受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A2013年度平面幾何の問題の解説
はぁはぁ

はぅあ!

落ち着いてきたところでセンター試験2013年度数学1Aの第三問の平面幾何の解説をしよか


[問題]

点Oを中心とする半径3の円Oと,点Oを通り,点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA,Bとする。また,円Oの周上に,点Bと異なる点Cを,弦ACが点Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき
AP=√[アイ],OD=[ウ](√[エオ])/[カ]
である。さらに,cos∠OAD=[キ]/[ク]であり,AC=[ケコ]/[サ]である。
△ABCの面積は[シスセ]/[ソタ]であり,△ABCの内接円の半径は[チ]/[ツ]である。

(1)円Oの周上に,点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。△ABCの内接円の中心をQとし,△CEAの内接円の中心をRとする。このとき,QR=[テト]/[ナ]である。したがって,内接円Qと内接円Rは[ニ]。
[ニ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)内接する
(1)異なる2点で交わる
(2)外接する
(3)共有店を持たない

(2)AQ=[ヌ](√[ネノ])/[ハ]であるから,PQ=(√[ヒフ])/[ヘ]となる。
したがって,[ホ]。
[ホ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)点Pは内接円Qの周上にある。
(1)点Qは円Pの周上にある
(2)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの内部にある
(3)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの外部にある。


[解答と解説]

解説いっとこか!

まず図を書いてみなあかんな

center20131a31.jpg

そしたら接すると言うことは円の中心と接線を結んだ線分と垂直になっていてまずそれを書くのが第一やな。

するとAPは三平方の定理で半径から
AP=√(1^2+3^1)
とわかるねん。

それで円の外の点から二接線を引いてたら、△AOP≡△ADPやったやんな

center20131a32.jpg

なんか変な生物がいますが敢えて気づかずに

APとODの交点をHとするとODの長さを求めるにはOHを求めれば2倍すればいいことがわかります。

そこで直角三角形APOに対して
sin∠PAO=PO/AP=1/√10
より
OD=2OH
=2AOsin∠PAO
=3(√10)/5
とわかります。

二等辺三角形が出ると頂角から垂線引いて直角三角形二つ作って

こうやって解くのはよくあるとこやな


cos∠OADは△OADに注目すれば余弦定理で出て
(AD^2+AO^2-OD^2)/2AD・AO
=4/5
とわかります


すると今度はACです。
センター試験やから前の問が誘導になってるから、それを元に考えなあかん

4/5やろ
しかもABは直径より∠ACB=90°やろ

4/5で直角…

center20131a33.jpg

そらもう3:4:5の直角三角形やろ

と言うことで

AC=AB×4/5
=24/5

△ABCの面積はBCの長さも求めておいたらいいから
BC=AB×3/5
=18/5

よって△OAB=1/2・AC・BC
=216/25

やな!

内接円の半径は他にもやり方あるけど面積あるから、
S=(a+b+c)/2でええやろ

216/25=r/2・(6+24/5+18/5)
r=6/5

でやっと(1)がはじまります。

(1)

センター試験の平面幾何はそのまま図を書いていくと、真っ黒になってまうやろ。
こんなもじゃもじゃでは見えんやろ。


と言うことで、新たに関係するものだけ書いた図を別に書いていくと見やすくなることが多いです。

今度は内接円やから、円Pは書かへんねん。

center20131a34.jpg

直角三角形で内接円やから、中心と接点を結ぶと辺と垂直になっていて直角のところで正方形が出来たやんな。
これをたぶん使うんやろな。

しかももう一つの直角三角形とは斜辺になる直径は同じ長さやし、ACは共通やから合同ですよね。
すると書いていくと正方形を書いてRQを引くと長方形になってますやん。

だから
QR=AC-2r
=24/5-12/4
=12/5
ってわかるねん。

それで内接円Qと内接円Rのことを聞いてるけど、半径を求めさせられいて、QRを求めさせれたわけやんな。

と言うことは半径と中心間の距離を求めされたわけやから、二円の関係ってことやな!

center20131a35.jpg

二円の関係は
和r1+r2=dが外接
差|r1-r2|=dが内接
さえ覚えいていれば他はわかると思うねんけど

和と差と中心間の距離を調べたらええねん

でも和が12/5+12/5=24/5=QRでもう外接やな

まあ図では離れてるねんけど、計算してみた結果わかると思ってくれたらええわ



(2)
今度はAQはAQについては円QとACとの交点をIとおくと直角三角形AIQから
AI=QR+r=2r+r=3rやって
三平方の定理から
AQ=√((3r)^2+r^2)
=(√10)r
=(6√10)/5

やな

ここでPが出てきたから、今度は円Rを書かずに円Pと円Qだけ書いたのを別に書くとみやすいねん。
center20131a36.jpg

ほら、そうしたら見やすいやろ
こんなに見えてしまったら、恥かしいくらいやな。

すると、どっちもACとADに接してるから二等分線上にあるねん。

更にAQをさっき求めされたから
PQ=AQ-AP
=(6√10)/5-√10
=(√10)/5
とわかるわけやな!

そしたら最後!!

選択肢を見ると点Pが円Qに入るかとか点Qが円Pに入るかとか聞いてるな。

これは難しいわけではないねんけど、あまり問われなかったかもしれん。

これはな、半径rの円って言うのは中心からの距離がrのところにある円やねん。

つまりこれより距離が近い点は内側やし、遠い点は外側なわけやねん。

この円をそういう領域と考えるわけやな。


center20131a37.jpg

そしたら円Pと点Qを考えると
円Pは半径1です。
つまり点Pからの距離が1以内の領域です。

点Qは点Pからどれくらいの距離のところにあるのかと言うと
PQ=(√10)/5
やったわけやな

これは1より小さいやんな

と言うことは領域ないやねん。

つまり点Qは円Pの内部にあるわけや


今度は見方をかえて円Qと点Pを考えると
円Qは半径6/5
つまり点Qからの距離が6/5以内の領域やな

点Pは点Qからの距離が(√10)/5やったから

これはそら6/5より小さい

と言うことは点Pは円Qに含まれるって言うことや!


センター試験の過去問の解説






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センター試験2013年度数学1Aの第2問、二次関数の問題の解説
ゲロ吐いて死にそうやけどセンター試験数学1Aの二次関数の問題の解説いっとこか


第2問
座標平面上にある点Pは,点A(-8,8)から出発して,直線y=-x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また,同じ座標平面上にある点Qは,点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して,直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのはt=[ア]のときである。以下,0<t<[ア]で考える。

(1)点Pとx座標が等しいx軸上の点をP',点Qとx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'の面積の和Sをtで表せば
S=[イ]t^2-[ウエ]t+[オカ]
となる。これより0<t<[ア]においては,t=[キ]/[ク]でSは最小値[ケコサ]/[シ]をとる

次に,aを0<a<[ア]-1を満たす定数とする。以下,a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。

(i)Sがt=[キ]/[ク]で最小となるようなaの値の範囲は
[ス]/[セ]≦a≦[ソ]/[タ]である。

(ii)Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は0<a≦[チ]/[ツテ]である。

(2)3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのは,t=[ト]/[ナ]のときであり,x軸方向に[ニヌ]/[ネ],y軸方向に[ノハヒ]/[フ]だけ平行移動すればよい。


[解答と解説]
速さとかの問題です

斜面を点Pが
ツー…
ってゆっくり擦っていくのはわかると思います。

でもこれは単に媒介変数のこと時間と言ってるだけでいつもと同じ媒介変数が入ってるだけの問題やねん


つまり点Pのx座標は媒介変数tを使って
x=-8+2t
点Qのx座標は
x=t
とあらわされると言うことやな

しかもこれで
Pはy=-x上より(-8+2t,8-2t)
Qはy=10x上より(t,10t)
と座標があらわせるな

PがOに到達するのは
-8+2t=0でt=4です!


(1)P'はPとx座標が等しいx軸上の点より(-8+2t,0)
Q'はQとx座標が等しいx軸上の点より(t,0)

すると0<t<4でP'がx軸上の負の部分にあることに注意して
△OPP'は
底辺=OP'
=|Pのx座標|
=-(-8+2t)
=8-2t

高さはPのy座標より
8-2t
よって
△OPP'=1/2・(8-2t)^2
=2t^2-16t+32

同じように
△OQQ'は
底辺=OQ'
=|Qのx座標|
=t

高さはQのy座標より
10t
で△OQQ'=1/2・10t^2
=5t^2

よって
S=2t^2-16t+32+5t^2
=7t^2-16t+32

最小値は平方完成して

S=7(t-8/7)^2+32-64/7
=7(t-8/7)^2+160/7

でt=8/7の時に160/7ってわかるな!


そしたら今度は
aが0<a<3を満たす定数で
a≦t≦a+1におけるSの最大最小やな

(i)Sがt=8/7で最小となるようなaの値の範囲ってことは
とにかくはt=8/7が範囲に入ってることやな
だから
a≦t≦a+1の中に注入して
a≦8/7≦a+1を解けばよいねん
よって
a≦8/7
と8/7≦a+1⇔1/7≦a
まとめて
1/7≦a≦8/7

(ii)Sがt=aで最大となるようなaの範囲か

最大になのは端点です
つまりt=aかt=a+1です

それでどっちが大きいのかと言うと、軸からより離れてる方でした

それを調べるには定義域の中点と軸の関係でしたよね

だからt=aで最大になるには軸が反対の右のt=a+1の方によっていればいいので

定義域の中点≦軸

{a+(a+1)}/2≦8/7
2a+1≦18/7
a≦11/14

(2)3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのは
を解けって言うわけか


O(0,0)
P(-8+2t,8-2t)
Q(t,10t)

y=2x^2のグラフの平行移動ってことはx^2の係数が等しいな
しかも原点通るから
y=2x^2+ax
やな

P(-8+2t,8-2t)を代入して
8-2t=2(-8+2t)^2+a(-8+2t)
これを展開するんじゃなくて、落ち着いてみると8-2t≠0で割れるから
1=2(8-2t)-a

a+4t=15

Q(t,10t)を代入して
10t=2t^2+at
これも整理する前に、t≠0で割って
10=2t+a

センターはなんかこういう感じの処理が多いな。


これでa消去して

2t+10=15
t=5/2
でおぅけい~!!!

また
a=10-2t
=5


だから
y=2x^2+5x
=2(x+5/4)^2-25/8

頂点(-5/4,-25/8)
よって
頂点(0,0)を

x軸方向に-4/5
y軸方向に-25/8

だけ平行移動すればよいって言うわけやな!!


センター試験の過去問の解説






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センター試験2013年度数学1Aの第1問、数と式と命題の問題の解説
そしたらTST外してセンター試験2013年度の数学1Aの第1問の解説いっとこか


第1問
[1]A=1/(1+√3+√6),B=1/(1-√3+√6)とする。
このとき
AB=1/((1+√6)^2-[ア])=(√6-[イ])/[ウ]
であり,また
1/A+1/B=[エ]+[オ]√6
である。以上により
A+B=([カ]-√6)/[キ]
となる。

[2]三角形に関する条件p.q.rを次のように定める。
p:三つの内角がすべて異なる
q:直角三角形でない
r:45°の内角は一つもない
条件pの否定をp~で表し,同様にq~,r~はそれぞれ条件q,rの否定を表すものとする。

(1)命題[r⇒(pまたはq)]の対偶は「[ク]⇒r~」である。
[ク]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。
(0) (pかつq)
(1) (p~かつq~)
(2) (p~またはq)
(3) (p~またはq~)

(2)次の(0)~(4)のうち,命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例となっている三角形は[ケ]と[コ]である。
[ケ]と[コ]に当てはまるものを,(0)~(4)のうちから一つずつ選べ。ただし,[ケ]と[コ]の解答の順序は問わない。
(0)直角二等辺三角形
(1)内角が30°,45°,105°の三角形
(2)正三角形
(3)三辺の長さが3,4,5の三角形
(4)頂角が45°の二等辺三角形

(3)rは(pまたはq)であるための[サ]。
[サ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。
(0)必要十分条件である
(1)必要条件であるが,十分条件ではない
(2)十分条件であるが,必要条件ではない
(3)必要条件でも十分条件でもない


[解答と解説]

[1]
まず最初は誘導がわかりやすくなっていて分母は
{(1+√6)+√3}{(1+√6)-√3}
=(1+√6)^2-√3^2
で計算しろって言うことやな

それで
1/{(1+√6)^2-3}
=1/(1+2√6+6-3)
=1/{2(2+√6)}
これで
(2+√6)(2-√6)=4-6=-2
より2-√6を分母分子にかけて
(2-√6)/{2(-2)}
=(√6-2)/4

1/A+1/B=1+√3+√6+1-√3+√6
=2+2√6

これは簡単やな


AB=(√6-2)/4
1/A+1/B=2+2√6

やから対称式をいかせって言うことなんやろな

と言うことで
1/A+1/B=(A+B)/(AB)
より
A+B=AB(1/A+1/B)
=(2+2√6)(√6-2)/4
=(4-√6)/2

[2]
条件は
p:三つの内角がすべて異なる
q:直角三角形でない
r:45°の内角は一つもない
やな

(1)「r⇒(pまたはq)」の対偶は「[ク]⇒r~」

これは対偶の使い方なだけでp,q,rの中の人は関係ないようやな

A⇒Bの対偶はB~⇒A~やから
(pまたはq)の否定をかけばええねん
だから
(pまたはq)~⇔p~かつq~
よって番号は(1)やな!

(2)「(pまたはq)⇒r」に対する反例となっている三角形は[ケ]と[コ]である。

これは反例って書いてるから、偽であることが最初からわかってるわけやな

と言うことで
(0)直角二等辺三角形
(1)内角が30°,45°,105°の三角形
(2)正三角形
(3)三辺の長さが3,4,5の三角形
(4)頂角が45°の二等辺三角形

頂角が45°の二等辺三角形って言うのは残りの二つが両方67.5°って言うことな
頂角は三角木馬の角度のとんがり具合やと思ってくれたらええわ。


これを見て

まずpまたはqつまり
三つの内角がすべて異なる
または
直角三角形でない

に当てはまるのは否定の方を考えると早いかもな

三つの内角が少なくとも二つ同じ
かつ
直角三角形

つまりは直角二等辺三角形の(0)

だから(1)(2)(3)(4)を考えればいいねん

そのうちr:45°の内角は一つもないを満たさないのは

(1)内角が30°,45°,105°の三角形
(4)頂角が45°の二等辺三角形
ってすぐにわかるな


(3)rは(pまたはq)であるための[サ]。

センターの問題はだいたいあれやねん。

前の問題が誘導やねん
だから考える前に前の問題を見て先入観を持った方がええねん。

(1)から

r⇒(pまたはq)
の対偶を求めされられてるってことは、これが真か偽かは対偶考えた方がわかりやすいってことやねん。

p~かつq~⇒r~

さっきやったようにp~かつq~は直角二等辺三角形のことやから

直角二等辺三角形⇒45°の角度を持つ

これが正しいのかどうかと言うのは正し過ぎる命題やな

つまり真

更に(2)から
(pまたはq)⇒r
はそもそも反例を求めろ書いてるから偽やねん

つまり
この
rは(pまたはq)であるための[サ]。
と言う文章の主語はrより

主語⇒
が真で
⇒主語
が偽より

十分だが必要でないの(2)!!

と言うわけやな!


必要とか十分の話については
センター試験数学1A、2011年度の第1問…数と式、集合と論理の問題の解説
ここの必要十分のところを参照してくれ


センター試験の過去問の解説






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東京で数学と物理の講師やってます

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