受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の問題…東京大学2011年度文系第1問の解説
さて、今からどてらすけど覚悟してくれ。


だからそれどういう意味やねん。


東京大学2011年度文系第1問の解説


[問題]
toudai2011bu1.jpg

xの3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
が,3つの条件
f(1)=1,f(-1)=-1,∫(-1,1)(bx^2+cx+d)dx=1
を全て満たしているとする。

このようなf(x)の中で定積分
I=∫(-1.1/2){f''(x)}^2dx
を最小にするものを求め,そのときのIの値を求めよ。
ただし,f''(x)はf'(x)の導関数を表す。


[解答と解説]
toudai2011bu2.jpg

東大文系で積分の問題が出たら

「普通に解く!」

がパターンです。


ほんまこれは毎年のように出るな。


他の大学と違って何かテクニックを使うとかじゃないねん。

こうやって普通に解くと思うだけで、だいぶん解きやすくなるから過去問やりまくって覚えて下さい。




そしたら…やっていきますか。

toudai2011bu3.jpg

まず条件を全部式に表します。
f(1)=1から
a+b+c+d=1
f(-1)=-1から
-a+b-c+d=-1
∫(-1.1)=1から、一応
∫(-t,t)偶関数dx=2∫(0,t)偶関数dxと
∫(-t,t)奇関数dx=0
を使って
2b/3+2d=1

また
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
I=∫(-1,1/2)(6ax+2b)^2dx
この最小値を考えるわけですね。


toudai2011bu4.jpg

と言うことでまず条件を全部書き下してみました。

3次関数ってことはa≠0の条件があるのは忘れないでください。

2次関数ax^2+bx+cと言われるとa≠0
関数ax^2+bx+cと言われるとa=0の場合もあり

だから○次関数とかに反応するように基本的例題を繰り返して癖をつけてくださいね、


a≠0の条件があると言うことは、aは消去するとややこしいねん。
aを残した方がやりやすいと個人的には思います。


だから
a+b+c+d=1…①
-a+b-c+d=-1…②
2b/3+2d=1…③

の三つの式を使ってb,c,dをaであらわして
I=∫(-1,1/2)(6ax+2b)^2dx
に代入したら一つのパラメーターであらわせそうやな。


①と②は特殊な形をしてるので和と差を求めると簡単です。

(①+②)/2
b+d=0
(①-②)/2
a+c=1

和と差をとればこれは同値なので、これで①と②は使いきりました。

(①+②=③,①-②=④とすると①=(③+④)/2,②=(③-④)/2だから
①かつ②が成立⇔③かつ④が成立)

これでb+d=0と③からb,dが求まります。

b=-3/4,d=3/4

だから

b=-3/4,c=1-a,d=3/4

これで全部aであらわせた感じやからIに代入して計算ですよね?

ですです。

toudai2011bu5.jpg

I=∫(-1,1/2)(6ax-3/2)^2dx

塊で積分してもいいですが、たぶんあんまり意味ないので普通に展開して積分しました。
=∫(-1,1/2)(36a^2x^2-18ax+9/4)dx

=[12a^2x^3-9ax^2+9/4](-1,1/2)

=27a^2/2+27a/4+27/8

=27/2(a+1/4)^2+81/32

よってa=-1/4でc=5/4つまり
f(x)=-1/4x^3-3/4x^2+5/4x+3/4のとき
Iは最小値81/32をとる。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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体積を求める積分の問題…東京大学2011年度理系第6問の解説
ちょっと、まさるを割礼してくるわ。


また狂いだしたか。

と言うことで東京大学2011年度理系第6問の解説いっときます。


[問題]
toudai2011ri601.jpg

x,yを実数とし,x>0とする。
tを変数とする2次関数
f(t)=xt^2+ytの0≦t≦1
における最大値と最小値の差を求めよ。
(2)次の条件を満たす点(x,y)全体からなる座標平面内の領域をSとする。

x>0かつ,実数zで0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して
0≦xt^2+yt+z≦1
を満たすようなものが存在する。

Sの概形を図示せよ。

(3)次の条件を満たす点(x,y,z)全体からなる座標空間の領域をVとする。

0≦x≦1かつ,0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して
0≦xt^2+yt+z≦1
が成り立つ。

Vの体積を求めよ。


[解答と解説]
(1)
今日はもう疲れたから適当にいこか。


はい、二次関数です。

こんなんパっと出るようにしてくださいね。


(2)
0≦f(t)+z≦1
と言うことですね。

(3)
計算してください。


終わり。



今どつきまわされそうになった。



と言うことで2次関数の最大値と最小値ですが

toudai2011ri602.jpg

軸が定義域の左か入るか右で最小値の切り替わり
軸が中点より右か左かで最大値の切り替わりと言うことで

軸<左端
左端≦軸<中点
中点≦軸<右端
右端≦軸

とかパっと一瞬で図とセットで出るようにしてくださいね。

白チャートとかわんこら式のノリで繰り返して1題5秒が目標です。


toudai2011ri603.jpg

平方完成して
f(t)=x(t+y/2x)^2-y^2/4x

x>0やから処理はしやすいですね。

(i)-y/2x<0⇔y>の時
最大値f(1)=x+y
最小値f(0)=0

(ii)0≦-y/2x<1/2⇔-x<y≦0の時
最大値f(1)=x+y
最小値f(-y/2x)=-y^2/4x

(iii)1/2≦-y/2x<1⇔-2x<y≦-xの時
最大値f(0)=0
最小値f(-y/2x)=-y^2/4x

toudai2011ri604.jpg

(iv)1≦-y/2x⇔y≦-2xの時
最大値f(0)=0
最小値f(1)=x+y

これでいいと思いますが、まとめておいたら(2),(3)で使いやすいかもな。

最大値 最小値
x+y 0 (y>0)
x+y -y^2/4x (-x<y≦0)
0 -y^2/4x (-2x<y≦-x)
0 x+y (y≦-2x)

不等式のどっちに=いを入れるかとかは、好きなようにしてください。
面倒くさいなら、間違いじゃないからもう両方入れてください。

ただ、両方入ってないなら間違いです。


(2)
これはちょっと問題の意味が難しいな。

0≦f(t)+z≦1

ですが、もう本番は直感的に

f(t)が動く幅が1やったら後は+z、平行移動したらええから

最大値-最小値≦1

って感じでパっとやってください。



一応、解説と言うことで、ちゃんと説明します。

まず条件をわかりやすくするために以下のよくある読みかえをします。

toudai2011ri605.jpg

全ての実数xに対して
t≦f(x)
となる実数tの範囲は?

って言われると要するに
t≧max{f(x)}
となる実数tの範囲を求めたらよかったわけです。

(max{f(x)}はf(x)の最大値って言う意味)

全部の実数を考えなくても最大値だけ考えれば良かったですよね。


だからこの問題では

toudai2011ri606.jpg

0≦f(t)+z≦1

-f(t)≦z≦1-f(t)

だから0≦t≦1の全てのtに対して
-f(t)≦z≦1-f(t)
を満たすzが存在

と言うことは0≦t≦1における
左辺の最大値以上で右辺の最小値以下であればいいから

max(0≦t≦1){-f(t)}≦z≦min(0≦t≦1){1-f(t)}

ここで
max(0≦t≦1){-f(t)}=-min(0≦t≦1){f(t)}
min(0≦t≦1){1-f(t)}=1-max(0≦t≦1){f(t)}

やから

-min(0≦t≦1){f(t)}≦z≦1-max(0≦t≦1){f(t)}

を満たすzが存在と考えたらええわけや。

それは左辺≦右辺であれば良いから

1-max(0≦t≦1){f(t)}-(-min(0≦t≦1){f(t)})≦0

max(0≦t≦1){f(t)}-min(0≦t≦1){f(t)}-1≦0


言葉で言うと

最大値-最小値-1≦0

ですね。


そしたら後は(1)で求めたのを入れていって整理やな。

toudai2011ri607.jpg

(i)y>0の時
x+y-0≦1⇔y≦1-x
y>0とあわせて
0<y≦1-x

(ii)-x<y≦0の時
x+y-(-y^2/4x)≦1

y^2+4xy+4x^2-4x≦0

-2x-2√x≦y≦-2x+2√x

解の公式を使って整理しても、まあまあ簡単になるねんな。

それで-x<y≦0との共通範囲を考えてx>0から
-2x-2√x<-x
なので下側は-x<yってすぐにわかりますが

上側は0と-2x+2√xの小さい方やから

-x<y≦min{0,-2x+2√x}

後はグラフ描くときに調べますわ。


(iii)-2x<y≦-xの時
0-(-y^2/4x)≦1

-2√x≦y≦2√x

これで-2x<y≦-xとの共通範囲を考えて上側は
-x<2√x
やからy≦-xですが

下側は-2xと-2√xの大きい方なので

max{-2x,-2√x}≦y≦-x

(iv)y≦-2xの時
0-(x+y)≦1

-x-1≦y
でy≦-2xとの共通範囲をとって

-x-1≦y≦-2x

(i)~(iv)よりSの概形は写真を見て下さい。

y=-2x+2√x
は微分してもいいねんけど
y=-2√x^2+2√x
と考えると√xの二次関数やから、増減は平方完成したら簡単にわかります。

y=-2(√x-1/2)^2+1/2

後は交点求めたりしてください。



(3)
toudai2011ri608.jpg

なるほど(2)で0≦x≦1の部分だけなら平行四辺形やな。

面積は1×1=1

後はzで積分して

∫1dz




ってやってると



toudai2011ri609.jpg

チーン

ってなります。


もうこんなん意味わかりませんよね。



これ(2)描いたのはzが存在する範囲やから
Sの断面図じゃなくてVを真上から見た図です。

toudai2011ri610.jpg

だから断面図は、色々なところが欠けるから平行四辺形じゃないねんな。


でも(2)が誘導になってるはずですよね。

これは確かに非常に普通な誘導をしています。


toudai2011ri611.jpg

例えば
x^2≦x+y≦2
であらわされる領域の面積は?

と言う問題があったとすると、これって

2-x=x^2-x
を解いてx=±√2で
∫(-√2,√2){2-x-(x^2-x)}dx
って解きますよね。


これは何をやってるのかと言うと
2-x=x^2-x
を解いてx=±√2
の操作で
yが存在するのは
-√2≦x≦√2
の範囲って求めてyをxで積分したってことやんな。

だから
この問題でも(2)で
zが存在するx,yを求めたと言うことは
zをx,yで積分する誘導
ってことやねん。

と言うことでxかyどっちか固定して積分していく感じやな。


本当は面積や体積を求めるときは、存在するような範囲を求めて、その範囲で積分するって言う操作をするもんやねんな。


なんでこんな超基礎的なことがわからないのか?、教科書を繰り返せばわかるようになるのか?って言うと、

そもそも基礎ってほんまにわかったんか言うたら、実はわかってないもんやねん。

わかるのレベルが違うねん。


例えばオレなら測度論も勉強してたから、積分見るだけで他の人と全然違う観点で物が見えててわかった言うてるわけや。

バームクーヘン積分とか、こんなん積分の構成を考えるとどう判断されるかわからんし、円柱座標をとってヤコビアン計算してわかることやしなとか色々頭に思い浮かんで使わない方がええやろなとか思うわけですね。

それで某予備校の有名講師は
「積分で大切なのは、軸に垂直だ」
と言ってるらしい話を聞くと、オレも同じこと言うわ、さすがよくわかってるなとか感じるわけですね。

体積=∫断面積d(垂直な軸)

が大切やねん。

これわかってないと、ほんまに間違えるからな。

参考→回転体の体積の問題、東京工業大学2009年度第4問の解説


だからな最初基礎を習っても、その基礎を深く理解するだけの経験や知識が足りないんですわ。

だからどんどん理解出来たり覚えられるところからやっていくことで、

あれとこれは関連性があるんじゃないか?

って本当にわかってくるわけやねんな。

だからこうやって東大の過去問とか通して基礎がわかればええねん。


さて余計な話を問題を忘れさせたところで、

体積=∫断面積d(垂直な軸)

やからxかyどっちかを固定してVを切って断面積を考えたいとこです。

toudai2011ri612.jpg

y固定して平面y=kで切ると、

xの範囲が結構場合わけ生じそうやろ。

今度はx固定して平面x=kで切ると0≦k≦1のどこでも

-1-k≦y≦1-k

やから、こっちが簡単そうです。


toudai2011ri613.jpg

-min(0≦t≦1){f(t)}≦z≦1-max(0≦t≦1){f(t)}

でしたが、これでx=kで切って断面図を求めたいとこです。

zは四つの領域によって関数が切り替わって

(i)0<y≦1-x
最大値 x+y
最小値 0
やから
0≦z≦1-(x+y)

(ii)-x<y≦0
最大値 x+y
最小値 -y^2/4x
やから
y^2/4x≦z≦1-(x+y)

(iii)-2x≦y≦-x
最大値 0
最小値 -y^2/4x

y^2/4x≦z≦1

(iv)-x-1≦y≦-2x
最大値 0
最小値 x+y
-(x+y)≦a≦1

x=kを代入して考えて図を書くとわかりやすいです。

この断面積のS(k)とでも置いとこか。

toudai2011ri614.jpg

最後は積分するだけです。

上の関数の積分-下の関数の積分

で直線は台形になるから台形の面積でも利用して解いてください、

すると
17/18
になります。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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整数と場合の数の問題…東京大学2011年度理系第5問文系第3問の解説
人が食べるソーセージを横から握られたらどんな気分になるか考えたことないんやろな。

まあええけどな。

そしたら、東京大学2011年度理系第5問文系第3問の解説をします。


[問題]
toudai2011ri501.jpg

p,qを2つの正の整数とする。整数a,b,cで条件
-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦a
を満たすものを考えて,このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ。
各(p,q)パターン[a,b;c]に対して
w([a,b;c])=p-q-(a+b)
とおく。

(1)(p,q)パターンのうちw([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ。
また,w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ。
以下p=qの場合を考える

(2)sを整数とする。(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ。
(3)(p,p)パターンの総数を求めよ。


(文系は(2)まで)
[解答と解説]
なるほど

toudai2011ri502.jpg

w([a,b;c])=-qより
p-q-(a+b)=-q
やから
a=p-b

-q≦b≦0≦p-b≦pって言うやつがあるから、これに代入してみたらええんちゃうか。

そしたら
p≦b
って言うことはp=1,2,3,…,b-1

これオレ…もしかしたらいけてるかもしれんのちゃうん。

b≦c≦aにも代入して
b≦c≦p-b

だから…

えっとこれは…


ってやってると



夜中にコンコンってドアがなるから、開けたら…




toudai2011ri503.jpg


こんなスヌーピーが無理やり入ってきます。

ドアを閉めようとしても、

ガ!

って間に足を入れてきます。




こんなスヌーピーが入ってきたら、お引取り願うのが大変です。

「君、その考え方はやめた方がいいと思うよ」

とかずっと言うてきて、気が狂いそうになります。

絶対帰ってくれません。




こういう風に、東大の問題は何が難しいのかと言うと問題の意味が難しい問題も多いねん。
この問題なんか解くんは簡単やからな。


じゃあややこしいスヌーピーが訪ねて来なくするためにはどうしたらいいのかと言うと

過去問を問題と解答をセットで覚えるくらい繰り返して

「数学語」を覚えるねん。


よく問題を読み間違えたら国語力が足りないとか言うけど、じゃあ国語の勉強したら伸びるのか言うたら普通に考えてそんなわけがないやろ。

しかもだいたい国語出来るやつは数学が苦手で、数学が得意な人は国語苦手やしな。


それは単に国語と数学どっちに時間をかけてきたかって言う話なだけやねん。


数学は数学の言い回しがあって例えば

「ほとんど全て」のxに対して書かれたら、

測度0の集合を除いてって言う意味やからな。

測度って言うもんは、集合から体積を定義する関数な。


全然日本語の「ほとんど全て」と違うねん。


国語をいくら勉強しても、これは測度0の集合やなってわかるようにはならへんねん。
ルベーグ積分とか測度論を数学の専門書で勉強したりしないと、わからへんねん。

toudai2011ri504.jpg

だからな数学語やと思って、過去問とかで問題の言い回しとその意味を覚えたらええねん。

この問題では
(p,q)パターンのうち
w([a,b;c])=-qとなるものの個数
と書いてるけど、問題文の意味からもっと噛み砕くと

-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦a
を満たす整数a,b,cのうち
p-q-(a+b)=-qとなるものの個数を求めろ

って意味ですね。

そしたら、これはa,b,cの組み合わせを求めろって意味ですよね。

だから
p,qが定数の扱い
a,b,cが変数の扱いで
(a,b,c)の解の個数を求めろ

言うてるねん。



そしたら解答を書いていきます。

この問題も多変数処理なので、東大で非常に多いパターンやから、

参考→同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)

勉強のために間違えにくく完ぺきに解ける、くどいネチネチした解答を書きます。


別にオレがおっさんになってきたから、サラっとキスして抱きしめてたらいいのに、膝に指を置いてツー…って奥に移動させると見せかけて、また膝に戻してくるのを五時間ぐらい繰り返すと言うネチネチした責めをするようになってきたと言うわけではありません。

だからその解説いらんって。


toudai2011ri505.jpg

w([a,b;c])=-qより
p-q-(a+b)=-q
ってことで
a=p-b

○全部条件を書き下す

-q≦b≦0≦a≦p
b≦c≦a
a=p-b

これでaを消去したらええねん。
そのためには全部aをp-bにしたらよくて

-q≦b≦0≦p-b≦p
b≦c≦p-b
a=p-b

これで
-q≦b≦0≦p-b≦p
b≦c≦p-b
さえ満たせば、b,cによってaはa=p-bで勝手に一つ決まるので,b,cのことだけ考えたら済むようになります。

これが文字消去ってやつなんですね。

toudai2011ri506.jpg

-q≦b≦0≦p-b≦p
はbについて整理すると0≦p-b≦pの部分は0≦b≦pやから

-q≦b≦0
0≦b≦p

これを両方満たすのはb=0だけになります。

だから
b≦c≦p-b⇔0≦c≦p

このcはc=0,1,2,…,p
で個数は
(最後)-(最初)+1
やから何も考えずにパっとだしてください。

p-0+1=p+1個です。

これが解の個数でもあるからp+1個ですね。


後は全く同じです。

toudai2011ri507.jpg

w([a,b;c])=pは

q≦b≦0≦a≦p
b≦c≦a
p-q-(a+b)=p

と言う意味で、a消去して整理すると

a=-q-b
-q≦b≦0
-q-p≦b≦-q
b≦c≦-q-b

これでb=-qって決まって

-q≦c≦0だからこの個数は

0-(-q)+1=q+1


(2)
toudai2011ri508.jpg

同じようにやるだけなんですが、整理していってみると

w([a,b;c])=-p+s

-p≦b≦0≦a≦p
b≦c≦a
p-p-(a+b)=-p+s



a=p-s-b
-p≦b≦0
-s≦b≦p-s
b≦c≦p-s-b

となって
-p≦b≦0
-s≦b≦p-s
を満たすbって言うのが、sによって変わります。

この場合わけがちょっとややこしいねん。


そうやな、絶対値はずすときの場合分けみたいに
sの切り替わりポイントを計算して数直線で場合わけしたらええかな。

大小関係の詳細まで一気に考えるんじゃなくて、まず切り替わりポイントだけ考えとくとやりやすいかなってとこやな。

toudai2011ri509.jpg

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

bの範囲が切り替わるのは端点が一致するときです。

-s=0⇔s=0
-s=-p⇔s=p
p-s=0⇔s=p
p-s=-p⇔s=2p
の四つで数直線で考えると

s<0と0≦s≦pとp<s≦2pと2p<s

の四つやな。

sが小さい方から始まって進んできてここでは
0<-s
-p<-s
0<p-s
-p<p-s

やねんけど、s=0の切り替わりポイントを越えると0<-sだけ大小関係が切り替わり、

-s<0
-p<-s
0<p-s
-p<p-s

さらに進めてs=pを越えると二つ切り替わって

-s<0
-s<-p
p-s<0
-p<p-s

さらに進めてs=2pを越えると最後だけ切り替わって

-s<0
-s<-p
p-s<0
p-s<-p

やな。

toudai2011ri510.jpg

(i)s<0の時
0<-sやから

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

を同時満たすbはないから0個です。

(ii)0≦s≦pの時

-s≦0
-p≦-s
0≦p-sより

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

-s≦b≦0

と決まります。

後は
b≦c≦p-s-b
とあわせて、b-c図を書いて格子点の数を数えてもいいし

b=k(k=-s,-s+1,…,0)
ってbを固定するとcの個数は

(p-s-k)-k+1=p-s-2k+1個です。

だから

Σ(k=-s~0)(p-s-2k+1)

を計算したらえええん。

これはもう等差数列の和でぱっと計算した方が早いな。

1/2(初項+末項)×(項数)
な。

等差数列は並べると台形と同じやから台形の面積を考えて
1/2(上底+下底)×(高さ)

と同じ構想って言うように関連付けて覚えてくれてもいいし、

1/2(初項+末項)は平均をあらわしてると考えて

(平均)×(項数)

って覚えてもいいです。


1/2{(p-s+2s+1)+(p-s+1)}{0-(-s)+1}
=(p+1)(s+1)個

toudai2011ri511.jpg

(iii)p<s≦2pの時

-s<-p
p-s<0
-p≦p-s

より

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

-p≦b≦p-s

同様に

b=k(k=-p,-p+1,…,p-s)
ってbを固定するとcの個数は

(p-s-k)-k+1=p-s-2k+1個

だから

Σ(k=-p~p-s)(p-s-2k+1)

1/2{(p-s+2p+1)+(p-s-2p+2s+1)}{p-s-(-p)+1}
=(p+1)(2p-s+1)個

(iv)2p<sの時

p-s<-pより

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s
を満たすbはなくて0個

よって

s<0の時、0個
0≦s≦pの時,(p+1)(s+1)個
p<s≦2pの時,(p+1)(2p-s+1)個
2p<sの時,0個


(3)
toudai2011ri512.jpg

(p,p)パターンを全部数えろってことは

w([a,b;c])=kとなる個数f(k)を数えて

Σ(k=-∞~∞)f(k)

を計算しろってことですが、すでに(2)で求まっています。

ほぼ絶対に前の問題が誘導になってるから、(2)を使うんちゃうかなって思うとこがここのポイントです。

-p+sはsを動かせば全ての整数を表せますよね。

でもsは

s<0.2p<sでは(p,p)パターンは0個でした。

だから
0≦s≦pの時,(p+1)(s+1)個
p<s≦2pの時,(p+1)(2p-s+1)個
の部分だけ考えればよくて

Σ(s=0~p)(p+1)(s+1)+Σ(s=p+1~2p)(p+1)(2p-s+1)

これもsの等差数列やから1/2(初+末)×(項数)でパッパ計算してください。

後はもう疲れたから写真見てください。

(p+1)^3個です。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
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