受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

京都大学理系文系共通第2問の立体図形の問題の解説
さあて、まさるの運動会を見に行くか

それでは京都大学2012年度理系文系共通第二問の空間図形の問題を解説します。

[問題]
kyoudai201221.jpg

正四面体OABCにおいて点P,Q,Rをそれぞれ辺OA,OB,OC上にとる。ただしP,Q,Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば,3辺PQ,QR,RPはそれぞ3辺AB,BC,CAに平行であることを証明せよ。


[解答と解説]
これはぶーわーベクトルで立てていったら出来るんちゃうん!

kyoudai201222.jpg

って1つ1つ条件を式にあらわしていくと

・P,Q,RはOA,OB,OC上より
OP→=kOA→,OQ→=lOB→,OR→=mOC→

これでええねんけど、あんまり一般的にやりすぎようとすると

kyoudai201223.jpg

吐血する可能性もあります。


と言うのはこの条件は実は

kyoudai201224.jpg

なんか、ぶーわー書いてますが

OP→,OQ→,OR→がなす角がそれぞ60°って言うのが本質なわけです。

OA→,OB→,OC→を基本ベクトルにとると言うことは

OA,OB,OCを座標軸にとってると言うことやから、なす角度がコアになるわけやな。


なす角度を考えることで、四面体である空間的な情報はある程度使えてるしな。


つまりなす角度が60°であることが空間ベクトルの仕事なので、

それがわかれば別に余弦定理とかで簡単に出来てまいます。


こういうとこが解答を見ると簡単に見えても

やってみると意外に出来ないと言う京大らしいとこやな。



△PQRが正三角形であることは長さが等しいで大丈夫やな。

kyoudai201225.jpg

なす角度が60°であれば良いから

OP→=p→
OQ→=q→
OR→=r→
とおいて
|p→|=p
|q→|=q
|r→|=r
とおいて

p→・q→=pqcos60=pq/2
q→・r→=qrcos60=qr/2
r→・p→=rpcos60=rp/2

の情報でいけます。

△PQRは正三角形だから
PQ=QR=RPより

|q-p|^2=|r-p|^2=|p-r|^2
整理して
|q-p|^2=|r-p|^2

q^2-pq+p^2=r^2-rq+q^2

|r-p|^2=|p-r|^2

r^2-rq+r^2=p^2-rp+r^2

ここまでくると因数分解やな
q^2-pq+p^2=r^2-rq+q^2
は次数が低い文字で整理が有利なのでqで整理したら余裕でできます

(p-r)q+r^2-p^2=9
より
(p-r)(p+r-q)=0…①

同様に
r^2-rq+r^2=p^2-rp+r^2

(q-p)(q+p-r)=0…②

p=q=rを言えば全部正三角形になって良さそうなので

p+r-q=0とかを否定したらオッケーですね。

kyoudai201226.jpg

p+r=qとすると
②からq=pの時は
p+r=p⇔r=0
となって不敵
q+p=rの時も
2p+r=r⇔p=0
となり不敵です

よってp+r≠qで

同様にq+p≠rと言えます。

よって

p=r,q=pからp=q=rですね。


これで△OPQと△OQRと△ORPは正三角形になって
∠OPQ=∠OAB=60°
∠OQB=∠OBA=60°
よりPQ//ABです。
同様にしてQR//BC,PR//AC


京都大学の入試の数学の過去問の解説

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京都大学2012年度理系第1問、極限と積分の小問題の解説
もう言うてもオペラ歌手が泣く季節になってんな。


京都大学2012年度理系第一問の解説いきます

[問題]
kyoudai201211.jpg

(1)aが正の実数のとき,lim(n→∞)(1+a^n)^(1/n)を求めよ
(2)定積分∫(1,√3)(1/x^2)log(√(1+x^2))dxの値を求めよ



[解答と解説]
(1+1/n)^n→eのネタかな?と思わせといて

よく見ると結構違うと言う簡単なのに意外にやりにくいのが京大っぽさです。


a^nの極限がaの値によって違うから、まずこれで場合分けっぽいな

kyoudai201212.jpg

r^nの扱いは
|r|>1
|r|<1
r=1
r=-1
で分けて考えましたね。

aは正なので
0<a<1
a=1
1<a
で分けて考えれば良さそうです。


よく修学旅行のお風呂で

大きさによって

参りました!

とかその人の扱いがかわったりしてたやろ。


もちろん、背の大きさとかの話な。


a>1のときは

kyoudai201213.jpg

これは大きいから1+a^nが言うてもほとんどa^nみたいなもんやねん。

それを表現するには

1+a^n=((1+a^n)/a^n)a^n

とやれば
(1+a^n)/a^n→1
やから
a^nに置き換えられたみたいになります。



0<a≦1のときは収束するけど

一つちょっと気になるのが

kyoudai201214.jpg

a_n→α
b_n→β

だからと言って

a_n^(b_n)→α^β

と言ってしまっていいのかどうかです。


和a_n+b_n→α+β
差a_n-b_n→α-β
積a_n・b_n→αβ
商a_n/b_n→α/β

とかはさすがに認められてると思うねんけど
指数の演算については微妙かもしれません。


そこれで対数関数や指数関数の連続性から

kyoudai201215.jpg

log(a_n)^b_n=b_nlog(a_n)
→βlogα=logα^β
より
a_n^(b_n)→α^β

とやっておけば安全です。

対数関数や指数関数の連続性よりとか言うと、正確すぎるような気もするけどな。


と言うことで解答は簡単です。

見といてください

kyoudai201216.jpg

0<a<1ではa^n→0、1/n→0で1^0=1に近づくから
これを対数で計算

a=1では2^1/n→2^0=1

1<aでは
(1+a^n)^(1/n)=((1+a^n)/a^n)^(1/n)a
→a
で対数で計算ですね。



しかしa^nや1/nは極限をとるのが指数のとこなので

定数倍や和ぐらいでは影響はないのを生かせば

もっと簡単で議論のやばさもなくて

kyoudai201217.jpg

1<1+a^n≦1+1=2

1^(1/n)<(1+a^n)^(1/n)≦2^(1/n)
とやれば挟み撃ちで
極限1になります。

kyoudai201218.jpg

1<aのときも
a^n<1+a^n<a^n+a^n=2a^n
より
a<(1+a^n)^(1/n)<2^(1/n)a
で極限aになります



(2)
logが入ってるので

kyoudai201219.jpg

∫log(x)dx

を思い出すと
1×log(x)
と考えて部分積分で
1を積分
log(x)を微分しました。

こういうときはとりあえず似たような積分を考えて

同じように出来ないかと考えてみるのが一つの考え方です。

kyoudai201220.jpg

普通にできます

1/(1+x^2)の積分はもうtanに置換して

角度のところが飛び出すなと感じるように練習しといてください


角度のところが飛び出すと言うことはtanの逆関数arctanになるねんけど

そういうネタもたまに出たりするとこやしな。


京都大学の入試の数学の過去問の解説





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東京大学2012年度文系第4問、二次関数の積分の問題の解説
もうちょっと成績あげるにはお兄ちゃんが守ったるからなの精神が必要やろな。


それでは東京大学2012年度文系の第4問の解説を書きます


[問題]
toudai2012bu41.jpg

座標平面上の放物線Cをy=x^2+1で定める。s,tは実数としt<0を満たすとする。点(s,t)から放物線Cへ引いた接線をl_1,l_2とする。

(1)l_1,l_2の方程式を求めよ。
(2)aを正の実数とする。放物線Cと直線l_1,l_2で囲まれる領域の面積がaとなる(s,t)を全て求めよ。


[解答と解説]
これは放物線と二つの接線で囲まれた部分の面積の問題やな。
toudai2012bu42.jpg


接線の交点は二つの接点の中点になってて

面積は二次関数の2次の係数をaとすると

|a|(β-α)^3/12

ってやつですね。


まずこの証明の流れはパっと出るようになってるかと言うところですね。


一般的にy=ax^2+bx+c(=f(x))(a>0)でP(p,q)から2接線を引引いてやってみますか

中点であることは微分して

y'=2ax+b

で接点をA(α,(α)),B(β,f(β))として

l_A:y=(2aα+b)(x-α)+aα^2+bα+c
l_B:y=(2aβ+b)(x-β)+aβ^2+bβ+c

ってやってy消去してもええねんけど

スマートにやるには

toudai2012bu43.jpg

接点のx座標の方程式を作ってその解がα,βである

と言えばええねん。

だからT(t,f(t))における接線を考えて

y=(2at+b)(x-t)+at^2+bt+c

これがP(p,q)を通るとすると

q=(2at+b)(p-t)+at^2+bt+c

tで整理して

at^2-2apt-bp-c+q=0

この解がt=α,βより解と係数の関係から
α+β=2p
つまり
p=(α+β)/2
で中点とわかります。


さらには面積も直線の方程式は求めず

二次関数の2次の係数と直線との接点がわかっていれば

f(t)-l_A=a(x-α)^2

ってわかるから

toudai2012bu44.jpg

∫(α,(α+β)/2){f(x)-l_A(x)}dx+∫((α+β)/2,β){f(x)-l_B(x)}dx

=∫(α,(α+β)/2)a(x-α)^2dx+∫((α+β)/2,β)(x-α)^2dx
=[a(x-α)^3/3](α,(α+β)/2)+[a(x-β)^3/3](α+β)/2,β)
=1/3×1/8×(β-α)^3+1/3×1/8×(β-α)^3
=(β-α)^3/12


ってすらすらとやれば


すごい…

今のどうやったの?

って聞かれることになります。


そしたらもうこっちのもんです。

あなたもテクニシャンになってください。



これを身につければ、接線と放物線に囲まれる面積の計算の仕方に強くなるしな。


と言うことで解答に入っていこか。

(1)
toudai2012bu45.jpg

y'=2x
C上の点P(p,p^2+1)における接線
y=2p(x-p)+p^2+1
を考えてこれが(s,t)を通ると

t=2ps-p^2+1

p^2-2sp+t-1

これで解を求めて代入したら完成ですね。


ここで間違えたら、たぶんイチジクの刑やろな。


(2)
toudai2012bu46.jpg

α=s-√(s^2-t+1)
β=s+√(s^2-t+1)

とおいて
s=(α+β)/2

と言うように中点とやってしまって、一気に(β-α)^3/12の式にもっていきましょう


それで

a=(2√(s^2-t+1))^3/12

やから

s^2-t+1=(9a^2/4)^(1/3)

や!

って答えると


半月後

toudai2012bu47.jpg

いつものように何も変わらない日々が続くことになります。


もうウツですね。


言うても東大の問題やからな。

これで終わるわけがない

聞き方に注意してください、



『s,tを領域の面積がaであらわせ。』

じゃなくて

『領域の面積がaとなる(s,t)を全て求めよ。』

ですよ。


こういう意味わからん言い方してくるのが東大やねん。

toudai2012bu48.jpg

これはな書いてるようにaの値によっては(s,t)がなかったりするねん。


だからaの値によって場合分けして

具体的に(s,t)はどういうものか書いていけばええねん。


この問題の意味のわからなさは過去問自体で勉強します



それではどうやtt整理したらええかと言うと
t<0
やけどtはsによってあらわされるので、

sを独立変数にしてtをその従属変数(t=g(s)みたいな)に整理していけばわかりやすいです。

toudai2012bu49.jpg

t<0
s^2-t+1=((9/4)a^2))^(1/3)


t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)<0

t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
-((9/4)a^2))^(1/3)+1<s<((9/4)a^2))^(1/3)-1

とやっとけばわかりやすいな。


そしたらtはsによって勝手に決まるからsだけ考えたらええねん。

すると

((9/4)a^2))^(1/3)-1=0となるaは2/3で

aがこれ以下やとsの範囲はないし

aが3/2より大きいときはsの範囲はあるから

t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
-((9/4)a^2))^(1/3)+1<s<((9/4)a^2))^(1/3)-1

って答えといたらオッケーです。


東京大学の入試の数学の過去問の解説





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東京で数学と物理の講師やってます

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