受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

絶対値が入った二次方程式、センター試験2007年度数学1Aの第1問の(1)
よし、センター試験2007年度も解説していきます。
第1問の小問(1)で絶対値の方程式の問題です。



[問題]
(1)方程式
2(x-2)^2=|3x-5|…[1]
を考える。

(1)方程式[1]の解のうち、x<5/3を満たす解は
x=(ア),(イ)/(ウ)
である。

(2)方程式[1]の解は全部で(エ)個ある。その解のうちで最大のものをaとすると、
m≦a<m+1を満たす整数mは(オ)である。


[解答と解説]
絶対値とこれば、

1,正負で場合分けする。
2,二乗する。
3,距離と考える。
おまけ…グラフを書く


と言う方針がありますが、問題文から見てx<5/3って書いてあるから誘導にのって3x-5を正負で場合分けします。
センターはx<5/3を見て3x-5の正負のことやなって誘導にあわせられるかどうかが大切で、そうしないと簡単な問題でも時間を食ってしまうことになりかねません。

x<5/3を満たすってことは3x-5<0なので
|3x-5|=-(3x-5)
です。だから
2(x-2)^2=-(3x-5)

2x^2-5x+3=0

(2x-3)(x-1)=0
よりx=1,3/2です。

これはx<5/3をちゃんと満たしてます。
まあそんなことは解答欄の形式から言ってこの答え以外ありえません。




(2)
(1)に続いて方程式を解いていくと3x-5≧0の時つまりx≧5/3の時
2(x-2)^2=3x-5

2x^2-11x+13=0

x=(11±√17)/4
で(11+√17)/4≧5/3は当然ですが(11-√17)/4≧5/3を満たすかどうか怪しいです。
だから大小関係を比べるには差を考えればいいから

(11-√17)/4-5/3=(13-3√17)/12
=(√169-√153)/12>0

と地道に計算するとわかります。
センター試験はこういうややこしいもんです。

090108_m1.jpg
でもこれは実はy=(x-2)^2のグラフとy=3x-5のグラフを書くとx≧5/3で二点で交わるからオッケーとすぐにわかります。
よく使う古典的な方法とは言え、ちょっと思いつきにくいかもしれませんが。



で解は四つで、そのうち最大のものはx=(11+√17)/4です。

√17は√16と√25の間、つまり4と5の間で
3≦15/4<(11+√17)/4<16/4=4
だからm=3です。

こういう無理数の扱いは中学っぽい感じですが、センター試験は中学っぽい感じなもんです。
そういう意識で解くだけで、だいぶん違うと思います。




ここでちょっと絶対値の説明でこの問題では場合分けしましたが、二乗するのも便利なのですが注意して欲しいのは無条件で二乗していいのは|A|=|B|⇔A^2=B^2のように両辺絶対値の時(もっと言うなら両辺0以上の時)で、この問題ではたまたま2(x-2)^2≧0と言うように左辺が0以上になるので大丈夫なだけです。

例えば-x^2+1=2|x|って式があると場合分けすると
x≧0の時、-x^2+1=2x⇔x^2+2x-1=0よりx=-1±√2でx≧0だからx=-1+√2になります
x<0の時、-x^2+1=-2x⇔x^2-2x-1=0よりx=1±√2でx<0だからx=1-√2になって解は
x=-1+√2と1-√2になります。

ところが二乗してると
(-x^2+1)^2=4|x|^2⇔(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)=0よりx=-1±√2と1±√2て解が四つになってめちゃくちゃなことになります。
それは-x^2+1=2|x|の左辺は0以上だから右辺も-x^2+1≧0で、二乗して(-x^2+1)^2=4|x|^2にしてしまうと-x^2+1<0でもよくなってしまいます。
平面図形の問題、東京大学文系2008年度第3問にも無理方程式のとこで同じようなことを書いてますが
二乗する時は、
-x^2+1=2x⇔(-x^2+1)^2=4|x|^2かつ-x^2+1≧0
ってやります。
こうするとx=-1±√2と1±√2のうち-1≦x≦1の解はx=-1+√2と1-√2と言うようにちゃんと答えが出ます。

だから二乗するの|A|=|B|のように両辺に絶対値がついてる場合は大丈夫ですが、片方だけの場合は注意してください。


これをわかっていれば(2)では2(x-2)^2≧0で両辺二乗してよく
2(x-2)^2=|3x-5|⇔(2x^2-11x+13)(2x^2-5x+3)=0
で大小関係を調べなくても四つ全部解になってることがわかります。


センター試験の過去問の解説




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