受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次関数の最大値、最小値の区間に文字が入っている場合分けが必要な問題の解説
二次関数の最大値や最小値の問題で区間に文字が入っていて場合分けする問題があります。
もうこれは数学1のクライマックスです。
進研模試とかでもこれはよく出されているようなお決まりお問題だと思います。


具体的な問題で解説したいと思います。
[問題]
区間a≦x≦a+2におけるf(x)=x^2-4x+5の最小値m(a)と最大値M(a)を求めて、b=m(a),b=M(a)のグラフをかけ。



[解答と解説]
まずは平方完成して二次関数の特徴を掴みます。

f(x)=(x-2)^2+1

軸はx=2で頂点(2,1)とわかりました。


この二次関数で区間a≦x≦a+2はaの値によって位置が違いますが、これが軸x=2よりず~っと左からやってきて、軸を抜けて右へ抜けていくのをイメージしてみます。

はい、いいですね。
090106_m1.jpg

a≦x≦a+2が軸x=2よりずっと左では右下がりなので、左端のx=a+2で最大、右端のx=aで最小になります。

a+2が軸x=2より右で中点の{a+(a+2)}/2が軸x=2よりまだ左の位置では最小は頂点のとこで、最大になるのは右端より左端の方が長いからまだこの段階はさっきと同じで左端のx=aで最大になります。

そして中点の{a+(a+2)}/2が軸x=2と一致すると、左端のx=aの値と右端のx=a+2の値がちょうど同じになります。
この点が最大値がx=aからx=a+2切り替わるところです。
説明の順番が逆になりますが、だからさっき中点で場合分けしたわけです。

で、aが軸x=2より左で中点の{a+(a+2)}/2が軸x=2より右の位置では最小は変わらず頂点のとこで、最大になるのは左端より右端の方が長いから最大になるのは右端のx=a+2に切り替わります。

最後にa≦x≦a+2が軸x=2より右になると、右上がりになるので、左端のx=aで最小、右端のx=a+2で最大になります。


ややこしいですね。

でも実際には

イメージして場合分けする

のではなく

覚えてるから場合分け出来る

が現実です。


場合分けを覚えてるからこそ、数学2や数学3の微分積分とかでもっと複雑な場合分けが出来るようになるわけです。


まず、最大値。
これは左端が右端で最大で、その分かれ目は区間の中点{a+(a+2)}/2が軸x=2より左か右かです。
090106_m2.jpg
この二つだけです。

こういうもんやって思ってください。
どのような動きになるのかとか考えて悩む前に、分かれ目は区間の中点{a+(a+2)}/2が軸x=2より左か右って反射的に思ってグラフをぱぱって書いて見た目で判断するのがコツです。

もちろん二次の係数が負で放物線が反対向きの時は、最小値がこの場合分けの仕方です。


そして最小値。
これは、軸が区間に入れば頂点で最小、軸が区間の外にあれば軸に近い側の端点で最小(軸より区間が左なら右の端点、軸より区間が右なら左の端点)です。
090106_m3.jpg
三つだけです。
こういうものです。

どういう動きになるか悩む前に、三つの場合をグラフに書いて見た目でぱぱって判断します。
それだけです、それ以上悩んだら負けです。
二次関数嫌いになります。
二次関数はほんまはええやつなんや。

もちろん二次の係数が負で放物線が反対向きの時は、最大値がこの場合分けになります。


最後にグラフです。

090106_m4.jpg

例えば最小値の方のb=m(a)のグラフはb=a^2+1とb=2とb=a^2-4a+5(=(a-2)^2+1)の三つのグラフを点線で欠いてから
b=a^2+1のa≦0のとこを実線に、b=1の0≦a≦2のとこを実線に、b=a^2-4a+5の2≦aのとこを実線にしていきます。


まあ、あまり二次関数みたいな問題ではやらないとは思いますが最大値や最小値を逆にこの最後のグラフを利用して求めることも出来て例えば
最大値M(a)=max{f(a),f(a+2)}
(端点の値のおっきい方が最大)
でb=f(a)とb=f(a+2)のグラフを描いて交点はa=1でグラフが上になる方がM(a)だから
M(a)=
f(a)(a≦1)
f(a+2)(1≦a)
とか言うやり方もあります。

まあこの辺はおっさんがまたなんか言うてるなって思ってください。


この問題はしつこく出るので、その時に完璧に覚えられなくても大丈夫です。
だから余り深く考えずに問題を進めていくのがコツです。
そうすれば、また出会えます。


高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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