受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2011年度の第4問…ベクトルの問題の解説
鼻毛かきむしられた日の午後って感じやな。


センター試験2011年度数学2Bの第4問のベクトルの解説いきます。

[問題]
四角錐OABCDにおいて,三角形OBCと三角形OADは合同で,OB=1,BC=2,OC=√3であり,底面の四角形ABCDは長方形である。AB=2rとおき,OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。

center20112b41.jpg

OD→をa→,b→,c→を用いて表すとOD→=[ア]→-[イ]→+c→である。辺ODを1:2に内分する点をLとすると
AL→=-([ウ]/[エ])a→-([オ]/[エ])b→+([カ]/[エ])c→
となる。

さらに辺OBの中点をM,3点A,L,Mの定める平面をaとし,平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから,AN→は実数s,tを用いてAN→=sAL→+tAM→と表されるので
ON→=([キ]-([ク]/[ケ])s-t)a→+(-s/[コ]+t/[サ])b→+(s/[シ])c→

となる。一方,点Nは辺OC上にもある。これから,ON→=([ス]/[セ])c→となる。
またa→・b→=[ソ]-[タ]r^2,b→・c→=[チ],a→・c→=[ツテ]r^2である。よって,AM→・MN→を計算すると,AB=√[ト]のとき,直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。


[解答と解説]
わたくし…ベクトルですよね。

また狂いだしたか。


と言うことでOD→やな。

これはOを始点にしててOA→=a→,OB→=b→,OC→=c→と言うようにa→,b→,c→が基本ベクトルにしてるわけです。

だから、Oを始点に分解して基本ベクトルであらわすのがよくあるやり方やな。

なんか二回同じこと言うてるような。


でもセンターの場合は結構、単につなげていくことが多いねんな。

OD→=OC→+CD→
=c→+OD→

CD→=BA→
=OA→-OB→
=a→-b→

だから

OD→=c→+a→-b→
=a→-b→+c→

はい、いいですね。

ODを1:2に内分する点をLと書いてるから

OL→=1/(1+2)・OD→
=1/3a→-1/3b→+1/3c→

でも、AL→をa→,b→,c→で表せってことです。
つまりOを始点にすればええねん。

AL→=OL→-OA→
=1/3a→-1/3b→+1/3c→
=-2/3a→-1/3b→+1/3c→


次は平面と辺との交点を基本ベクトルであらわす問題やな。

ベクトルの基本的な問題がパっと出るようにしておけば、問題ないとこやな。

○点Nは平面α上
○点Nは辺OC上

これを式にあらわしていくねん。

そうやって誘導もしてくれてるな。



center20112b42.jpg

点Nは平面α上ってことから、平面α上の適当な一次独立AL→とAM→を二つとって、その二つのベクトルであらわされたらええねん。
それが
AN→=sAL→+tAM→
やな。

でもそんなん考えずに、なんか意味はわからんけど。
AN→=sAL→+tAM→
ってあらわされてON→を求めるには始点をOにしたらええって言うようにやるのがセンターやな。

ON→-OA→=s(OL→-OA→)+t(OM→-OA→)

Mは辺OBの中点より
OM→=1/2OB→
=1/2b→

ON→=a→+s(1/3a→-1/3b→+1/3c→)-sa→+t/2b→-ta→
=(1-2s/3-t)a→+(-s/3+t/2)b→+s/3c→


次は点NはOC上ってことやから
ON→=kc→
となるkが存在して

ON→=(1-2s/3-t)a→+(-s/3+t/2)b→+s/3c→

と係数比較して

1-2s/3-t=0
-s/3+t/2=0
k=s/3

これを解いて
s=3/4
t=1/2
k=1/4
ON→=1/4c→

a→・b→は△OABで三辺の長さがわかってるから余弦定理で出るわけですわ。

cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA・OB)

だから
a→・b→=1/2・(OA^2+OB^2-AB^2)
=1/2(1+1-4r^2)
=1-2r^2

でもこれは一般的にx→,y→に対して
x→・y→=1/2・(|x→|^2+|y→|^2-|x→-y→|^2)
が成り立つから、これを覚えていきなり

a→・b→=1/2・(|a→|^2+|b→|^2-|a→-b→|^2)
っていきなり求めていけるようにしたら、ええとこやな。

同様にして
b→・c→=1/2・(|b→|^2+|c→|^2-|b→-c→|^2)
=1/2・(|OB|^2+|OC|^2-|BC|^2)
=1/2・(1+3-4)
=0

a→・c→=1/2・(|a→|^2+|c→|^2-|a→-c→|^2)
=1/2・(|OA|^2+|OC|^2-|AC|^2)
=1/2・(1+3-(AB^2+BC^2))
=1/2・(1+3-4r^2-4)
=-2r^2

AM→・MN→は直線AMと直線MNは垂直ってことやから0やな。

AM→・MN→=0
(OM→-OA→)・(ON→-OM→)=0
(1/2b→-a→)・(1/4c→-1/2b→)=0
-1/4-1/4・(-2r^2)+1/2・(1-2r^2)=0
1/4-r^2/2=0
r=1/√2
つまり
AB=2r=√2

今日もお疲れ様でした。

またあえる日を楽しみにしてるね。

ばいば~い♪

センター試験の過去問の解説




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センター試験数学2B、2011年度の第3問…数列の問題の解説
パターゴルフやってたら赤ちゃんの頭を打ってて血だらけになった午後ですね。

センター試験2011年度2Bの第二問の数列の問題の解説

[問題]
数直線上で点Pに実数aが対応しているとき,aを点Pの座標といい,座標がaである点PをP(a)で表す。
数直線上に点P_1(1),P_2(2)をとる、線分P_1P_2を3:1に内分する点をP_3とする。一般に,自然数nに対して,線分P_nP_(n+1)を3:1に内分する点をP_(n+2)とする。点P_nの座標をx_nとする。

x_1=1,x_2=2であり,x_3=[ア]/[イ]である。数列{x_n}の一般項を求めるために,この数列の階差数列を考えよう。自然数nに対してy_n=x_(n+1)-x_nとする。

y_1=[ウ],
y_(n+1)=[エオ]/[カ]y_n
(n=1,2,3,…)

である。したがって,y_n=([エオ]/[カ])^[キ] (n=1,2,3,…)であり
x_n=[ク]/[ケ]-[コ]/[ケ]・([エオ]/[カ])^[サ] (n=1,2,3,…)

となる。ただし,[キ],[サ]については,当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。

(0)n-1
(1)n
(2)n+1
(3)n+2

次に,自然数nに対してS_n=Σ(k=1~n)k|y_k|を求めよう。r=|[エオ]/[カ]|とおくと

S_n-rS_n=Σ(k=1~[シ])r^(k-1)-nr^[ス]
(n=1,2,3,…)
であり,したがって
S_n=[セソ]/[タ]・{1-(1/[チ])^[ツ]}-n/[テ]・(1/[ト])^[ナ]

となる。ただし,[シ],[ス],[ツ],[ナ]については,当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
(0)n-1
(1)n
(2)n+1
(3)n+2

[解答と解説]
これは

「数列の問題で失敗しました。
なんでか?」

ってメールが4通くらいきた思い出の問題です。


と言うことで説明していきましょか。


P_3は線分P_1P_2を3:1に内分する点やから、これは内分点の公式ですね。

A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)として線分ABをm:nに内分した点の座標は
((na_1+mb_1)/(m+n),(na_2+mb_2)/(m+n))
やったな。

今は数直線上ってことでx座標だけやから

x_3=((1・x_1+3・x_2)/(3+1)
=7/4

それでこのおっさんは数列{x_n}の一般項をどうやら求めたらしい。


その辺は何となく読んで意味とか考えません。


読み進めるとy_n=x_(n+1)-x_nとする

って書いてるから、意味わからんままにやります。


y_1=x_2-x_1
=2-1=1

これは普通やな。

y_(n+1)=x_(n+2)-x_(n+1)
これと
y_n=x_(n+1)-x_n

これは見比べる、どうやらx_nの何らかの漸化式がいるみたいやな。

と言うことで、まだ使ってない条件

線分P_nP_(n+1)を3:1に内分する点をP_(n+2)とする。

だから

x_(n+2)={1・x_n+3・x_(n+1)}/(3+1)
=1/4・x_n+3/4・x_(n+1)

これでx_(n+2)がx_nとx_(n+1)であらわせるな。


y_(n+1)=x_(n+2)-x_(n+1)
=1/4・x_n+3/4・x_(n+1)-x_(n+1)
=-1/4・x_(n+1)+1/4・x_n
=-1/4・(x_(n+1)-x_n)
=-1/4・y_n

したがって
y_n=(-1/4)^[キ]
まあ等比数列をもし忘れたとしても
n=1の時,y_1=1やねんから、[キ]にはn-1が入るってわかるとこやな。

こうやってセンターではn=1,2,3,…ってやつはn=1,2とか代入して成り立つ数字を入れてしまったら求まったりしてまいます。

今の場合ちゃんとやると{y_n}は初項が1、公比が-1/4より
y_n=1・(-1/4)^(n-1)
=(-1/4)^(n-1)

と言うことで、y_n=x_(n+1)-x_nやったから

公式から
n≧2で
x_n=y_1+Σ(k=1~n-1)y_k
=1+Σ(k=1~n-1)(-1/4)^(k-1)
=1+{1-(-1/4)^(n-1)}/(1+1/4)
=1+4/5-4/5・(-1/4)^(n-1)
=9/5-4/5・(-1/4)^(n-1)

n=1を代入したら
x_1=9/5-4/5
=1

でn≧1で成立してるし,n=2を代入してみたら
x_2=9/5-4/5・(-1/4)
=10/5
=2

これで答えを確信できます。
もし違う値が出れば、どっかで計算間違いしてることに気づきます。

ただやり過ぎたら、時間なくなるから、この程度ぐらいのことしかやらない方がええやろ。

後はおかしくなってきたら、どこが間違えてるか探すときにやる感じです。



S_n=Σ(k=1~n)k|y_k|を求めようってなんか言うてますね。

r=|[エオ]/[カ]|とおくと
つまり
r=|-1/4|=1/4

|y_k|=|(-1/4)^(k-1)|
=1/4^(k-1)
ってことで絶対値とかいかついこと書いてるけど、実は単純です。


等差数列×等比数列の形の和ですが
S_n-rS_n=Σ(k=1~[シ])r^(k-1)-nr^[ス]
ってちゃんと解き方が誘導されてます。

と言っても、やったことないと出来へんな。


S_n=1+2r+3r^2+…+nr^(n-1)
rS_n= r+2r^2+…+(n-1)r^(n-1)+nr^n

これでrの次数が同じとこを引き算します。
2r-r=r
3r^2-2r^2=r^2

n^r(n-1)-(n-1)r^(n-1)=r^(n-1)
やな。
だから
S_n-rS_n=1+r+r^2+…+r^(n-1)-nr^n
=Σ(k=1~n)r^(k-1)-nr^n

まあΣは全部書き下せって言う処理を覚えてればやれると言えばやれるねんけど、やっぱ知ってるから解けるねん。

と言うことでさっきの式から
(1-r)S_n=Σ(k=1~n)r^(k-1)-nr^n
(1-r)S_n=(1-r^n)/(1-r)-nr^n
S_n=(1-r^n)/(1-r)^2-nr^n/(1-r)

ここでr=1/4だから
S_n=(1-(1/4)^n)/(1-1/4)^2-n(1/4)^n/(1-1/4)
=16/9・(1-(1/4)^n)-4n/3・(1/4)^n

解答蘭の形に無理やりあわせて

S_n=16/9・(1-(1/4)^n)-n/3・(1/4)^(n-1)


Σ(k=1~n)k・r^(k-1)-r・Σ(k=1~n)k・r^(k-1)
=Σ(k=1~n)r^(k-1)k(-r)-Σ(k=1~n)k・1/4^(k-1)


これはよくあるパターンが組み合わせられた問題ですね。

これが出来なかったとしたら

○センターの過去問を繰り返しまくってセンターの考え方を覚える

○数学2Bの例題レベルの問題を覚えて根本的なレベルをあげる

って言うところの、根本的なレベルの方が足りないって原因が大きいと思う問題なので

内分点の公式や、漸化式への応用、階差数列、等差数列×等比数列の和

辺りをわんこら式を参考にチャートとかでやって覚えておいてください。

センター試験の過去問の解説




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センター試験数学2B、2011年度の第2問…微分積分の問題の解説
なるほど、それは色紙とアロンアルファを持って戯れる子供たちやな。


センター試験数学2B第二問の解説いきますわ。



[問題]
座標平面上で,放物線y=x^2をCとする。
曲線C上の点Pのx座標をaとする。点PにおけるCの接線lの方程式は
y=[アイ]x-a^[ウ]
である。a≠0のとき直線lがx軸と交わる点をQとすると,Qの座標は
([エ][オ],[カ])
である。
a>0のとき,曲線Cと直線lおよびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
S=a^[キ]/[クケ]
である。
a<2のとき,曲線Cと直線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積をTとすると
T=-a^3/[コ]+[サ]a^2-[シ]a+[ス]/[セ]
である。

a=0のときはS=0,a=2のときはT=0であるとして,0≦a≦2に対してU=S+Tとおく。aがこの範囲を動くとき,Uはa=[ソ]で最大値[タ]/[チ]をとり,a=[ツ]/[テ]で最小値[ト]/[ナニ]をとる。


[解答と解説]
曲線C上の点Pのx座標をaってことはP(a,a^2)…ですね。
ここまでいいですか?

点Pにおける接線やから、微分しますね。
y'=2x
ここまでいいですか?

点Pにおける接線lやから、傾きと通る点がわかったから
y=2a(x-a)+a^2
=2ax-a^2
ここまでいいですか?


こんなペースで終わるか!


と言うことでl:y=2ax-a^2がx軸と交わる点Qはy=0を代入して
2ax-a^2=0
a≠0よりaで割ってよくて
2x-a=0からx=a/2
だから
Q(a/2,0)

a>9のとき,曲線Cと直線lおよびx軸で囲まれた図形の面積は

center20112b21.jpg

こうやって図を書いて図で考えるねん。
それでだいたい前問が誘導になってて、lとx軸の交点を求めさせられてるから、三角形の面積がわかるわけですわ。

求める面積=∫(0,a)x^2dx-1/2(a-a/2)a^2
=[x^3/3](0,a)-a^3/4
=a^3/3-a^3/4
=a^3/12


a<2のとき,曲線Cと直線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積Tは同じように図を書いて

center20112b22.jpg

求める面積=∫(a,2){x^2-(2ax-a^2)}dx
=∫(a,2)(x-a)^2dx
=[(x-a)^3/3](a,2)
=(2-a)^3/3

こうやってy=x^2とl:y=2ax-a^2はx=2で接するから
(x-a)^2って因数分解されるねん。

どこで交わるとか接するから因数分解できるのネタはよくあるから、覚えておいてください。

だいぶん積分の計算楽になるからな。


よく積分の計算が早くなりません、うへ~

って言うてる子いるけど、これは自己流でやってるからであって、解答例とか写していって、こういう解き方を真似していかな成長が遅いねん。


と言うことで最後に展開しなあかんかったな。

T=(2-a)^3/3
=-a^3/3+2a^2-4a+8/3


はい、

U=S+T
ですね。

U=a^3/12-a^3/3+2a^2-4a+8/3
=-a^3/4+2a^2-4a+8/3
ってやってもええけど、
{(ax+b)^n}'=na(ax+b)^(n-a)
の微分になれてる人はバラす前の方が若干らくかもしれんな。

U=a^3/12+(2-a)^3/3

これの最大値と最小値を調べるわけやから、微分します

U'=a^2/4-(2-a)^2
=(-3a^2+16a-16)/4
=-(3a-4)(a-4)/4

ほんま若干やな。
これやっぱ意味なかったかもしれんな…
え、どっちが早いんやろ

U=-a^3/4+2a^2-4a+8/3
を微分して
U'=-3a^2/4+4a-4
=(-3a^2+16a-16)/4
=-(3a-4)(a-4)/4

2,7秒くらい早い…とかずっと考えてたら、チャイムがなって何もかも終わった!って家に帰って食器とか割りまくってお母さんが泣いてて、そこにお父さんが帰ってきて一本背負いされてゲホゲホ血吐いて、それを後ろから妹がお兄ちゃんこれで私とずっと一緒だねって見つめられてると言うことになります。

そうならないように、どっちでもええから早く計算してください。


これで0≦a≦2の範囲で増減表を書くねんけど、センターの場合は
極値はa=3/4と4でとるわけやから、端点と極値で最大、最小になるから
U=a^3/12+(2-a)^3/3
と展開する前の方に入れるのがたぶん楽で
a=0の時,U=8/3
a=4/3の時,U=4^2/3^4+2^3/3^4=24/3^4=8/27
a=2の時,U=8/12=2/3


a=2の時、最大値8/3
a=4/3の時、最小値8/27

center20112b23.jpg

一応グラフ書いておきますわ。


センター試験の過去問の解説




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わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

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