受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

十分条件と必要条件の問題と集合の問題、センター試験2007年度数学1Aの第1問の(2)
センター試験2007年度数学1Aの第一問の小問(2)いきます。

必要条件や十分条件と、集合の問題です。


[問題]
(2)集合A,Bを
A={n|nは10で割り切れる自然数}
B={n|nは4で割り切れる自然数}
とする。

(1)次の(カ)と(キ)に当てはまるものを、下の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。
自然数nがAに属することは、nが2で割り切れるための(カ)。
自然数nがBに属することは、nが20で割り切れるための(キ)。

(0)必要十分条件である。
(1)必要条件であるが、十分条件でない。
(2)十分条件であるが、必要条件でない。
(3)必要条件でも十分条件でもない。

(2)次の(ク)~(コ)に当てはまるものを、下の(0)~(7)のうちから一つずつ選べ。

C={n|nは10と4のいずれでも割り切れる自然数}
D={n|nは10でも4でも割り切れない自然数}
E={n|nは20で割り切れない自然数}
とする。自然数全体の集合を全体集合とし、その部分集合Gの補集合をG~で表すとき
C=(ク),D=(ケ),E=(コ)
である。
(0)A∪B (1)A∪B~ (2)A~∪B (3)(A∪B)~

(4)A∩B (5)A∩B~ (6)A~∩B (7)(A∩B)~



[解答と解説]
嫌~な必要条件、十分条件です。

だがしかし、余計なことは忘れて

十分⇒必要

だけ考えてやるのがコツです。
意味とか考えたら負けです。

090108_m2.jpg
覚え方は、⇒の左の部分に縦線を入れると十になるから十分条件で、⇒の右側が必に似てなくもないから必要条件です。


今しばかれそうになりましたが、残念ながらこれで覚えてしまいます。
生理的に受け付けないのに覚えてしまいます。
オレもこれで苦しみました。


(1)
自然数nがAに属するとnは10の倍数なので2で割り切れます。
だから
自然数nがAに属する⇒nが2で割り切れる。

例えばn=4なら2割切れるけど10の倍数ではないので反対向きは成り立ちません。

よって
自然数nがAに属するは十分条件であって必要条件ではないの(2)です。


また

nが20で割り切れると4でも割り切れるのでBに属します。
nが20で割り切れる⇒Bに属する

n=4ならBに属しますが、20では割り切れないので反対向きは成り立ちません。

だから自然数nがBに属するは必要条件であって十分条件ではない(1)です。


こうやって、十分とか必要とか意味を考えずに⇒の左にあるからとか右にあるとかで一瞬で判断してやりましょう。


(2)
こういう集合の問題は、基本はベン図を書くことです。
A~∩B~=(A∪B)
とか色々と公式はあるかもしれませんが、ベン図を書いて判断するのがコツです。

C={n|nは10と4のいずれでも割り切れる自然数}
はさすがにA∩Bそのままで(4)です。

090108_m3.jpg

D={n|nは10でも4でも割り切れない自然数}
はAの外側であってBの外側です。
図を見れば、A∪Bの補集合になってるから(A∪B)~の(3)です。

E={n|nは20で割り切れない自然数}
はまず20で割り切れるのは10で割り切れて4でも割り切れるところで、Eはその補集合です。だから(A∩B)~の(7)です。
または4で割り切れいところは20でも割り切れなくて、10でも割り切れないところは20でも割り切れないので塗りつぶすとA∩Bのところが残りますがここは20で割り切れるのでここだけ取り除いたところと分かります。

センター試験の過去問の解説




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