受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A2013年度確率の問題の解説
今回はウェルカムハーニーに行きたいと思います

センター試験2013年度数学1A第4問の確率の問題の解説です

[問題]
(1)1から4までの数字を,重複を許して並べてできる4桁の自然数は,全部で[アイウ]個ある。
(2) (1)の[アイウ]個の自然数のうちで,1から4までの数字を重複なく使ってできるのものは[エオ]個ある。
(3) (1)の[アイウ]個の自然数のうちで,1331のように,異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。
(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は[カ]通りある。
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を,一・十・百・千の位のうち,どの2箇所に置くかを決める。置く2箇所の決め方は[キ]通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると,大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。
(iii) (i)と(ii)より,求める個数は[クケ]個である。
(4) (1)の[アイウ]個の自然数を,それぞれ別々のカードに書く。できた[アイウ]枚のカードから1枚引き,それに書かれた数の四つの数字に応じて,得点を次のように定める。

・四つとも同じ数字のとき          9点
・2回現れる数字が二つあるとき     3点
・3回現れる数字が一つと,
1回だけ現れる数字が一つあるとき   2点
・2回現れる数字が一つと,
1回だけ現れる数字が二つあるとき   1点
・数字の重複がないとき            0点

(i)得点が9点となる確率は[コ]/[サシ],得点が3点となる確率は[ス]/[セソ]である。
(ii)得点が2点となる確率は[タ]/[チツ],得点が1点となる確率は[テ]/[トナ]である。
(iii)得点の期待値は[ニ]/[ヌ]点である。

[解答と解説]

(1)これは重複順列やな
千の位は1~4の4通り
そのそれぞれに対して
百の位は1~4の4通り
そのそれぞれに対して
十の位は1~4の4通り
そのそれぞれに対して
一の位は1~4の4通り
やから4×4×4×4=256
ですね


(2)数字を重複なくってことやから、1つずつ使ってことやな
千の位は1,2,3,4の4通りで
1に対しては
十の位は2,3,4の3通り
更に12に対して
一の位は3,4の2通り
で123とこれば残りは4の1通り
よって
4!=24
やな

(3)これはよく確率を求めるときに無意識にやってることやけど
組み合わせ→並べる
と言うようにこの操作を意識的に別々にやるねん

やることをシンプルに簡単にしていくのが戦略やからな


まさにそれを誘導してくれてると言う勉強にも良い問題です

(i)まずは数字の組み合わせだけを求めるねん
4つの数字から2つ選ぶだけやから
4C2=6やな

(ii)次に千,百,十,一の桁のところに並べることfだけ考えるねん

全部○○××の形やから同じが二つずつある並べ方やから
4!/(2!2!)=6


(iii)これで6×6=36やな


(4) の[アイウ]個の自然数を,それぞれ別々のカードに書く。できた[アイウ]枚のカードから1枚引き,それに書かれた数の四つの数字に応じて…

この文章から256個ある出来る整数は同様に確からしいってことを言いたいねんな

だから何通りあるかを数えたら確率になるねん


(i)得点が9はさすがに四つとも同じなのは全部1,2,3,4の4通りで
4/256=1/64
3点は2回現れる数字が二つってことはさっき(3)で求めたやつやから
36/256=9/64

(ii)2点になるのは○○○×のように出る感じやな
それでさっきの(3)の誘導の真似をしたらええねん

まず数字の組み合わせだけ求める
4つの数字が二つ選んで4C2=6
これで例えば1,2と選ぶと1,1,1,2と1,2,2,2の二つあるから
4C2×2=12通り

次に並べて同じのが三つある並べ方やから
4!/3!=4

よって12×4=48
だから
48/256=3/16

1点については
センターでは求めやすいのから求めさせて最後は余事象で求めさせるパターンばかりなので余事象なような気もします

周りから責めて焦らしていくねん

そしたら、簡単にいくことも多いわけや


でも0点はまだです

だがしかし重複がないのは(2)で求めています
だから
0点は
24/256=3/32

と簡単にわかるから

1点は
1-1/64-9/64-3/16-3/32
=9/16


だから期待値は
9×1/64+3×9/64+2×3/16+1×9/16
=96/64
=3/2


センター試験の過去問の解説






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