受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A、2011年度の第4問…確率の問題の解説
あかん、カメラの電池が切れた時の気分や。

そしたらセンター試験2011年度数学1Aの題4問を解説しましょか。

[問題]
1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pは[ア]/[イ]であり,5以上の目が出る確率qは[ウ]/[エ]である。
以下では、1個のさいころを8回繰り返して投げる。

(1)8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は[オカ]p^3q^5である。
第1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率は[キク]p^3q^5である。
第1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は[ケコ]p^3q^5である。
(2)次の(0)~(7)のうち[オカ]に等しいものは[サ]と[シ]である。ただし、[サ]と[シ]は解答の順序を問わない。

(0)7C2×7C3
(1)8C1×8C2
(2)7C2+7C3
(3)8C1+8C2
(4)7C4×7C5
(5)8C6×8C7
(6)7C4+7C5
(7)8C6+8C7

(3)得点を次のように定める。

8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合,

n=1,2,3,4,5,6について,第n回目に初めて4以下の目が出たとき,得点はn点とする。

また,4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは,得点を0点とする。

このとき,得点が6点となる確率はp^[ス]q^[セ]であり,得点が3点となる確率は[ソタ]p^[ス]q^[セ]である。また,得点の期待値は[チツテ]/[トナニ]である。


[解答と解説]
この問題は、サイコロのどの目が出る事象も同様に確からしいとする、つまりどの目も1/6の確率で出るって言う暗黙の了解があります。

4以下の目が出る確率pは1,2,3,4の4つのどれかやから

p=4/6=2/3

5以上の目が出る確率qは5.6の2つのどれかやから

q=2/6=1/3


ここで間違えたら、たぶん死ぬんやろな。


そして1個のさいころを8回繰り返して投げるわけやな。

(1)これはただの反復試行やな。

8C3p^3q^5=56p^3q^5

反復試行って
nCrp^rq^(n-r)
やけど、この意味は
○を4以下,×を5以上とすると8回中○が3回出る確率は

○○○××××××の確率がp^3q^5
○○×○×××××の確率がp^3q^5
○○××○××××の確率がp^3q^5


って確率はどの並び方もp^3q^5で、この○が3個×が5個の並び方が8C3個あるわけやな。

それで
8C3p^3q^5
やねん。

だから反復試行はもっと広く

(並べ方)×(一つの並び方の確率)

って解釈をすると、とにかくどの並び方でも確率が同じであればいいから、もっと用途が広がるわけやな。


そう思うと第1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率は

一つの並び方の確率は4以下の目が3回やからp^3q^5

並べ方は
○ (○2個×5個の並べ方)
で7C2=21

よって21p^3q^5


それで第1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率も

一つの並び方の確率は4以下の目が3回やからp^3q^5

並べ方は
× (○3個×4個の並べ方)
で7C3=35

よって35p^3q^5

と求まっていくわけです。

もう何も心配することはありません。



(2)次の(0)~(7)のうち56に等しいものか。

(0)7C2×7C3
(1)8C1×8C2
(2)7C2+7C3
(3)8C1+8C2
(4)7C4×7C5
(5)8C6×8C7
(6)7C4+7C5
(7)8C6+8C7

まあ根性で計算したらええねんけど、並び方をよ~く見ると
nCr=nCn-r
やから
(0)=(4)
(1)=(5)
(2)=(6)
(3)=(7)
やねんな。

だから4つだけ調べればええねん。

それでさっきの問題から3回4以下になる並べ方は1回目が4以下になる並べ方と1回目が5以上になる並べ方を足せばええから8C3=7C2+7C3で瞬殺出来るけど
これぐらいなら

(0)7C2×7C3=21×35
(1)8C1×8C2=8×28
(2)7C2+7C3=21+35=56
(3)8C1+8C2=8+28=36

だから(2)と(6)って考えてる暇あったら、もう計算したってくれ。

この考えてる暇あったら計算してまえ、数え上げてまえって難関大学の二次試験でも大切な数学の基本的な処理方法になるねん。


ただそこで、むやみに掛け算を計算してまわないって言うところがポイントやねん。
とりあえずは、そのままにしておいて必要性を感じたらそこで計算するねん。

計算が遅いとか、計算間違いをするって言うてる人は、実はこういうところで差がついてるねんな。


(3)8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合,

これは一つの並び方の確率はp^3q^5


それでn=1,2,3,4,5,6について,第n回目に初めて4以下の目が出たとき,得点はn点とする。
また,4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは,得点を0点とする。

とかようわからんこと書いてますね。

これは一回具体的にどんなのか書いてみてください。


第2回目に初めて4以下の目が出たら得点は2点か。
これは
×○ (○2個×4個の並べ方)
みたいな形やな。

って言う風にな。


と言うことは並び方は6C2で確率は6C2p^3q^5ってわかってきます。


だいぶん感じがつかめましたね。

そしたら得点が6点となる確率は
×××××○(○2個の並べ方)

だから2C2=1通りで確率はp^3q^5


得点が3点となる確率は
××○ (○2個×3個の並べ方)
みたいな形で

5C2=10通り、確率は10p^3q^5

得点の期待値は

得点が1点となるのは
7C2通り

得点が2点となるのは
6C2通り


得点が3点となるのは
5C2通り


得点が4点となるのは
4C2通り

得点が5点となるのは
3C2通り

得点が6点となるのは
2C2通り



(7C2×1+6C2×2+5C2×3+4C2×4+3C2×5+2C2×6)p^3q^5
=(21+30+30+24+15+6)(2/3)^3(1/3)^5
=126×8/3^8
=112/729


もうあかんわ。

なんか今、寂しい気分や。

センター試験の過去問の解説




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センター試験数学1A、2011年度の第3問…平面幾何の問題の解説
今、ソーセージ食べ続けて三日目の気分や。

センター試験2011年度数学1Aの第三問の解説です。

[問題]
点Oを中心とする円Oの円周上に4点A,B,C,Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは、それぞれ
AB=√7,BC=2√7,CD=√3,DA=2√3
であるとする。
(1)∠ABC=θ,AC=xとおくと、△ABCに着目して
x^2=[アイ]-28cosθ
となる。また,△ACDに着目して
x^2=15+[ウエ]cosθ
となる。よって,cosθ=[オ]/[カ],x=√[キク]であり、円Oの半径は√[ケ]である。
また,四角形ABCDの面積は[コ]√[サ]である。

(2)点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると,∠OAE=[シス]°である。また,線分OEと辺ADの交点をFとすると,∠AFE=[セソ]°であり,
OF・OE=[タ]
である。

さらに、辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに下ろし,直線OGとの交点をHとする。
4点E,G,[チ]は同一円周上にある。[チ]に当てはまるものを次の(0)~(4)から一つ選べ。

(0)C,F (1)H,D (2)H,F (3)H,A (4)O,A
したがって
OH・OG=[ツ]
である。

[解答と解説]
数学はまず絵を書くって意識してください。

考える前に絵を書きます。。

絵を書くことでわかってきます。

touhoku2009ri6_5.jpg

そういう意味違うわ!


center20111a31.jpg

こうやって書いてください。

センターの図形問題でよくあることですが、一つ注意して欲しいのが線分の長さが違いすぎると解法が思いつきにくいです。

しかも辺を延長させた直線の交点とかなら反対に交わったりするしな。

そこで√をだいたいの数字になおしておいて、それを参考にして書いてください。

時間は限られてるので、時間内に出来る程度の正確さです。

√2,√3,√5,√7くらいは語呂合わせでも何でもいいから覚えといてください。


それで問題に入っていくと円に内接する四角形で、∠ABC=θ,AC=xとおくとこれはもう
∠CDA=180°-θで
cos∠ABC=cosθ
cos∠CDA=cos(180°-θ)=-cosθ

で△ABCと△ACDに余弦定理使って

x^2=BC^2+AB^2-2BC・ABcosθ

x^2=CD^2+DA^2-2CD・DA(-cosθ)

でcosθまたはx^2を消去すればそれぞれ求まると言う、よくあるパターンやな。


こんなん繰り返してたら、すぐにパっと出てると思います。

まあこれくらいなら誘導ですぐわかるけど。


△ABCは
x^2=7+28-2・√7・2√7cosθ
=35-28cosθ…①

△ACDは
x^2=3+12-2・√3・2√3(-cosθ)
=15+12cosθ…②

これでxとcosθの未知数が二つで式が二つやから、消去して求められますね。

うん、求められるな。


cosθを消去しとこか。

①×3+②×7
3x^2=105-84cosθ
7x^2=105+84cosθ

10x^2=210
x=√21

①より
21=35-28cosθ
cosθ=1/2


円Oの半径と言えば…正弦定理ですね。

ACとcosθを出したからには、そらもう正弦定理やろ。
cosθ=1/2よりsinθ=(√3)/2

AC/sinθ=2R
より
R=AC/(2sinθ)
=√21/√3=√7


四角形ABCDの面積は、円に内接する四角形で∠ABC=θとおくとこれはもう
∠CDA=180°-θでsin∠ABC=sin∠CDA
で面積の話に持っていくのもよくあるねんな。

と言うことで
△ABC+△ADC=1/2AB・BCsin∠ABC+1/2AD・DCsin∠ADC
=1/2・√7・2√7・(√3)/2+1/2・2√3・√3・(√3)/2
=(7√3)/2+(3√3)/2
=5√3


(2)点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとする

center20111a32.jpg

∠OAEはそらAEは接線やから90°やな。

∠AFEはたぶん90°やな。

こんなん図を見たら89°とか入るわけないし、90°しかないやろ。

本番ならこれでもう次に進めてしまってええくらいや。

ここでさっきある程度、図を正確に書いたのが効いてくるねん。


まあちゃんと考えるなら、EOは弦ADを垂直に2等分するって基本的な定理があるねん。

△OAEと△ODEは∠OAE=90°,∠ODE=90°の直角三角形で

辺EOは共通
円の半径だからOA=OD

これで合同やからやな。


まあ本番はこんなん考えてたら負けやし、考えたらわかるとかじゃなくて、何度も過去問とか繰り返してパっと出るようにする頭の構造を作ることで絶対に満点がとれます。

次はOF・OEの値か。

こんな形を見かけるのは、相似とか方ベキの定理であらわれます。

まあ方ベキも相似やけどな。


それとセンターで常に意識しなあかんのは前の問がヒントになってるわけや。

∠OAE=90°,∠AFE=90°と言うことは…

これに注意してOFとOEを含むような相似な三角形はないか見てみると…


△OAE∽△OFAやがな!!

これやがな!

うへ~

って鉛筆バキバキに折って、机の上に乗って、トランクスをぐおお~!って食いこませて、はみちんして速やかに退場させられる感じです。


だから

OA:OE=OF:OA

OE・OF=OA^2=7


『さらに、辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。
点Eから直線OGに下ろし,直線OGとの交点をHとする。』

これやな、これも最初に長さとか正確めに書いておかないと、反対側で交わりそうやな。
center20111a33.jpg

ごちゃごちゃするから、大きく書き直してもいいです。

一回で書こうとするんじゃなくて、何度も書き直したりして整えていく感じやな。

4点E,G,[チ]は同一円周上か。

一般的に4点A,B,C,Dの同一円周上ってことは、その四点を頂点とする四角形が円に内接する条件のことで

[1]対角の和が180°
[2]1つの外角が、その向かいあう角の外角に等しい
[3]∠BAC=∠BDC(円周角になってるみたいな)

とかがありますが、[3]の円周角を使うことが多いです。


EとGで∠EHG=90°やんな。
これは∠E○G=90°になりそうな点がありそうやな。

それで常に前問がヒントになっていて、さっき∠AFE=90°とか言うてたやんな。

はい、もうこれは∠EFG=90°ないですね。


最後にOH・OGの値か。

これも相似か方ベキなんやろな。

まあ方ベキも相似やけおdな。


それで常にセンターは前問がヒントになってるから、4点E,G,F,Hが同一円周上やったやんな。

これは点Oからの、この新しい円の方ベキなんちゃうか。

center20111a34.jpg

まさに方ベキの形やな。

OH・OG=OF・OE=7


方ベキは相似は相似でも形を見抜きやすいし、非常によく出るから、使い方を覚えておいて下さい。

center20111a35.jpg

三つあって違うように見えるけど、絵を見てもらったら分かりますが実は同じです。


そしたら、もうちょっと方ベキについて詳しく書きたいとこやけど今日は初音ミクやり過ぎて腕が痛いからこの辺までにしとこか。

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センター試験数学1A、2011年度の第2問…2次ぎ関数の問題の解説
昨日、線路に痰を吐きに行くおっさんをずっと見てたら、不思議な気持ちになりました。
センター試験2011年度1Aの第2問の解説です。

[問題]
a,b,cを定数とし,a≠0,b≠0とする。xの2次関数
y=ax^2+bx+c…①
のグラフをGとする。Gがy=-3x^2+12bxのグラフを同じ軸をもつとき
a=[アイ]/[ウ]
となる。さらに,Gが点(1,2b-1)を通るとき
c=b-[エ]/[オ]
が成り立つ。
以下,②,③のとき,2次関数①とそのグラフGを考える。

(1)Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
b<[カキ]/[ク],[ケ]/[コ]<b
である。さらに,Gとx軸の正の部分が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
[サ]/[シ]<b<[ス]/[セ]
である。

(2)b>0とする。
0≦x≦bにおける2次関数①の最小値が-1/4であるとき,
b=[ソ]/[タ]である。一方,x≧bにおける2次関数①の最大値が3であるとき,b=[チ]/[ツ]である。
b=[ソ]/[タ],b=[チ]/[ツ]のときの①のグラフをそれぞれG1,G2とする。G1をx軸方向に[テ],y軸方向に[ト]だけ平行移動すれば,G2と一致する。


[解答と解説]
y=ax^2+bx+cがy=-3x^2+12bxのグラフを同じ軸ってことは平方完成したx座標が同じってことやな。
y=a(x+b/(2a))^2+c-b^2/4a
でx=-b/(2a)

y=-3(x^2-4bx)
=-3(x-2b)^2+12b^2
でx=2b

だから
-b/(2a)=2b

-b=4ab

b(4a+1)=0

b≠0より4a+1=0からa=-1/4


穴埋めやからもっと適当でええねんけど、b≠0やからbで割れるって言うのは注意したってください。

それでGが(1,2b-1)を通るってことやからy=ax^2+bx+cにx=1,y=2b-1を代入して

2b-1=a+b+c

a=-1/4だから
c=2b-1-a-b
=b-1+1/4
=b-3/4


だからGは
y=-1/4x^2+bx+b-3/4
やな。

それでx軸と異なる2点で交わるから、
-1/4x^2+bx+b-3/4=0つまり
x^2-4bx-4b+3=0の判別式DとしたらD>0やな。

xの係数が2倍になってるからD/4の公式が楽と言うことで

D/4=(2b)^2-(-4b+3)
=4b^3+4b-3
=(2b-1)(2b+3)>0

よって

b<-2/3,1/2<b

解答欄の形から、どっちも分数にならなあかんから、因数分解は(2b…)(2b…)の組み合わせってすぐにわかるねんけどな。

今度は正の部分と異なる2点で交わるか。


center20111a21.jpg

これはx^2の係数が正の二次関数f(x)の場合
D>0
f(0)>0
軸>0

のパターンを繰り返して覚えておいて、今はy=-1/4x^2+bx+b-3/4と言うようにx^2の係数が負やから

D>0
x=0で負
軸>0

って応用させるねん。


D>0は計算したから、b<-2/3,1/2<b

x=0で負はb-3/4<0つまりb<3/4

軸>0は2b>0つまりb>0

これらの共通範囲をとって

1/2<b<3/4


y=ax^2+bx+cって書いてりからx^2の係数が正と勘違いする可能性はあるねんけど

b<-2/3,1/2<b
b>3/4
b>0

って出てしまったら、まあ本番なら解答欄の形を見て

1/2<b<3/4

って無理やり入れて後から見直しで気づく感じですわ。


ここで、えっなんで?なんで?って止まって頭かきまくって髪の毛抜きまくってたら、毛根に肉片がついてて消しゴムにシャーペンで穴を空けて植毛してみることになるねん。



と言うことで(2)です。

b>0とする。
0≦x≦bにおける最小値か。

これは軸x=2bと定義域の位置関係がb>0より
b<2b
やから軸が定義域の右側やねん。

center20111a22.jpg

だからさっと上に凸なグラフを書いてx=0で最小になるから、b-3/4が-1/4になればいい。

つまり
b-3/4=-1/4
から
b=1/2

ここでさっきの問題でa<0ってことを忘れてて、下に凸なのをやってしまってたら

x=bで最小値-1/4つまり-1/4b^2+b^2+b-3/4=-1/4から3b^2+4b-2=0で絶対違うことに気づくねんな。
だから、そこで止まらずにとりあえず次の問題も見ていかなあかんねん。


今度はx≧bにおける最大値が3ってことやから、これは軸x=3bがb<2bより定義域に入るため頂点で最大値やな。

center20111a23.jpg

だから
y=-1/4x^2+bx+b-3/4
=-1/4(x-2b)^2+b^2+b-3/4

でb^2+b-3/4=3より
4b^2+4b-15=0
(2b+5)(2b-3)=0

b=-2/5,3/2
b>0からb=3/2


平行移動は二次関数の場合、頂点だけ考えると計算しやすいねん。
たぶんな。

G1はb=1/2やから頂点(2b,b^2+b-3/4)に代入して(1,0)
G2はb=3/2やから頂点は同様に計算して(3,3)

x軸方向に2,y軸方向に3ってすぐにわかりますね。

センター試験の過去問の解説




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プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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