受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学2Bの第4問、ベクトルの問題の解説
さあて、滑り台で滑ってきたとこを浣腸する会に参加しよか。


センター試験2012年度数学2Bの第4問の解説です


[問題]
空間に異なる4点O,A,B,Cを,OA→⊥OB→,OB→⊥OC→,OC→⊥OA→となるようにとり,OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。さらに,3点D,E,Fを,OD→=a→+b→,OE→=b→+c→,OF→=a→+c→となるようにとり,線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし,線分ADを3:1に内分する点をNとする。

(1)OM→,ON→は,a→,b→,c→を用いて
OM→=(1/[ア])b→+c→,ON→=a→+([イ]/[ウ])b→
と表される。

(2)2直線FL.MNが交わることを確かめよう。0<s<1とし,線分FLをs:(1-s)に内分する点をPとする。OP→は,sとa→,b→,c→を用いて
OP→=([エ]-s/[オ])a→+sb→+([カ]-s)c→
と表される。s=[キ]/[ク]のとき,MP→=([ケ]/[コ])MN→となるので,M,N,Pは一直線上にある。よって,2直線FL.MNは交わることがわかる。


(3)2直線FL,MNの交点をGとする。OG→,GF→は,a→,b→,c→を用いて
OG→=([サ]/[シ])([ス]a→+[セ]b→+c→)
GF→=([サ]/[シ])(a→-[セ]b→+[ソ]c→)
と表される。
|a→|=√5,|b→|=4,|c→|=√3とする。このとき,|GF→|=[タ],|GM→|=2となる。
次に,直線OC上に点Hをとり,実数tを用いて,OH→=tc→と表す。
GF→・GH→,GM→・GH→は,tを用いて

GF→・GH→=[チ]t+[ツテ]/[ト]…①
GM→・GH→=2t+10/3…②
と表される。
さらに,∠FGH=∠MGHとする。このときのtの値を求めよう。

|GF→|=[タ],|GM→|=2と∠FGH=∠MGHであることから
GF→・GH→=([ナ]/[ニ])GM→・GH→…③

が成り立つ。①,②,③から,t=[ヌ]/[ネ]である。


[解答と解説]
これはOA→⊥OB→,OB→⊥OC→,OC→⊥OA→だから、これは全て直交しています。
cen20122b41.jpg
だからOA→がx軸,OB→がy軸,OC→がz軸と言うように直交座標のように扱えます。


そもそも図形を扱うときに、座標が直交していたり、メモリの長さが1である必要はなく
問題にあわせて
a→が何個、b→が何個
と基本ベクトルを上手く選んで計算した方が便利と言うのがベクトルの一つのメリットやからな。

何もなかったら、直交してるベクトルを基本ベクトルにするの普通なわけやな。

それが普段使ってる座標でもあるねん。
ベクトルは座標を一般化させてると言う側面があるねん。


だから図を書くとこんな感じで直方体です。

点MはCEの中点だから
OM→=(OC→+OE→)/2
=(b→+b→+c→)/2
=b→/2+c→

点NはADを3:1に内分だから

ON→=(OA→+3OD→)/(3+1)
=(a→+3a→+3b→)/4
=a→+(3/4)b→

(2)PはFLをs:1-sに内分する点と書いてて


OF→=a→+c→
LはBDの中点だから
OL→=(OB→+OD→)/2
=(b→+a→+b→)/2
=b→+a→/2

ここで
OP→=(1-s)OF→+sOL→
=(1-s)a→+(1-s)c→+sb→+(s/2)a→
=(1-s/2)a→+sb→+(1-s)c→


問題文にはこれでいきなり
s=[キ]/[ク]のとき,MP→=([ケ]/[コ])MN→
と書いてるやん。

普通はMN上にある点をQとすると
OQ→=kOM→+(1-k)ON→
ってやってP=Qとすると係数比較してk,sが求まって、
だから実際に交わってる点が求まったから交わるとかやるやん。


でもいきなり書いてるから、たぶんすぐにわかるねん。
cen20122b42.jpg
と言うことで図より

a→とc→の平面から見て正射影すると

cen20122b43.jpg

△MPF∽LPNで相似比はMF:LN=2:1だから
s=2/(1+2)=2/3

MP→=2/(1+2)MN→
=(2/3)MN→

交わるとしたら、これしかないからな。
必要条件を求めただけやから証明ではないけどな。


相似に持っていったり、二次元で必要条件で考えてしまえばいいって言う処理を覚えてくれたらええねんけど、普通に計算しまくってももちろんオッケーです。



(3)
FL,MNの交点Gと言うのはさっき求めたPのことやから
OP→=(1-s/2)a→+sb→+(1-s)c→
にs=2/3を代入して
OG→=(2/3)a→+(2/3)b→+(1/3)c→
=1/3・(2a→+2b→+c→)

GF→=OF→-OG→
=a→+c→-1/3・(2a→+2b→+c→)
=1/3・(a→-2b→+2c→)

これで全部直交してるから、内積や長さの計算はほぼ三平方の定理なわけやな。

a→同士と、b→同士と、c→同士をかけるだけで

|GF→|=1/3・√(√5^2+2^2・4^2+2^2・√3^2)
=3

OH→=tc→と書いてるから
GH→=OH→-OG→
=tc→-1/3・(2a→+2b→+c→)
=1/3・(-2a→-2b→+(3t-1)c→)

GF→・GH→
全部直交してるからa→同士と、b→同士と、c→同士をかけるだけで

GF→・GH→=1/9・(-2・√5^2+4・4^2+(6t-2)・√3^2)
=2t+16/3


もう問題文に計算してくれてるやつは気にせず使うだけです。
なんかようわからんままにやるねん。
意味とか考えたら負けやねん。

こんなん、自分も計算してたら、試験終わった後にちょうちん振り回して電車の中に突っ込んでいくことになります。


|GF→|=3,|GM→|=2で∠FGH=∠MHG=θとでもおいて

GF→・GH→=3|GH→|cosθ
GM→・GH→=2|GH→|cosθ

やから
2GF→・GH→=3GM→・GH→

GF→・GH→=(3/2)GM→・GH→

これから
2t+16/3=(3/2)(2t+10/3)
になるからこれを解いて
t=1/3です


センター試験の過去問の解説




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センター試験2012年度数学2Bの第3問の数列の問題の解説
センター試験はライブトリガーみたいなもんやからな。

センター試験2012年度数学2B第三問の解説です。

[問題]
{a_n}をa_2=-7/3,a_5=-25/3である等差数列とし,自然数nに対して,S_n=Σ(k=1~n)a_kとおく。
a_1=[アイ]/[ウ]であり,{a_n}の公差は[エオ]である。したがって

a_n=[カキ]n+[ク]/[ケ] (n=1,2,3,…)
S_n=[コ]n^2+[サ]n/[シ] (n=1,2,3,…)
である。

次に,数列{b_n}は
Σ(k=1~n)b_k=4b_n/3+S_n (n=1,2,3,…)…①
を満たすとする。数列{b_n}の一般項を求めよう。①から,b_1=[ス]である。さらに,Σ(k=1~n+1)=Σ(k=1~n)b_k+b_(n+1)に注意して,①を利用すると
b_(n+1)=[セ]b_n+[ソ]n+[タ] (n=1,2,3,…)
が成り立ち、この等式は
b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=[セ](b_n+[チ]n+[ツ]) (n=1,2,3,…)
と変形できる。ここで
c_n=b_n+[チ]n+[ツ] (n=1,2,3,…)…②
とおくと,{c_n}は,c_1=[テ],公比が[ト]の等比数列であるから,②により
b_n=[ナ]^[ニ]-[ヌ]n-[ネ] (n=1,2,3,…)
である。ただし,[ニ]については,当てはまるものを,次の(0)~(4)のうちから一つ選べ。

(0)n-2 (1)n-1 (2)n (3)n+1 (4)n+2

[解答と解説]
公差dとすると
a_2=-7/3からa_1+d=-7/3
a_5=-25/3からa_1+4d=-25/3

a_1消去が簡単そうやから辺々引いて

3d=-18/3
d=-2

だから
a_1-2=-7/3から
a_1=-1/3
よって

a_n=-1/3+(n-1)(-2)
=-2n+5/3

ここまでどっか気持ち悪いとこはありましたか?

大丈夫ですね。

等差数列の和はΣよりも
1/2×(初+末)×項数
でぱっとやってください。

これは台形の面積と同じで
1/2×(上+下)×高さ


(初+末)/2が平均の値で、それが何個あるかって言う意味の式です。

S_n=1/2×(-1/3+(-2n+5/3))n
=-n^2+2/3n


次は
Σ(k=1~n)b_k=4/3・b_n+S_n
で{b_n}を求めます。

こうやって和が入った漸化式は
a_1=S_n
a_n=S_n-S_(n-1) (n≧2)
で処理しますよね。


だからな、こういうわけですわ。

誘導されてるわけですわ。

b_1の値はn=1の値を入れて

b_1=4/3・b_1+a_1
より
b_1=-3×a_1
=1


それでさらに誘導で
b_(n+1)=Σ(k=1~n+1)b_k-Σ(k=1~n)b_k
={4/3・b_(n+1)+S_(n+1)}-{4/3・b_n+S_n}
=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n+(S_(n+1)-S_n)
=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n+a_(n+1)
=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n-2n-1/3

つまり
b_(n+1)=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n-2n-1/3
左辺にb_(n+1)持ってきて

b_(n+1)/3=4/3・b_n+2n+1/3
より
b_(n+1)=4b_n+6n+1


それで誘導なしに
b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=[セ](b_n+[チ]n+[ツ])
の形にもっていけって書いてるねんけど、

b_nを見ると係数が4やから[セ]は4のはずやし

b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=4(b_n+[チ]n+[ツ])



b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=4b_n+4[チ]n+4[ツ]

b_(n+1)=4b_n+3[チ]n+3[ツ]-[チ]

これが
b_(n+1)=4b_n+6n+1
のはずやから

3[チ]=6
3[ツ]-[チ]=1

つまり[チ]=2
[ツ]=1

です。



本当はこれは特性方程式でやるねんけどな。

例えば
a_(n+1)=2a_n+1
を解け言われたら、階差数列をとる意外にも
α=2α+1
ってやってα=-1やから

a_(n+1)-(-1)=2(a_n-(-1))

って言う解法があるやんな。
これは

α=2α+1と言う等式が成り立つすると
a_(n+1)=2a_n+1
α=2α+1
を辺々引いて

a_(n+1)-α=2(a_n-α)

って出来るけど、そういうαが本当にあるのかと言うと
α=2α+1
をただ単にといたらよくて、α=-1やったわけやな。

だから

a_(n+1)-(-1)=2(a_n-(-1))

なわけや。


でも今回は
b_(n+1)=4b_n+6n+1
と言うようにnが入ってるから

α=4α+6n+1
となるαはnによって変わるから困るねん。

そこで
b_nのことをαn+βと置き換えて

α(n+1)+β=4(αn+β)+6n+1

と言う式が全てのnで成立すれば
b_(n+1)=4b_n+6n+1
と辺々差をとって

b_(n+1)-α(n+1)-β=4(b_n-αn-β)

って出来るわけやな。


そういうα,βがあるのかと言うと
α(n+1)+β=4(αn+β)+6n+1
がnの恒等式として成立すればええわけやから係数比較して
nの係数は左辺が4,右辺が4α+6やから
α=4α+6
定数部分は同じように
α+β=4β+1

これを解いて
α=-2
β=-1

やから
b_(n+1)+2(n+1)+1=4(b_n+2n+1)

となるわけですね。


これいは誘導に乗ればええけど、定石としても覚えておいて欲しいとこやな。

言うても、根本的な数学力があるからこそセンター形式に慣れることが出来るからな。

だからc_n=b_n+2n+1とおけば

c_(n+1)=4c_n
で{c_n}は
c_1=b_1+2+1=4
公比は4の等比数列


c_n=4^nで

4^n=b_n+2n+1
だから
b_n=4^n-2n-1




センター試験の過去問の解説

さて、一通り解説しましたどっか気持ち悪いとこはなかったでしょうか?



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センター試験2012年度数学2Bの第2問の微分積分の問題の解説
誘われてから、行くレストランが本物やと言うことで

センター試験2012年度数学2Bの第2問の解説します

[問題]
座標平面上で曲線y=x^3をCとし,放物線y=x^2+px+qをDとする。
(1)曲線C上の点P(a,a^3)におけるCの接線の方程式は
y=3a^[ア]x-[イ]a^[ウ]
である。放物線Dは点Pを通り,DのPにおける接線と,CのPにおける接線が一致するとする。このとき,pとqをaを用いて表すと

p=3a^[エ]-[オ]a
q=[カキ]a^3+a^[ク]   …①
となる。

以下,p,qは①を満たすとする。

(2)放物線Dがy軸上の与えられた点Q(0,b)を通るとき
b=[ケコ]a^3+a^[サ]…②
が成り立つ。与えられたbに対して,②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために,関数
f(x)=[ケコ]x^3+x^[サ]
の増減を調べる。関数f(x)は,x=[シ]で極小値[ス]をとり,
x=[セ]/[ソ]で極大値[タ]/[チツ]をとる。

関数y=f(x)のグラフをかくことにより,[ス]<b<[タ]/[チツ]のとき,②を満たすaの値の個数は[テ]であることがわかる。

(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるのは,a=[ト],[ナ]/[ニ]の二つの場合である。
a=[ト]のときの放物線をD_1,a=[ナ]/[ニ]のときの放物線をD_2とする。D_1,D_2とx軸で囲まれた図形の面積は2^[ヌ]/3^[ネノ]である。


[解答と解説]
(1)まず微分ですね。
y=x^3を微分して
y'=3x^2
よってx=aにおける傾きは3a^2で(a,a^3)を通るわけやから接線は
y=3a^2(x-a)+a^3
=3a^2x-2a^3

次はCとDが点Pにおいて共通接線を持つか。

これは直線は傾きと一つとの通る点を決めれば、決まるから

点Pにおける接線の傾きが等しいと言うことから
(x^2+px+q)'=2x+p
より
3a^2=2a+p

また点Pを通るから

a^3=a^2+pa+q

この二つでええねん。

これをまとめて
p=3a^2-2a

q=a^3-a^2-pa
=a^3-a^2-3a^3+2a^2
=-2a^3+a^2

以下これを満たすらしいな。
こういうのが忘れそうで、センター特有の難しさやな。

(2)
Dが(0,b)を通るからy=x^2+px+qに代入して
b=q
=-2a^3+a^2

それでとりあえず
f(x)=-2x^3+x^2
を考えるらしい。

ようわからんままにやっていくのがコツやねん。

微分して
f'(x)=-6x^2+2x
=-6x(x-1/3)

だからx=0で極小値0をとり
x=1/3で極大値1/27

こんなん増減とか考えずに解答欄の形からこれしか入らんから、入れるねん。


なんでも入れられるときに入れとかな、後から後悔するわけや。

いやいや、そういう意味じゃないよ。

お賽銭とかの話や。


それでy=f(x)のグラフをかくことで、あれやろな。
定数分離のことやろな。

cen20122b21.jpg

y=f(a)のグラフを書いて、y=bと交わる個数でaの値の個数がわかるから
ちょうど極大と極小の間やな。

だから3個ですわ。

(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるってことは
x^2+px+q=0
の判別式が0ってことやな。
p^2-4q=0
(3a^2-2a)^2-4(-2a^3+a^2)=0
9a^4-4a^3=0
a^3(9a-4)=0
だから
a=0,4/9


cen20122b22m.jpg

a=0の時の放物線をD_1,a=4/9の時の放物線をD_2とするってことは、

x^2の係数は1で,軸はx=-p/2やから、この部分だけ計算して

a=0ではp=0よりx=0でD_1はx軸に接すると、 a=4/9でp=-8/27よりx=-4/27でD_2はx軸に接するやから

y=x^2とy=(x-4/27)^2で交点は、中点の2/27

対称性から左側の2倍すればええから

2∫(0,2/27)x^2dx=[2x^3/3](0,2/27)
=2・2^3/(3^9・3)
=2^4/3^10


こうやって、早く正確に解けるにしていくわけやな。

解けるけど、時間が足りないと言ってると

q=-2a^3+a^2
にもaの値を代入してp,qを求めてから
y=x^2+px+q
に入れてまともに積分やってたら、それは解けるのレベルがやっぱ低いねん。


だから解けるつもりでも、繰り返したり、解答例を覚えて吸収していかなあかん。

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京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
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