受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2007年度数学2B第1問、三角関数と対数関数、領域の問題の解説
コオロギが鳴くと、人が三人べふべふと言われてますがセンター試験の2007年数学2Bの第1問の三角関数と対数関数、領域の問題をいきます。


[問題]
第1問
(1)不等式
sin2x>√2cos(x+π/4)+1/2
を満たすxの範囲を求めよう。ただし、0≦x<2πとする。
a=sinx,b=cosxとおくと、与えられた不等式は
(ア)ab+(イ)a-(ウ)b-1>0
となる。左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
π/(エ)<x<((オ)/(カ))π または ((キ)/(ク))π<x<((ケ)/(コ))π
である。

(2)不等式
2+log_√y(3)<log_y(81)+2log_y(1-x/2)

で表す領域を求めよう。

yと√yは対数の底であるからy>(サ),y≠(シ)である。真数は正であるあらx<(ス)である。ただし、対数log_a(b)に対して、aを底といい、bを真数と言う。
また
log_√y(3)=(セ)/log_3(y),log_y(81)=(ソ)/log_3(y)
であるから、与えられた不等式は
1<(タ)/log_3(y) + log_3(1-x/2)/log3_y
となる。よって
y>(チ) のとき、log_3(y)<log_3{(ツ)(1-x/2)}
(テ)<y<(チ) のとき、log_3(y)>log_3{(ツ)(1-x/2)}
となる。

求める領域を図示すると、次の図(ト)の影をつけた部分となる。ただし境界(境界線)は含まない。(ト)に当てはまるるものを、次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。
090109_m1.jpg


[解答と解説]
(1)
a=sinx,b=cosxだから
sin2x>√2cos(x+π/4)+1/2
をsinxとcosxにしなければなりません。

加法定理ですね。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

とこれから2倍角は
sin2α=2sinαcosα
cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2
=2(cosα)^2-1
=1-2(sinα)^2
です。

だから
sin2x=2sinxcosx
cos(x+π/4)=cosxcosπ/4-sinxsinπ/4
=1/√2×(cosx-sinx)

って変型させて
2sinxcosx>cosx-sinx+1/2
整理してa,bに置き換えて
4ab+2a-2b-1>0
です。

これはちょっと忘れがちな因数分解出来る形ですが因数分解はとりあえず一つの文字について整理(次数が低い方)するとだいたい出来て

2(2b+1)a-(2b+1)>0

(2a-1)(2b+1)>0
です。

これは
2sinx-1と2cosx+1が同符号ってことです。

sinx>1/2かつcosx>-1/2
または
sinx-<1/2かつcosx<-1/2

で単位円を書くと
090109_m2.jpg
sinx=1/2はx=π/6,5π/6
cosx=-1/2はx=2π/3,4π/3
だから図から
π/6<x<2π/3
5π/6<x<4π/3
とわかりました。

まあ図を書かなくても
π/(エ)<x<((オ)/(カ))π または ((キ)/(ク))π<x<((ケ)/(コ))π
の解答欄の形から
π/6<x<2π/3、5π/6<x<4π/3としか入れようがありませんが。

そういう解答欄の形も大きなヒントになってるので落ち着いて先に解答欄の形を見てから計算するようにしてください。

(2)
底の条件ですが、これは余り問われることが無いので忘れがちですが1でない正の数です。
1は何乗しようが1なので対数が定義できせん。

だからyと√yが底だからy>0,y≠1です。

真数条件は正であることだから(1-x/2)>0よりx<2です。

次は解答欄を見ると底を3に揃えるようですが、底の変換は
log_a(b)の底をcにするには
log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)
です。

cを底にして分母を元の底のaを真数に、分子を元の真数bを同じように真数にします。


これを使って底を3に揃えていくと
log_3(3)=1,log_3(√y)=1/2×log_3(y)だから
log_√y(3)=log_3(3)/log_3(√y)
=1/(1/2×log_3(y))
=2/log_3(y)

log_3(81)=log_3(3^4)=4だから
log_y(81)=log_3(81)/log_3(y)
=4/log_3(y)

です。

これを最初の不等式に入れると

2+2/log_3(y)<4/log_3(y)+2log_y(1-x/2)

で、log_y(1-x/2)が何故か無視されていることに気づくから
log_3(1-x/2)/log_3(y)
と底3にして整理すると
1<1/log_3(y)+log_3(1-x/2)/log_3(y)
となります。

解答欄の形

log_3(y)<log_3{(ツ)(1-x/2)}

からlog_3(y)を両辺にかけてるから、この正負で場合分けと予想されます。
だから
log_3(y)はyが1の時0だから1で正負がかわって底3は1より大きいから増加関数なので

y>1のときはlog_3(y)>0でlog_3(y)<1+log_3{(1-x/2)}=log_3(3)+log_3(1-x/2)=log_3{3(1-x/2)}
0<y<1のときはlog_3(y)<0でlog_3(y)>log_3{3(1-x/2)}

です。
log_c(A)+log_c(B)=log_c(AB)を使ってます。


最後にグラフですが
090109_m1.jpg
底が3で1より大きいからlogをとっても大小関係はそのままです。

y>1のときはlog_3(y)<log_3{3(1-x/2)}⇔y<3-3x/2
0<y<1のときはlog_3(y)>log_3{3(1-x/2)⇔y>3-3x/2

それとx<2であったので、これをあわせるとy>1の領域でy=3-3x/2より下側が影になってるのは(1)か(3)で(3)はxが2をこえてるようなので(1)です。

センター試験の過去問の解説




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