受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次関数の解の配置と最大値の問題、センター試験2007年度数学1Aの第2問
センター試験2007年度数学1Aの第2問の二次関数の問題いきます。

ばんばんいってまいます。

[問題]
第2問
aを定数とし、xの2次関数
y=x^2-2(a-1)x+2a^2-8a+4…①
のグラフをGとする。

(1)グラフGが現す放物線の頂点の座標は
(a-(ア),a^2-(イ)a+(ウ))
である。グラフGがx軸と異なる2点で交わるのは
(エ)-√(オ)<a<(エ)+√(オ)
のときである。さらに、この二つの交点がともにx軸の負の部分にあるのは
(カ)-√(キ)<a<(ク)-√(ケ)
のときである。

(2)グラフGが現す放物線の頂点のx座標が3以上7以下の範囲にあるとする。
このとき、aの値の範囲は
(コ)≦a≦(サ)
であり、2次関数①の3≦x≦7における最大値Mは
(コ)≦a≦(シ)のとき
M=(ス)a^2-(セソ)a+(タチ)
(シ)≦a≦(サ)のとき
M=(ツ)a^2-(テト)a+(ナニ)
である。
したがって、2次関数①の3≦x≦7における最小値が6であるならば
a=(ヌ)+(ネ)√(ノ)
であり、最大値Mは
M=(ハヒ)-(フ)√(ヘ)
である。


[解答と解説]
(1)頂点の座標と言えば平方完成です。
xの係数に2がついてるから平方完成しやすいです。
y=x^2-2(a-1)x+2a^2-8a+4
=(x-(a-1))^2-(a-1)^2+2a^2-8a+4
=(x-(a-1))^2+a^2-6a+3
だから頂点の座標は
(a-1,a^2-6a+3)
です。
x軸と異なる2点で交わるのはx^2-2(a-1)x+2a^2-8a+4=0の判別式が0より大きいとしたくなるかもしれませんが、すでに頂点が求まってるので頂点のy座標が0より小さければ異なる2点で交わるはずです。
a^2-6a+3<0

3-√6<a<3+√6

そもそも、一般的に頂点の座標は
ax^2+bx+c=a(x+b/2a)-(b^2-4ac)/4a
より
(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)
なので頂点のy座標が-(b^2-4ac)/4aわかっていれば、判別式b^2-4acを計算するのは単に二度手間なだけです。

二つの交点がともにx軸の負の部分になるようになるには
090108_m4.jpg
二次の係数が正の二次関数f(x)の場合
f(0)>0 かつ 軸<0 かつ 判別式D>0
の時です。

こういう二次関数の解の配置の問題は、このパターンとかを丸暗記してください。
実際、二次関数を頭の中で動かしてこの条件を作り出していたのでは時間もかかり条件を見落としたりします。
基本的なパターンを覚えていれば、似たような問題に対処しやすくなります。

ただともにx軸の負の部分の場合は、f(x)=0の解をα,βとすると
D>0でαβ>0(←αとβは同符号)かつα+β<0(←その符号がマイナス)
で解と係数を使ってやるように数式だけでもいけます。

問題によってどっちが使いやすいかは変わりますが、まずは二次関数の解の配置問題として応用が聞く最初の方のやり方を覚えてください。


で判別式の方は3-√6<a<3+√6でクリアされてるので
軸:a-1<0かつf(0)=2a^2-8a+4>0
を求めて
a<1かつa<2-√2,2+√2<a
で3-√6<a<3+√6とあわせて無理数が入った大小関係を考えるわけですが
(カ)-√(キ)<a<(ク)-√(ケ)
と言う解答の形から
3-√6<a<2-√2
の組み合わせしか考えられません。

過去問やりまくってセンターの思考に慣れてください。
これに気づけば微妙に早く解けます。


(2)放物線の頂点のx座標が3以上7以下だから
3≦a-1≦7⇔4≦a≦8
です。
そして2次関数①の3≦x≦7における最大値Mは…と言うことですが軸a-1の値の範囲によって場合わけが必要になります。
ややこしいですが、この下に凸な二次関数の最大値は二つの場合しかありません。
090108_m5.jpg
軸が区間の中点より左なら、右の端点で最大。
軸が区間の中点より右なら、左の端点で最大です。

これだけです。
最大値は右か左の端点で、左右どっちが最大か区間の中点で切り替わるだけです。

で、解答にどっちの場合を入れたらええんやって悩みそうですが

2次関数①の3≦x≦7における最大値Mは
(コ)≦a≦(シ)のとき

の(コ)はさっきの

このとき、aの値の範囲は
(コ)≦a≦(サ)

の(コ)なのですでに4と決まってます。
つまりa-1が3以上に対応してます。

こういうのが何かセンターの難しいところですね。
慣れが必要です。

区間の中点は(3+7)/2=5なので
だからまずは軸が3以上で中点の5以下の時で
3≦a-1≦5⇔4≦a≦6
の時です

これはぱっとグラフを書いて、軸より右側が長くなるのでx=7で最大です。
よって
M=2a^2-22a+67

そして次は軸が中点の5以上で7以下の時で
5≦a-1≦7⇔6≦a≦8
の時です

これもぱっとグラフを書いて、軸より左側が長くなるのでx=3で最大で
M=2a^2-14a+19

2次関数①の3≦x≦7における最小値は区間に軸が入ってるから当然頂点が最小なので

a^2-6a+3=6⇔a^2-6a-3=0
より
a=3±2√3
ですが4≦a≦8を満たすのはa=3+2√3です。

a=3+2√3>3+2×1.5=6より6≦a≦8の時なのでM=2a^2-14a+19ですがこれにa=3+2√3を入れるのは微妙にしんどい話しです。

a=3+2√3の時はa^2-6a-3=0だからこれを利用してa^2=6a+3を代入して
M=2a^2-14a+19
=2(6a+3)-14a+19
=-2a+25
=-2(3+2√3)+25
=19-4√3
です。

これは次数下げと言って、よく使いますがまともに代入してもこの問題では別にそんなに変わらないかもしれません。


センター試験の過去問の解説




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