受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2007年度数学2B第2問、微分積分の問題
みんな微分積分してますか?
センター試験2007年度の数学2Bの第2問の微分積分の問題です。


[問題]
a>0として、xの関数f(x)とg(x)を
f(x)=x^3-x
g(x)=f(x-a)+2a
とする。

(1)二つの関数の差g(x)-f(x)は
g(x)-f(x)=a{(アイ)x^2+((ウ)ax-a^2+(エ)}
と表され、xの方程式g(x)-f(x)=0が異なる二つの実数解をもつようなaの範囲は
0<a<(オ)√(カ)
である。

また、g(x)-f(x)はx=(キ)/(ク)のとき、最大値
(a/(ケ))((コサ)-a^(シ))
をとる。

(2)
(1)で得られた最大値を
h(a)=(a/(ケ))((コサ)-a^(シ))
と表す。h(a)をaの関数と考えるとき、h(a)はa=(ス)で最大値(セ)をとる。

(3)
a=√3のとき、曲線y=f(x)と曲線y=g(x)の二つの交点P、Qの座標は
P((ソ),0),Q(√(タ),(チ)√(ツ))
であり、二つの曲線y=f(x),y=g(x)で囲まれた部分の面積Sは
S=(テ)/(ト)
である。
さらに、交点P((ソ),0)における曲線y=f(x)の接線と曲線y=g(x)の接線がなす角をθ(0≦θ<π/2)とすると
tanθ=(ナ)/(ニ)
である。


[解答と解説]
(1)
まずは普通に計算して
g(x)-f(x)=(x-a)^3-(x-a)+2a-x^3+x
=-3ax^2+3a^2x-a^3+3a
=a(-3x^2+3ax-a^2+3)

でg(x)-f(x)=0が異なる二つの実数解を持つには、a>0だからそのまま-3x^2+3ax-a^2+3=0に判別式を用いて
9a^2-4(-3)(-a^2+3)>0

(a-2√3)(a+2√3)<0

-2√3<a<2√3

だから

0<a<2√3

です。

もうa^2-12<0くらいでa=2√3しか入らないのがわかるから入れてしまいましょう。


それでg(x)-f(x)は二次関数だから平方完成をして

g(x)-f(x)=a(-3x^2+3ax-a^2+3)
=a(-3(x-a/2)^2-a^2/4+3)

だからこれは上に凸な二次関数でx=a/2のときに最大値
a(-a^2/4+3)=a/4×(12-a^2)
をとるで上手に出来ました。

(2)
なんか知らんけど
h(a)=a/4×(12-a^2)
らしいです。

そしてh(a)の最大値を求めろってことですが、0<a<2√3で≦ではなく<だから端点で最大になることはないことがわかります。
そして3次関数だから微分で
h'(a)=3-3a^2/4
=-3/4×(a-2)(a+2)
でa=2で極値とるので、これ以外に最大になる候補がありません。

センター試験なので増減とか細かいことは考えずにa=2の時、最大値h(2)=4をとります。
数学2Bは時間がたりないことが多いので、どんどんこうやってゲーム感覚でやってください。

(3)
a=√3のときはy=f(x),y=g(x)の二つの交点P,Qはg(x)-f(x)=0を解いて
-3x^2+3√3x=0
でx=0,√3
だからf(0)=0,f(√3)=2√3だから
P(0,0),Q(√3,2√3)
です。

そしてy=f(x),y=g(x)で囲まれた部分の面積ですが、本当は図は書いて欲しいところですがg(x)-f(x)を0から√3まで積分してマイナスならマイナスをとればよいから何も考えずに積分して
∫(0,√3){g(x)-f(x)}dx
ですが、g(x)-f(x)は二次の係数が-3a=-3√3でg(x)-f(x)=0の解が0,√3だから-3√3x(x-√3)なはずです。
だから
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(β-α)^3/6
を利用してこれに-3√3かければいいから面積は
-3√3×{-(√3-0)^3/6}
=9/2
です。
マイナスになってないから、これでオッケーです。

こんな感じでセンターの積分くらいならそんなに計算せずにわかることが多いです。


そして、後はP(0,0)におけるy=f(x)の接線とy=g(x)の接線がなす角度ですが

まず傾き求めるために微分して
f'(x)=3x^2-1
でf'(0)=-1
g'(x)=f'(x-√3)
でg'(0)=f'(-√3)=8
なので
y=f(x)の接線がx軸正方向と角度αをなしy=g(x)の接線がx軸正方向と角度βをなすとして
tanα=-1
tanβ=8
です。
そして二つの接線がなす角度θを求めるにはπ/2より大きいとこと小さいとこ二つ角がありますが、とりあえずは何も考えずにtan(α-β)をもとめて後から帳尻あわせましょう。
tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)
=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)
分母分子をcosαcosβで割ったらみんなtanになるから
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
でこれに値をいれて
=9/7
だから0<α-β<π/2になってるので
tanθ=9/7
です。

もしtan(β-α)を計算して-7/9になったらtan(-δ)=-tanδなのでマイナスとって7/9にするだけです。


tanの加法定理はもちろん瞬間的に出て来るのが理想ですが忘れた時のために導き方書いときました。


センター試験の過去問の解説




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