受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面図形の問題、東京大学文系2008年度第3問
ワリカンで数学の問題集買ったら後からややこしいことになるな。
と言うことで東大文系の2008年度第三問いきます。

[問題]
081229_m1.jpg
座標平面上の3点A(1,0),B(-1,0),C(0,-1)に対し
∠APC=∠BPC
をみたす点Pの軌跡を求めよ。
ただしP≠A,B,Cとする。


[解答と解説]
この問題は中学生的にもやれるし、数式にとらわれてぶーわーわけわからん式になるとこは中学生的な幾何で考えてから式を立てる上手くいくことがありますが、たぶんこの問題は計算ばりばりでやった方が簡単なのはではないかと思います。

まず∠APC=∠BPCの条件は時計回りと反時計回りどっちを考えるかで180°以下か180°以上になりますが180°以下だけ考えても大丈夫です。

だからcos∠APC=cos∠BPC
だけ考えればオッケーです。

その辺は特に断らなくても大丈夫だと思います。

081229_m2.jpg
P(x,y)と置いて(x,y)≠(1,0),(-1,0),(0,-1)

cos∠APC=cos∠BPC
は余弦定理か
cosθ=(→a・→b)/(|→a||→b|)
と言うようにベクトルの内積が使えます。

どっちがいいかはわかりませんが、座標を置いたのでベクトルでやります。


→PA=(1-x,-y)
→PB=(-1-x,-1)
→PC=(-x,-1-y)

cos∠APC=cos∠BPC

(→PA・→PC)/(|→PA||→PC|)=(→PB・→PC)/(|→PB||→PC|)

|→PC|が両辺共通だから払えて
→PA・→PC=x^2-x+y^2+y
→PB・→PC=x^2+x+y^2+y
|→PA|=√((1-x)^2+y^2)
|→PB|=√((1+x)^2+y^2)
だから

(x^2-x+y^2+y)/√((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)/√((1+x)^2+y^2)

これは√があるから2乗しなければなりません。
しかしこういう無理方程式で注意して欲しいのが
a=b

a^2=b^2
ですが
a^2=b^2

a=b
は成り立たないことです。

a^2=b^2でab≧0(←つまりaとbが同符号)
ならa=bと同値になります。

例えば
√(2x^2-1)=x
なら
両辺2乗して
2x^2-1=x^2

x^2=1だからx=±1としたら間違いです。

左辺の√(2x^2-1)にx=-1を代入したら1ですが
右辺はx=-1なので矛盾します。

だから
√(2x^2-1)=x

2x^2-1=x^2,x≧0

無理方程式は√は0以上なのでこういう右辺のxがx≧0とかを忘れないでください。

だから

(x^2-x+y^2+y)/√((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)/√((1+x)^2+y^2)

(x^2-x+y^2+y)^2/((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)^2/((1+x)^2+y^2),(x^2-x+y^2+y)(x^2+x+y^2+y)≧0
です。

081229_m3.jpg
まずは
(x^2-x+y^2+y)^2/((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)^2/((1+x)^2+y^2)
を整理したいですが、これはむやみぶーわー展開しないでください。

こういうややこしい式は大きな塊で見ると実はそんなにややこしい式ではありません。
A=x^2+y^2+y
Bx^2+y^2+1
とおけば
(A-x)^2/(B-2x)=(A+x)^2/(B+2x)
になります。
これなら簡単ですね。
これを整理すると
x{A(A-B)+x^2}=0
でAとBを元に戻して整理して
xy(x^2+y^2-1)=0
です。

この式だけでは、軌跡は
x=0のy軸
y=0のx軸
x^2+y^2=1の単位円
になります。

これに(x^2-x+y^2+y)(x^2+x+y^2+y)≧0の範囲になるものを選びます。

これはたぶん数学2とかでよくやったと思いますが、それぞれ円の式なので

((x-1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)≧0

これは
二つの円
(x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2と
(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2
の両方の円の内側か、両方の円の外側をあらわしていて境界を含みます。


最後に作図します。
081229_m4.jpg
(x,y)≠(1,0),(-1,0),(0,-1)を忘れないでください。
作図してみると
y=0(x<-1,1<x)
x=0(y≠-1)
x^2+y^2=1(y>0)
です。

ちょっと軌跡がx軸やy軸とかぶるので作図が書きにくいですが。


こうやって一応、使う知識としてはそれぞれ簡単ですがしかし実際解くのは難しいという東大らしい問題でした。
いくら文科一類は理系より数学出来るけど行く人がいるとは言え文系でこれやからな。

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