受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、センター試験数学1A2007年度の第4問
確率と確率が出会っちゃった…

と言うことでセンター試験2007年度数学1Aの第4問の確率の問題です。



[問題]
1辺の長さ1の正六角形があり、その頂点の1つをAとする、一つのさいころを3回投げ、点Pを次の(a),(b),(c)にしたがって、この正六角形の辺上を反時計回りに進める。


(a)頂点Aから出発して、1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(b)1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(c)2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(1) 3回進めたとき、点Pが正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は(アイ)通りである。

3回進める間に、点Pが1回も頂点Aにとまらない目の出方は(ウエオ)通りである。


(2) 3回進める前に、点Pが3回とも頂点Aにとまる確率は(カ)/(キクケ)であり、ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率は(コ)/(サシ)である。

3回進める間に、点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる確率は(スセ)/(ソタ)である。

(3) 3回進める間に、点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は(チ)/(ツ)回である。


[解答と解説]
確率の時間となりました。
この問題は簡単と言えば簡単ですが数え方によっては複雑になってしまうのが注意です、
センター試験の確率はそんなに定石の問題とか公式とか言う知識よりも、数え上げて処理するって感じです。

誘導に則って素直にやっていきます。
(1)
3回進めたとき、点Pが正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は単純に数え上げて
(1,1,4)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1,4,1)
(2,1,3)
(2,2,2)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)
(4,1,1)
の10通りです。
一応定石的に計算でも出来て、
x+y+z=6(x≧1,y≧1,z≧1)
の整数解(x,y,z)の個数と同じわけですがx=X+1,y=Y+1,z=Z+1とおいて
X+Y+Z=3(X≧0,Y≧0,Z≧0)
の整数解(X,Y,Z)の個数とも同じですがこれは3つの場所から3つ重複を許して選ぶ重複組み合わせ3H3=5C3=10通りです。
参照→重複組み合わせの説明と使い方

3回進める間に、点Pが1回も頂点Aにとまらない目の出方は(ウエオ)通りと書いてあるように3桁なのでこんなもん一つ一つ書き出して数え上げてたら、試験監督にうるさいわ!ってスリッパで後頭部どつかれます。

なんか1回以上Aに止まるを数えて全体から引くって言うのも、そんな誘導は無いしややこしそうです。

とりあえずもっと素直に普通に考えると、まず一回目は6以外の5通りです。
そして二回目も一回目の目がxなら6-x以外の5通りです。
三回目も同じように考えてどの地点でも次に点Aに止まるような目は1つしかないから、それ以外の5通りです。

5×5×5=125通りです。

まあ数え上げですね。

(2) 点Pが3回とも頂点Aにとまる確率はこれは6,6,6の一通りなのでさいころの目の出方の総数は6^3=216通りだから
1/216

ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率は

1回目に6でAに止まると、

2回目6と3回目に6以外の5通り
2回目x(x≠6)と3回目は6-xの5通り

1回目にx(x≠6)の時は2回目は6-xで3回目が6の5通り

計15通り。

よって確率は15/216=5/72です。

こうやって工夫とかなく普通に数え上げるのがコツです。
センター試験の確率はこういう感じが多いです。

後はちょうど1回だけですがこれはややこしいそうです。
しかし、これが最後に来るってことはもう誘導の流れから言って全体からAに3回、Aに2回、Aに止まらないを引いて
216-125-1-15=75
だから
75/216=25/72

(3)
後は期待値を計算するだけで
3×1/216 + 2×5/72 + 1×25/72=1/2

まあよく考えると、どの地点にいても一回投げるたびに次Aに止まる目は1つだから一回投げた時にAに止まる期待値は1/6なので三回では1/2になるので当然と言えば当然です。

センター試験の過去問の解説




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