受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

等差数列の和と等比数列の和の公式について解説
等差数列の初項から末項までの和は

1/2×(初項+末項)×項数

です。

これはイメージ的には公差一つ分の大きさを○、初項の大きさを●●と表して

初項↓
●●
●●○
●●○○
●●○○○

●●○○○○○○
末項↑

って書くと初項から末項までの和は台形の面積になっていて、

高さは項数

上底は初項

下底は末項

のことで台形の面積は

1/2×(上底+下底)×高さ

だから初項から末項までの和は

1/2×(初項+末項)×項数

です。



初項a、公比rの等比数列{a・r^(n-1)}の初項から第n項までの和は

a+ar+ar^2+ar^3+…+a・r^(n-1)
=a×(r^n-1)/(r-1)

です。

これはむしろr-1を両辺にかけた式である

(r-1){a+ar+ar^2+ar^3+…+a・r^(n-1)}
=a×(r^n-1)

の方もあわせて覚えた方がいいです。

r×{a+ar+ar^2+ar^3+…+a・r^(n-1)}から{a+ar+ar^2+ar^3+…+a・r^(n-1)}をひくと端だけ残ってar^n-aになるって言う式です。


何故こっちの方も覚えた方がいいかと言うと
a+ar+ar^2+ar^3+…+a・r^(n-1)
=a×(r^n-1)/(r-1)
はr=1はだめですが、

(r-1){a+ar+ar^2+ar^3+…+a・r^(n-1)}
=a×(r^n-1)
はr=1でもオッケーで、等比数列の和だけでなく

(x-1)(1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1))=x^n-1

って言う恒等式(xにどんな実数を入れても成り立つ式のこと)を色々な問題で使うからです。


例えばkを自然数としてx^(3k+2)をx^3-1で割ったときの余りを求めなさいって問題なら

初項1、等比x^3の等比数列の和を考えて
x^3k-1=(x^3-1)(1+x^3+(x^3)^2+(x^3)^3+…+(x^3)^(k-1))
って言う恒等式が成り立って、x^3kをx^(3k+2)にするために左辺の-1を右辺に移項して両辺にx^2をかけて

x^(3k+2)=(x^3-1)(1+x^3+(x^3)^2+(x^3)^3+…+(x^3)^(k-1))x^2+x^2

だからx^3-1で割るとx^2余るってわかります、うへ~。


高校数学の公式や問題の解説




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