2、5と6、45と46のようにnとn+1のどっちかは偶数になるので2の倍数です。

n(n+1)(n+2)は1と2と3、6と7と8、56と57と58のようにnとn+1とn+2のどれかは3の倍数ですがn、n+1のどっちかは偶数であったので結局6の倍数になります。

これをどう使うかと言うと、無理やりこの形を作り出していきます。

まあこの問題ではn(n+1)(n+2)が3の倍数であることだけ使います。

n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n
に注意して

n^3+2n+1=(n^3+3n^2+2n)-3n^2-2n+2n+1
=n(n+1)(n+2)-3n^2+1

よってn(n+1)(n+2)は連続3整数の積なので3の倍数だからn(n+1)(n+2)-3n^2+1は3で割ると1余ります。

こっちの方はこんなんも解けますねんおじさんみたいに式変形に慣れていれば簡単に出来るから便利です。


どっちがお勧めかと言うと、やっぱり最初の場合分けの方が機械的に出来るのでお勧めです。

式変形に慣れてきたら簡単にすぐに出来るの便利です。


ただどっちをまずはやって欲しいか言うと、場合わけの方が定石に則ってやるだけでいいので場合分けです。

でもだいぶん式変形に慣れてきたら…うへ~

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平均変化率は直線みたいなもんを考えている
平均変化率は中学で最初習った時は、わかりにくいことがよくあります。

(xの増加量)分の(yの増加量)とか覚えます。


平均変化率が具体的に何を表してるのか言うと、例えばy=ax^2のx=sからx=tまでの平均変化率は
081127_m1.jpg
この2点(s,as^2),(t,at^2)を結んだ直線の傾きです。


実はy=ax^2って言う関数ではt^2-s^2のとこを因数分解すると分母と分子に(t-s)があらわれるから

m=a(t^2-s^2)/(t-s)
=a(t+s)(t-s)/(t-s)
=a(t+s)
と言うように約分出来てsとtを足してaかけるだけで求まります。



なんでこんなものを求めるのか言うと、(s,as^2)と(t,at^2)の放物線はこの2点(s,as^2),(t,at^2)を結んだ直線に似てなくも無いと思いませんか?

はい、思いますね。


だからx=sからx=tまではこの直線とだいたい同じような感じで放物線は変化してると言うように参考になります。


しかしこの考え方は一見いい加減なようですがこのsとtをpと言う値にどんどん近づけてs=tにすると、放物線y=ax^2にx=s=pで接する直線、つまり接線になります。
081127_m2.jpg

この接線の傾きを求めるにはm=a(t^2-s^2)/(t-s)はt=s=pとすると分母が0になるからt=sにできません。

ところが変形するとm=a(t+s)でもあるので、これにはt=s=pと出来てm=2apとx=pでの接線の傾きが求まってしまいます。
これは言わゆる微分って言うもので高校から習うから、まあまたなんか言うてるなって聞き流してください。


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京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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