受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形問題、京都大学2010年度理系乙第四問の解説
確かにそれはおかんに
「痰吐いてたら、血が出たけど大丈夫やと思うか?」
って聞かれた時の気分やな。

そしたら、京都大学2010年度理系乙第四問の解説をします。

今日は犬型ふにゅを実験的に使いたいと思います。


[問題]
kyoudai201041.jpg

1<a<2とする。3辺の長さが√3,a,bである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときaを用いてbを表せ。


[解答と解説]
京大でもこんな簡単な問題出るもんやねんな。

さあてまずは条件を式に表していくか。

kyoudai201042.jpg

外接円の半径ときたら、正弦定理やろ。
a/sinA=b/sinB=√3/sinC=2

から
sinA=a/2
sinB=b/2
sinC=(√3)/2

それでA+B+C=180°やから、どうせsinC=sin(A+B)とか使うんやろ。
こっちはわかっとんねん。

kyoudai201043.jpg

鋭角三角形やからcosA=√(1-(a/2)^2),cosB=√(1-(b/2)^2)
よって

(√3)/2=(a/2)√(1-b^2/4)+(√(1-a^2/4))b/2

これは二乗して√を消したらよさようやな。

(a/2)√(1-b^2/4)=(√3)/2-(√(1-a^2/4))b/2

両辺2乗して

(a^4/4)(1-b^2/4)=3/4-((√3)/2)(√(1-a^2/4))b+(1-a^2/4)(b^2/4)

b-2-√(2(4-a^2))+3-a^2=0

二次方程式を解いて

b={√(3(4-a^2))±a}/2

二つ解が出てきたから、これは三角不等式を片方は満たさへんかもしれん。

と言うことは

|√3-a|<b<a+√3

に入れてみて、満たす方ってことなんかこれ?

まず
|√3-a|<{√(3(4-a^2))+a}/2<a+√3
を計算してみて



ってやってると

kyoudai201044.jpg

壁に追い詰められて、ミゾオチにハンマーで打ち込まれて血吐くことになります。



ちゃうねん、京大の過去問をやってみてこんなややこしい計算をやらされたことあるか?ってことを考えて欲しいねん。

そうやろ、あんまないやろ。

東大やったらわかるけど、京大はあんまないやろ。


もっと京大は、方針を立てたら後は華麗に簡単に解けるものが多いねん。

そこでこうやってわざと若干ずらしてくるねん。


だから一回これはおかしいと引き際を見極めて欲しいねん。

数学上手は退き上手なわけやな。

これにはまると、時間なくなって焦って他の問題もめちゃくちゃになるわけや。

どんどん、ギャンブルにはまって負けが続いて次は勝てるかもしれんって続けてしまってる状態やと思ってください。


とりあえず一回落ち着いて、条件の式を書き下してみてると

kyoudai201045.jpg

ただ単にsinB=sin(A+C)にしてたら、そっこうb=の形になるような気がします。

と言うことで

sinB=sinAcosC+cosAsinC

b/2=a/2・1/2+√(1-a^2/4)(√3)/2

b=(a+√(3(4-a^2)))/2

終わり。


京大の問題はよくこういうことあります。

恐らく京大の問題なんて何が難しいかわからない人と、難しく感じる人にわかれて、その原因がよくわからん感じやな。

そこで京大の問題はセンスがないとあかんって思うかもしれんけど、そうじゃないねん。

考え方とか解答例を真似していけばええだけやねん。

センスとかそんな曖昧な言葉を使っても意味がないねん。

京都大学の入試の数学の過去問の解説




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積分の交点の座標が不明な問題、京都大学2010年度理系甲乙共通問題
毛が濃いと情に深いと教育してくるおかんか…

だから誰もそんな話振ってないって。


と言うことで、時間的余裕が出てきそうやから解説書いていきます。

京都大学2010年度理系乙第3問、甲第5問の共通問題



[問題]
kyoudairikou201031.jpg

aを正の実数とする。座標平面において曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸で囲まれた図形の面積をSとし、曲線y=sinx(0≦x≦π/2),曲線y=acosx(0≦x≦π/2)およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。このとき,S:T=3:1となるようなaの値を求めよ。


[解答と解説]
このような問題出てきた時によくやるのが、

S:T=3:1よりTをSで表して、

Tは曲線で囲まれ図形の面積やから、曲線の交点の座標をαとか置いて積分したらaとαであらわされるか。

でもTはSで表せるから…そういえばαもあったな…

ってやると

乳首全部切り落とされます。


その経緯はわからんけど、全部切り落とされます。


そういうことならないためには、どういう手順でやればええかと言うと

○問題文の条件を式にあらわしてく
○式を書き下す
○どの文字を消去し、どの文字を残したいのかを決める

って言うのを意識してやることやねん。

この問題は単に交点が具体的な値で表せないから文字で置くと言う典型的なパターンで特に難しいわけではないねんな。

ただ文字が多くなってくるから、ややこしくなるねん。

そこで根性で解くんじゃなくて、間違えないような処理の仕方をするのがポイントやねん。

そこのどうやって処理をしたら正確に解けるか?って言うところまで覚えて欲しいとこです。


と言うことで早速、問題文の条件を式にあらわしていきましょか。

kyoudairikou201032.jpg
y=sinx(0≦x≦π)とx軸で囲まれた図形の面積をSって言う条件から普通に
S=∫(0,π)sinxdx
を計算して
S=2

次に
S:T=3:1より
T=S/3
=2/3

本当はこっちの方が問題文の後やけど、たまにミスることもあるねん。
許したってくれ。


kyoudairikou201033.jpg

y=sinx(0≦x≦π/2),曲線y=acosx(0≦x≦π/2)およびx軸で囲まれた図形の面積をT
より、ここは交点が具体的な値で表せないからβとおきます。

何故αじゃなくて、βかと言うとaとαが見間違えるからやねん。
ここで意外と差がつくわけや。

普通はβの前にαやろって思うかもしれんけど、その拘りを捨てなあかんねん。

それとβが0<β<π/2で一つ存在するって言うのは図を書いて示してください。
ここは計算でやるんじゃなくて、図を書いて見た目で簡単に示します。
こういうとこも覚えていってください。

それで図からsinβ=acosβ(0<β<π/2)となるβが存在して

T=∫(0,β)sinxdx+∫(β,π/2)acosxdx
=-cosβ+1+a-asinβ

kyoudairikou201034.jpg

と言うことで、条件を全部式で表せたということで、今度はそれらを書き下します。

この書き下すことで一気に解きやすくなります。

解答用紙に条件が散らばってたら、見落としたり、探してるうちに何を考えてたか忘れます。

T=2/3
T=-cosβ+1+a-asinβ
sinβ=acosβ
0<β<π/2
(a>0)

a>0も書いておけば、さらにやりやすいかもしれません。

それで、何を消去して何を残すのかを決めます。


この場合、Tとβを消去してaを残します。
aを求めたいわけです。

まずβを消去していきましょう。

kyoudairikou201035.jpg

sinβ=acosβよりβをaであらわします。
と言っても三角関数なのでcosβとsinβをaであらわします。

βが存在するように消さないといけないので、0<β<π/2であることに注意してください。
存在するように消すって話は、また他の記事の同値変形やら逆手流の記事でも見てください。

kyoudairikou201036.jpg

今度は残りの式に
cosβ=1/√(1+a^2),sinβ=a/√(1+a^2)を入れていきます。

T=2/3
T=-cosβ+1+a-asinβ

からTは見たまんますぐに消せて

2/3=-1/√(1+a^2)+1+a-a^2/√(1+a^2)

後はこれを同値変形していきます。

√(1+a^2)>0を両辺にかけても同値で

a+1/3=√(1+a^2)

ここで二乗する時が注意です。

無理方程式は

「A=√B」⇔「A=BかつA≧0」

です。

だから今はa>0なのでa+1/3>0だから二乗しても同値です。

a+1/3=√(1+a^2)



(a+1/3)^2=1+a^2



2a/3+1/9=1

よりa=4/3

これで求まりました。

京都大学の入試の数学の過去問の解説




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