受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面図形の三角比や円に相似の問題、センター試験2007年度数学1Aの第3問
センター試験2007年度の数学1Aの第3問!今日も解説いっときます。

平面図形の問題です。

[問題]
第3問
△ABCのおいて、AB = 2 ,BC = √5 + 1 ,CA = 2√3とする。
また△ABCの外接円の中心をOとする。

(1)
このとき、∠ABC=(アイ)°であり、外接円Oの半径は
{(ウ)/(エ)}√(オ)
である。

(2)
円Oの円周上に点Dを、直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる。
△ABDの面積をS1,△BCDの面積をS2とするとき
S1/S2 = √5 - 1 … [1]
であるとする。∠BAD+∠BCD=(カキク)°であるから
CD={(ケ)/(コ)}AD
となる。このとき
CD={(サ)/(シ)}√(スセ)
である。

さらに、2辺AD,BCの延長の交点をEとし、△ABEの面積をS3,△CDEの面積をS4とする。このとき
S3/S4=(ソ)/(タ) … [2]
である。
[1]と[2]より
S2/S4={√(チ)}/(ツ)
となる。



[解答と解説]
この問題はセンター試験数学1Aの2008年度の第3問とほぼ同じ流れです。
ですが、2008年度のは誘導にあわせるのが難しいと言うセンター特有のことが起こって、2007年度はあまり誘導が無く二次試験のような感じになってます。
センター試験は2年周期なので次は違う感じかもしれません(任期が2年らしい)が、どうも課程が数列から平面幾何にかわって3年ぐらいで歴史が浅く練習が積みにくいですね。

(1)まずは∠ABCは単に三辺の長さがわかってるので余弦定理です。
cos∠ABC={2^2+(√5 + 1)^2-(2√2)^2}/{2(√5 + 1)2}
=1/2
で∠ABC=60°です。

そして外接円の半径Rを求めろってことですが、これは正弦定理です。
090108_m6.jpg
a/sinA=b/sinB=c/sinC
まではわかるけど、この2Rが忘れがちなので注意してください。
忘れたら、直角三角形で考えると斜辺が2Rになるからsin∠A=a/2Rって導けます。

だから外接円の半径Rは
R=(2√2)/(2sin60°)
=(2√6)/3
です。

(2)
090108_m7.jpg
∠BAD+∠BCDはこれは対頂角の関係なので、円に内接する四角形ん対頂角の和は180°ってところです。
まあ3桁やし、他に情報も無いから180くらいしか入らないの直感でわかるかもしれませんが。

そしていきなり

CD={(ケ)/(コ)}AD

ときます。

とりあえず流れからいえば

∠BAD+∠BCD=180°であるから…ってあるので、∠BAD+∠BCD=180°を使うのが予想されますが∠BAD+∠BCD=180°とこればsinが同じって言うのも選択肢にいれてください。

sin(180-Θ)=sinΘ

でした。

だから
sin∠BAD=sin∠BCD
です。

そしてS1/S2 = √5 - 1

と言う式はきっと使うはずですが、面積はsinで表されるからS1/S2って割り算をとると消えて辺の比だけが残ります。
だから
S1=1/2・BA・ADsin∠BAD
S2=1/2・CD・CBsin∠BCD

でBA=2とCB= √5 + 1 を入れて割り算をすると

S1/S2=2AD/(√5 + 1)CD

でS1/S2 = √5 - 1を入れて

CD=1/2・AD
とわかりました。


このとき
CD={(サ)/(シ)}√(スセ)
と書いてるから、もう一つCDとADの関係式が欲しいところです。

ちょっとセンターの誘導が足りないような感じですが、数学はまずは図を描く!って言うのが大切でADとCDを見ると△ADCのうちの二辺なのでこの間の角∠CDAがわかれば余弦定理が使えます。

これは対頂角が60°なので180°-60°=120°です。

よってAC^2=AD^2+CD^2-2AD・CDcos∠120°
これで連立してとくと
CD^2=8/7でCD>0からCD=(2√14)/7とわかります。

でもちょっと中途半端に誘導されていて、わかりにくいですが何故か急に突き放されることもあります。
ええっ今まで誘導してくれてたのに…
そういうのに慣れてください。


さらに、2辺AD,BCの延長の交点をEとし、△ABEの面積をS3,△CDEの面積をS4とする。

とありますが、これは図を正確に書いとかないと反対側で交わってしまいます。
2√2≒2.8
√5 + 1≒3.2
ADはCDの2倍
とか考えて書いてください。

△ABEと△CDEはこれは相似です。
090108_m8.jpg
円に内接する四角形の性質から∠EBA=∠EDCと共通な角から∠AEB=∠CEDで相似になります。
方べきの定理とあわせて覚えてください。
と言うよりも、この相似比の式が方べきの定理ですが。

こうやって中学生的な幾何の知識を使いまくるのでそういう気持ちでのぞんでください。

相似比は長さがわかってる辺からAB:CD=2:(2√14)/7とわかります。
面積の比は相似比の二乗なので


S3/S4=AB^2/CD^2
=7/2

です。

こうやって中学生的に考ええて下さい。

そしていきなり
[1]と[2]より
S2/S4={√(チ)}/(ツ)
となる。

とあたかもすぐに求まるような感じで書いてありますが、そんな簡単には求まらないようでいて求まります
その簡単な方法が思いつかなくてCEの長さを誘導使わずに計算ごり押しで求めようとすると時間がかかるわりには5点しかありません。
これが出来なくても9割5分もいきます。
こんな5点の問題で時間を食って簡単なところが20点ぐらい埋められないとかなると悲惨きわまりないです。
数学のセンター試験全体に言えますが一番最後の穴埋めは時間かかるのに点数は普通でしかも解けなくても他の問題に支障が無いと言う極めて効率が悪い所です。
この判断で人生が変わる問題です。

最後の問題はややこしいようなら、思い切って飛ばして簡単な問題へ!

これを肝に命じてください。


とは言うものの解説しなければなりませんが

090108_m91.jpg
S1/S2=√5 - 1
S3/S4=7/2
があってS2/S4を求めろってことですが
S1=(√5-1)S2
S3=7/2・S4
とS1とS3はS2とS4で表されて、図から

S1+S2+S4=S3
です。
後は代入すれば
S2/S4=√5/2です。

これも中学生的な発想でやればいけるんですが、高校で色々と習うと反対にわからなくなったりします。
これを誘導使わずに計算でやろうとCEの長さとか求めようとすると、2008年度の数学1Aの平面図形の問題の誘導のやり方で出来ますがかなり大変で時間を食います。

センター試験の過去問の解説




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