受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

曲線に囲まれた部分の面積、東大理系2008年度第6問
とんしゃんとんしゃん。

ついにおかしなったところで、東大2008年度の理系第6問をやりたいと思います。


[問題]
090101_m1.jpg
座標平面において媒介変数tを用いて
x=cos2t
y=tsint
(0≦t≦2π)
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。



[解答と解説]
はい、いいですね。
この問題はほんまに普通の数学3Cの問題で、数学の勉強量が多い人にとって得点源です。

090101_m2.jpg
お決まりのように媒介変数tでxとyをそれぞれ微分します。
dx/dt=-2sin2t
は問題ないと思いますが
dy/dt=sint+tcost
が、ちょっと問題です。
よくやる更に微分は、ほとんど同じ形になるからあまり意味がありません。

0≦t≦π/2の時…とか細かくわけてdy/dtの正負をごり押しで考えても大丈夫ですが、こういう時は
sint+tcost=0
となるtを求めれば、後はsint+tcostはtの連続関数なのでその0になる点で正負が切り替わることがわかります。
cost=0になる点つまりt=π/2、t=3π/2はsint+tcost=0を満たさないのでcostで割て
-t=tant
って言う式になるから、s=-tとs=tantのグラフを考えると0≦t≦2πで2点x=α、x=β(π/2<α<π,3π/2<β<π)で交わることがわかります。

この点で正負が切り替わってsint+tcostはtの連続関数より、0≦t<αの適当な点t=π/2ならdy/dt=1>0だからこの区間は正,
α<t<βの適当な点t=πならdy/dt=-π<0だからこの区間は負,β<t≦2πの適当な点t=πならdy/dt=π>0だからこの区間は正です。

実際にはこう考えますが、解答には書くには連続で…とかなんか難しいことを書いて間違えたら困るので
t≠π/2,3π/2の時
sint+tcost=cost(tant - (-t))
としてcostの正負とグラフs=tantとs=-tの上下の関係から求めたような感じで書いたら高校数学っぽくていい感じです。

そして増減表を書きます。

090101_m3.jpg

結構書くの大変です。

でグラフを描きます。

090101_m4.jpg

後は積分計算です。
∫tsint(-2sin2t)dt
の定積分だけなので先に不定積分を求めておくと便利です。


090101_m5.jpg

面積を求めるには、まずはy≧0とy≦0の部分に分けます。

それでy≧0のとこだけの部分のような形の交わりの無い部分の面積は

媒介変数が変数が時計回りに増加してt=t1から始まってt=t2で一周するとすると

∫(t1,t2)y(t)(dx/dt)dt

で単に一周の区間で積分するだけです。


それは計算してたらたぶんみんな自然に気づくと思います。

曲線の上側の部分(t=π/2からπ)と下側の部分(t=π/2から0)を別々に積分してしまわず

∫(π/2,π)tsint(-2sin2t)dt - ∫(π/2,0)tsint(-2sin2t)dt

=∫(0,π)tsint(-2sin2t)dt

とやって計算してください。

これを部分積分で計算して16/9になります。


下側も同様に
090101_m6.jpg

∫(3π/2,2π){-tsint(-2sin2t)}dt - ∫(3π/2,π){-tsint(-2sin2t)}dt

=-∫(π,2π)tsint(-2sin2t)dt

を求めてこれは反時計回りなのでマイナスがついてますが計算すると16/9です。

最後に足して16/9+16/9=32/9になります。

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