受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2007年度数学2B第3問、数列と漸化式の問題
センター試験2007年度の数学2B第三問、数列の問題をやります。


[問題]
三つの数列{a_n},{b_n},{c_n}がある。

(1)数列{a_n}は、初項が-27で、漸化式
a_(n+1)=3a_n + 60 (n=1,2,3,…)
を満たすとする。このとき
a_n=(ア)^n - (イウ)
である。数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nは
S_n=((エ)/(オ))((カ)^n-(キ))-(イウ)n
である。また,S_n>0となる最小の自然数nは(ク)である。

(2)第n項が2b_n+c_nで与えられる数列{2b_n+c_n}は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項がb_n-2c_nで与えられる数列{b_n-2c_n}は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。
このときb_n+c_nは

b_n+c_n=((ケ)/(コ))d(n-1) - ((サ)/(シ))xr^(n-1)
と表される。


(3)数列{a_n},{b_n},{c_n}は(1)(2)を満たすとする。さらに、第n項がb_n+c_nで与えられる数列{b_n+c_n}の階差数列は、数列{a_n}であるとする。このとき

a_n=((ケ)/(コ))d+((サ)/(シ))x(1-r)r^(n-1)
であるから、(1)より
r=(ス),x=(セソタ)/(チ),d=(ツテト)
である。したがって、数列{b_n},{c_n}の第n項は、それぞれ
b_n=-(ナ)^n/(ニ)-(ヌネ)(n-1)

c_n=(ノ)^n-(ハヒ)(n-1)
である。


[解答と解説]
(1)これは漸化式の形からanの係数が3だから公比が3で解答欄の形から
a_n=(ア)^n - (イウ)
(ア)は3しか入りません。
それでa_1=-27だから(イウ)は30です。

こんなこと書いてたらしばかれるのでちゃんと漸化式を解くとa_(n+1)とa_nをxにおきかえて
x=3x+60…
これを解いてx=-30
だから
a_(n+1)=3an+60

-30=3(-30)+60
を辺々引いて
a_(n+1)-(-30)=3(a_n-(-30))

a_(n+1)+30=3(a_n+30)
より数列{a_n+30}は公比3の等比数列で
a_n+30=(a_1+30)3^(n-1)
から
a_n=3^n-30
と出ます。

しかしセンターはやるかやられるかの世界なので解答欄の形から(ア)だから3とか判断出来るものは判断して答えるようにしてください。


そしてa_nを初項から第n項までを足しますが
3^n
のとこは
3・3^(n-1)
だからこの部分は足すと
3・(3^n-1)/(3-1)=(3/2)(3^n-1)
になります。

-30
のとこは足すと-30nになるだけですが、解答欄は元から(イウ)を流用して埋めてくれてます。

だから、3^nのとこだけ考えたらオッケーってことです。

だから
S_n=(3/2)(3^n-1)-30n

S_n>0となる最小の自然数と言うところですが、これは二次試験とかなら
S_(n+1)-S_n
を計算して
n>mの時S_(n+1)>S_n
n<mん時S_(n+1)<S_nで…と言うようにしてS_nの増減を調べたりしますが、

解答欄をみると

最小の自然数は(ク)である。

と言うように、一桁なので増減とか考えるよりn=1から順に入れていきます。
増減調べたところで、結局どの辺が正負の境目かわからなくてしらみつぶしみたいになります。

S_1=-27
S_2=-48
S_3=-51
S_4=0
S_5=213>0

でn=5です。

こうやってセンター試験は解答欄を先に見て、解答欄の形から答えを予想してください


(2)
まず等差数列と等比数列の公式から
2b_n+c_n=0+(n-1)d
=d(n-1)

b_n-2c_n=xr^(n-1)

です。

そしてb_nとc_nを求めるんじゃなくてb_n+c_nを求めろってことだから、b_n+c_nを求めるとb_nとc_nは簡単に求まるってことなんかこれ?ってうまくやればすぐにb_n+c_n出せるはずって考えたりしましたが、そんなこと考える前に連立して解いてc_nを出してb_nを出してから足した方がはるかに早いです。

b_n=(2/5)d(n-1)+(1/5)xr^(n-1)
c_n=(1/5)d(n-1)-(2/5)xr^(n-1)

で足して
b_n+c_n=(3/5)d(n-1)-(1/5)xr^(n-1)


まあこうやって、少々方法はまずくても早くやってしまった方が結果が良いと言うことです。
数学だけじゃなくて何についても言えますが。


(3)
これは{b_n+c_n}の階差数列がa_nと言うことなのでb_(n+1)+c_(n+1)-b_n-c_nを計算してマークを塗り塗りしようとするとさっき塗ったがな!ってやつです。

だからセンターはうへ~ってなるのはわかりますが一回落ち着いて解答欄を先に見て欲しいわけです。

と言うことで計算せずとも
an=(3/5)d-(1/5)x(1-r)r^(n-1)
と言うことらしくてこれを(1)の
a_n=3^n-30
を使ってr、x、dを求めるわけですが
3^n=3・3^(n-1)
だからn-1乗になってるとこを比べて
r=3
3^(n-1)の係数を比べて
x(1-r)/5=3
よりx=-15/2
定数部分を浦部手
3d/5=-30
からd=-50
です。

二次試験の時は、こんな解き方では説明が難しいからn=1,2,3の時を比べて連立して解いたかのように書いたらいいと思います。

後はr,x,dの値をb_nとc_nに代入するだけですが、この最後の問題を見るとだからb_nとc_nをr,x,dで表してからb_n+c_nを求めたのかとか言うのが何とかなくわかります。
僕一人が勘違いしてたら申し訳ないですが。


センター試験の過去問の解説




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