受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい
今回は極限の定義で大学の専門書とかで使われるε-δ論法について説明したいと思います。

それは高校1年生からのある一通のメールから始まった
「教科書で限りなく近づくが曖昧です。
ε-δ論法がありました。
よろしくお願いします。」

大学生でもε-δ論法わかりにくい言う人多いしな。


簡単にするためまずは数列の極限で説明したいと思います。

lim(n→∞)a_n=α

これが大学の専門書における厳密な定義では

(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a_n-α|<ε)

となります。

言葉で言うと

任意の正の数εに対して、ある自然数n_0が存在し、n≧n_0となる全ての自然数nに対して
|a_n-α|<ε
となる時、数列{a_n}はαに収束するって言う意味です。


何がわからないかと言うと、何故こんな定義をしてるのかがわからないのだと思います。

まず任意の正の数εと言うところは、任意と言ってもどこまでも小さく出来るって言うところに意味があります。

どこまでもεを小さくしても、n_0を多くしてnの範囲をn_0≦nと言うように大きい所に絞れば
|a_n-α|<ε
と出来る。

これが{a_n}がαに収束するって言うことです。

例えばa_n=1/nが0に収束すると言うことは
任意のε>0に対してn_0=[1/ε]+1とすれば([1/ε]は1/εを越えない最大の整数)
n_0>1/εになってるわけですが
n≧n_0の時
|1/n-0|=1/n≦1/n_0<ε
でこれで{a_n}は0に収束すると言えるわけです。


この説明がわからんねん言うとんねん!

100216m1.jpg

ぶほー!!

まあまあ痛いな。



そこで反対のことを考えてみて欲しいねん。

否定をとって収束しない場合を考えるねん。


(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a_n-α|<ε)

の否定をとれば

(∃ε>0)(∀n_0∈N)(∃n∈N)(n≧n_0かつ|a_n-α|≧ε)

この否定の意味は

n_0を大きくして、どのようにn≧n_0と言うように大きいところにnの範囲を絞っても
|a_n-α|≧ε
となるnが存在してしまうような、ある正の数εが存在する

ってことです。


確かにいくらnを大きい範囲に絞っても、a_nとαの差がある値より小さくならないものがずっと出てくるならa_nがαに収束するとは言えません。

そうでない場合は収束するって言うとわかりやすいと思います。

たぶんな。


こうやって否定を考えてみると、わかりやすいねん。

たぶんな。

収束しない場合を考えて、そうでないときが収束する場合になると考えるとわかりやすいねん。

たぶんな。


ε-δ論法に戻ると

関数f(x)に対してlim(x→a)f(x)=bをε-δ論法で書けば

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈R)(|x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε)

意味は

任意の正の数εに対して、ある正の数εの存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して|f(x)-b|<ε

です。

これも正の数εをどれだけ小さくしても、δを小さくして|x-a|<δとxの範囲をaの近く絞れば
|f(x)-b|<ε
とすることできるって言う解釈で、これをx→aでf(x)はbに収束すると言えるねん。


これがわかりにくいと今度は反対つまり否定を考えてみて、

正の数δを小さくして、どんなに|x-a|<δと言うようにxの範囲をaの近くに絞っても
|f(x)-b|≧ε
となるxが存在してまうような正の数εが存在してしまうなら収束しない。

この反対であれば収束すると言うとわかりやすいって話やな。

数理物理




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極板間引力の求め方とよくある勘違い
極板間引力は甘くて切ないな。

極板間引力は甘くて切ないな。

そういえば極板間引力は甘くて切ないな。


ええからはよ説明しろ!


今日は極板間引力について説明します。

これはよく混乱するからな。


例えばこんな場合を考えてみましょう。

面積Sの十分広い導体極板があってQの電荷が与えられてるとします。

100211p1.jpg

これは上面と下面に一様にQ/2ずつ分布するはずです。

上面と下面の電界をEとするとガウスの定理から
2SE=Q/ε_0⇔E=Q/(2Sε_0)

でこれは電荷密度は上面と下面もσ=Q/2Sだから
E=σ/ε_0
で確かに
(平板導体表面の電界の大きさ)=(導体表面の電界の面密度)/ε_0
を満たしています。

次に同じ形の導体極板を持ってきて-Qの電荷が与えられてるとします。

100211p2.jpg

すると電荷Qが与えられた方は片方の面に電荷Qが集まります。
電荷-Qの方は片方の面に電荷-Qが集まります。

だから電荷が無い側の電界は0で,電荷がある側の電界をE'とすると
ガウスの定理より電荷Qの極板をちょうど囲む閉曲面で

SR'+S・0=Q/ε_0
よって
E'=Q/Sε_0

これも内側の電荷密度はσ=Q/Sだから
E'=σ/ε_0
で確かに
(平板導体表面の電界の大きさ)=(導体表面の電界の面密度)/ε_0
を満たしています。

だから極板間引力Fは
F=QE'

ところが本に載ってる公式はF=QE'/2でした。

どういうこっちゃ、どういうこっちゃ、どういうこっちゃ

100211p3.jpg

どうらっしゃーい。

どういう意味やねん!


これは電界がよくわかってないねんな。


電界とは、ある点において,1[C]あたりに働く静電気力をその点の電界と言うねん。

だからE'は極板二つで作り出した電界であって、ここに別の電荷を持ってきたらその電界の影響を受けるって話やねん。

極板は電界を作り出してる側やから、E'の影響を全部は受けてないねん。

例えば電荷eの点は電界を作りだしてるけど、自分の電界の影響なんか受けずに動かせるやんな。


いや、ガウスの定理から極板一つでE'を作り出してたやん。

そう思うかもしれん。

そこで説明するとガウスの定理って言うのは一つの極板をちょうど囲む閉曲面をとって、「外側の電荷による電界を重ね合わせても」成り立ってると言うものやねんな。

だからガウスの定理から出たE'は外側の極板の電界との重ね合わせやねん。

例えば電荷Qを囲む球面を貫く電気力線の総本数は

100211p4.jpg

外に電荷-Qのものがあっても、何もなくても一緒やねん。


外に電荷-Qがあると-Qのある方側が密度が濃くなってて反対側が薄くなってます。
だから密度は変わるねん。

でも総本数は同じやねん。


だからガウスの定理から極板一つをちょうど囲む閉曲面を考えてE'が求まったとしても、
それは外側の電荷の影響で密度が変わったから外側の電荷の電界の影響も入ってるねん。



じゃあどう考えたらええのか。

それは導体を考えてるからちょっとややこしいだけやねん。

100211p5.jpg

こういう合計の電荷がQの粒子が一様に平面上に並んだものを考える。

するとこれが作る電界Eはガウスの定理からE=Q/(2S)なはずや。
(E=E'/2)

この電界のとこに合計の電荷が-Qの粒子が一様に平面上に並んだものをもってくる。

すると受ける力Fは

F=QE=QE'/2

これで極板間引力が出てくるねん。


だから電荷があって、別の電荷が持ってくる問題として考えたら当たり前の話やねんな。
100211p6.jpg

それで導体内は導体の性質から等電位つまり電界は0になるように電荷が動いて分布しだすねん。
どっち側に分布しようが一つの極板が作る電界は変わらへんとこに注意したってくれ。

内側にQ,-Qが一様に集まったら導体内は

E-E=0

ってちょうど0になるから内側にQ,-Qが一様に分布するわけやねんな。

それで二つの極板の間の電界はE+E=2E=E'が働いてるって話やねん。

こうやって「重ね合わせ」で考えれば勘違いは起こりにくいです。


極板間引力の公式のQE/2のEやコンデンサーの電界Eは極板二つで作ってる重ねあわされた電界のことです。
そこに注意したってください。

高校物理




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10進法とn進法の変換方法
n進法について説明します。


まずは次の問題を考えて下さい。


[問題]
たかし君は23725円のスヌーピーの人形を買おうと思いました。

たかし君は1円玉を23725個持ってきたとします。

どうなりますか?






[答え]
角に追い詰められてミゾオチに膝蹴りかまされまくる。
100211m1.jpg


1万円札を2枚,千円札を3枚,100円玉を7枚,10円玉を2枚、1円を5枚持ってきてたら、たかし君は内臓破裂せずにすんでいたのです。

つまり数を表すときは1が何個あるかなんか考えてたら大変やねん。

そこで23725のような場合一番大きい10000が2個ある。
残り3725では1000は3個ある。
残り725では100が7個ある。
残り25では10が2個ある。
残り5では1が5個ある。
こうやって大きい順に何個あるかを与えていけば
10000が2個で、1000が3個で、100が7個、10が2個、1が5個の数

って簡単に表現あらわせるねん。

その2,3,7,2,5を
23725
って左から並べて数をあらわします。


この10の何乗が何個あるか?って考えて数を表す方法を10進法と言います。

普段使ってる数が10進法です。


ここを2にしたのが2進法,3にしたのが3進法、4にしたのが4進法、…、
nにしたのがn進法です(nは自然数)


例えば10進法で563は3進法であらわすとどうなるか?

まず3^5=243が2個で残り563-243×2=77

77に3^4=81は0個で残りはまだ77のまま

77に3^3=27は2個で残りは77-27×2=23

23に3^2=9は2個で残りは23-9×2=5

5は3は1個で残りは5-3=2

2は1が2個

だから3進法では

202212

って表せるねん。


10進法への直し方は3^5=243が2個、3^4=81は0個、3^3=27は2個、3^2=9は2個、3は1個、2は1が2個って言う意味やから

243×2+81×0+27×2+9×2+3×1+1×2=563

って表せます。


ただ10進法からn進法に直すには小さい桁から出していった方が簡単です。


さっきので563を3進法であらわすのも

563を3で割ると商187で余り2やから下から1桁目は2

187を3で割ると商62で余り1やから下から2桁目は1

62を3で割ると商20で余り2やから下から3桁目は2

20を3で割ると商6で余り2やから下から4桁目は2

6を3で割ると商2で余り0やから下から5桁目は0

2は3で割ると商0で余り2やから下から6桁目は2

で3進法では

202212

と表せる。

100211m2.jpg
100211m3.jpg

やってることは

563=243×2+81×0+27×2+9×2+3×1+1×2
=3(81×2+27×0+9×2+3×2+1)+2
=3(3(27×2+9×0+3×2+2)+1)+2
=3(3(3(9×2+3×0+2)+2)+1)+2
=3(3(3(3(3×2+0)+2)+2)+1)+2
=3(3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2)+2

と言うことです。

3(3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2)+2
3で割ると商が(3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2)で余りが2が出てくる。
この2は下から1桁目やった。

その商3(3(3(3(2)+0)+2)+2)+2を3で割ると商が3(3(3(2)+0)+2)+2で余り2が出てくる
この2は下から2桁目やった




実際の計算はこれを使ってください。

もう意味わからんようになってきてその辺で血吐いてる人も計算方法だけは覚えてください。


100211m4.jpg

ちなみに7進法で2.415って小数であらわされてると

2+4×1/7+1×(1/7)^2+5×(1/7)^3

って言う意味になります。


一般的な書き方すると数Mをn進法で表すには

100211m5.jpg

M=Σ(k=-i~j)a_k・n^k
(a_kは0≦a_k≦n-1の整数)

となるa_kは一意に決まってn進法では
a_ja_(j-1)…a_1a_0a_(-1)…a_(-i)
と表わすと言うことになります。


これがMが負の整数でも一意になります。
しかし無限に項が必要になったりします。


例えば-1を7進法で表すと余りが0~6になればいいから
-1を7で割ると商は-1,余り6
商の-1を7で割ると商は-1,余り6

永遠と続く

だから-1は7進法では

…66666666666

そういえば0.99999999…=1やったけど-1を10進法で表すと実は
-1=…9999999999
って9を無限に並べたやつで、実際
…99999999×…9999999=…000000001
(-1)×(-1)=1
となってるねんな。


これで-1も永遠の安らぎを得ました。


ここでまたn進法とは違うものですがp進整数を紹介しときます。

100211m6.jpg

pを素数とします。
何故素数かはZ/pZが体になるからです。

例えばZ/10Zでは5には何をかけても1にならないから5は逆数がありませんでした。

Z/7Zでは2×4≡1,3×5≡1,6×6≡1(mod 7)
と言うように素数を法としてたら全ての元には逆数が存在します。

だから割り算できるようにpは素数を考えます。

話は戻って∀n∈Zは

n=a_0+a_1p+a_2p^2+…+a_ip^i+…(0≦a_i≦p-1)

と一意に表されます。

q_0:Z→Z/pZ

を自然な射影とすればq_0(n)=a_0です。
精度は悪過ぎですがnはa_0に近い値みたいな感覚です。

同様にして

q_(i-1):Z→Z/p^iZ

を自然な射影とすれば

q_(i-1)(n)=a_0+a_1p+a_2p^2+…+a_(i-1)p^(i-1)

nはa_0+a_1p+a_2p+…+a_(i-1)p^(i-1)みたいなもの。
だんだん精度がよくなってきます。

これらの集合をすべてのiについて一斉に考えることで得られる集合Z_pをp進整数環と言いその元をp進整数と言います。

a_0+a_1p+a_2p^2+…+a_ip^i+…(0≦a_i≦p-1)

全体のなす集合です。

自然な射影
π:Z/p^iZ→Z/p^(i-1)Z
用いて

Z_p={(a_(i-1)~)∈Π_i≧1 Z/p^iZ;π(a_i~)=a_(i-1)~}

と書けます。

このことをZを近似する無限に続く系列

 π     π     π
…→Z/p^3Z→Z/p^2Z→Z/pZ

の射影的極限と言って

Z_p=lim←Z/p^iZ

と書きます。


これ大学で最初友達が黒板に書きだした時はようわからんかった。

でも今見れば慣れてきて当たり前のように感じるな。


こんな定義を専門書で正確に覚えていくと理解出来るようになると思います。

中学受験の算数の問題の解答や解説

数理物理

整数問題の解法の解説と問題演習




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Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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