受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ベクトルの問題、センター試験2008年度数学2Bの第4問
歯車が狂った僕…
またおっさんがなんか言うてるな。

センター試験2008年度数学2の第4問ベクトルの問題です。

[問題]
四面体OABCにおいて、OA=OB=BC=√2,OC=CA=AB=√3である。
a→=OA→,b→=OB→,c→=OC→とおく。

(1)|a→-b→|^2=(ア)であり、a→・b→=(イ)/(ウ)である。

また,b→・c→=(エ)/(オ),c→・a→=(カ)である。


(2)直線AB上の点PをCP→・a→=0であるようにとると

CP→=(キ)/(ク)a→+(ケ)/(コ)b→-c→

となり、点Pは線分ABを1:(サ)/(シ)に内分する。
また、CP→・b→=(ス)
であり、|CP→|=(√(セソ))/(タ)である。

CP→は三角形(チ)の各辺と垂直であるから、直線CPは三角形(チ)を含む平面に垂直である。ただし、(チ)については、当てはまるものを、次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)ABC (1)OBC (2)OAC (3)OAB

三角形(チ)の面積は(√(ツテ))/(ト)であるから、四面体OABCの体積は(ナ)/(ニヌ)である。


[解答と解説]
(1)まずはベクトルの始点をあわせる基本的な変形が身体にしみついてるかどうかです。
理屈の前に
AB→=OB→-OA→
と言うように、後ろから前をひく!です。
反対に
OB→-OA→=AB→
後ろから前に合体させる!です。

九九みたいに暗記して何も考えずに出来るようになってください。


a→-b→=OA→-OB→
だから後ろから前に合体させて
OA→-OB→=BA→

|a→-b→|^2=|BA→|^2
=AB^2
=3


次は内積ですが、内積を長さで表す方法って言うやり方を覚えて下さい。
△OABにおいて
OA→・OB→
=1/2・{|OA→|^2+|OB→|^2-|OB→-OA→|^2}
=1/2・{|OA→|^2+|OB→|^2-|AB→|^2}
いきなりこれを使ったほうが早いことがよくあります。
ほとんど余弦定理と同じですが。

後は
OA→・OB→
=1/2・{|OB→+OA→|^2-|OA→|^2-|OB→|^2}
=1/4・{|OB→+OA→|^2-|OA→-OB→|^2}

とかありますが、これは|OB→+OA→|がわかってる時ですね。

a→・b→=1/2・{|OA→|^2+|OB→|^2-|AB→|^2}
=1/2・{2+2-3}
=1/2

b→・c→=1/2・{|OB→|^2+|OC→|^2-|BC→|^2}
=1/2・{2+3-2}
=3/2

c→・a→=1/2・{|OC→|^2+|OA→|^2-|CA→|^2}
=1/2・{3+2-3}
=1


(2)直線AB上の点Pと言う文章がありますが点Pは線分ABを1:(サ)/(シ)に内分するとあるのでそれを1:kとおくと内分点の公式から
OP→=(ka→+b→)/(1+k)
と表せます。
だから
CP→=OP→-OC→
=(ka→+b→)/(1+k)-c→
=k/(1+k)a→ + 1/(1+k)b→ - c→


CP→・a→=0に代入して
k/(1+k)|a→|^2 + 1/(1+k)(b→・a→) - (c→・a→)=0

2k/(1+k) + 1/{2(1+k)} - 1=0
⇔k=1/2


CP→=k/(1+k)a→ + 1/(1+k)b→ - c→に代入して
CP→=1/3a→ + 2/3b→ - c→
で点Pは線分ABを1:1/2に内分する

また
CP→・b→=1/3(a→・b→) + 2/3|b→|^2 - (c→・b→)
=1/6 + 4/3 - 3/2
=0

で|CP→|ですが長さはベクトルでは√(内積の二乗)のことなので
|CP→|^2=CP→・(1/3a→ + 2/3b→ - c→)
=-CP→・c→
=-(1/3a→ + 2/3b→ - c→)・c→
=-1/3(a→・c→) - 2/3(b→・c→) + |c→|^2
=-1/3-1+3
=5/3

だから
|CP→|=√(5/3)
=(√15)/3


CP→・a→=0とCP→・b→=0は
CP→・OA→=0とCP→・OB→=0ですがこれから
CP→は三角形OABの各辺と垂直です。
ABはどうなのか?ってちょっと思いますがそもそも△OABを含む平面上のベクトルはOA→とOB→であらわされるので
(→AB=→OB-→OA)
CP→との内積は0でちゃんと垂直です。


△OABの面積は
(OA・OBsin∠AOB)/2=(|a→||b→|√(1-(cos∠AOB)^2))/2
=√(|a→|^2|b→|^2-(|a→||b→|cos∠AOB)^2)/2
=√(|a→|^2|b→|^2-(a→・b→)^2)/2
=(√(2・2-1/4))/2
=(√15)/4

四面体OABCの体積は
1/3・△OAB・CP=5/12
センターは前の問題が誘導になってることに注意してください。
そうすれば△OABとCPを求めさせされて、垂直であることからこれで体積が求まるとピンときます。

センター試験の過去問の解説




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