受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学1Aの第1問(2)、有理数無理数の必要条件十分条件の問題
センター試験は寒いのでたくさん貼るカイロ持っていったってください。

そしたら2006年度の数学1Aの第1問の(2)いきます。

[問題]
第1問(2)aは実数とし、bは0でない実数とする。aとbに関する条件p,q,rを次のように定める。
p:a,bはともに有理数である
q:a+b,abはともに有理数である
r:1/bは有理数である

(1)次の(ス)に当てはまるものを、下の[0]~[3]のうちから一つ選べ。
条件pの否定p~は(ス)である。

[0]「a,bはともに有理数である」

[1]「a,bはともに無理数である」

[2]「a,bの少なくとも一方は有理数である」

[3]「a,bの少なくとも一方は無理数である」


(2)次の(セ)に当てはまるものを、下の[0]~[3]のうちから一つ選べ。
条件「qかつr」は条件pが成り立つための(セ)。

[0]必要十分条件である
[1]必要条件であるが十分条件ではない
[2]十分条件であるが必要条件ではない
[3]必要条件でも十分条件でもない


(3)次の[0]~[7]のうち、正しいものは(ソ)である。

[0]「p⇒q」は真、「p⇒q」の逆は真。「p⇒q」の対偶は真である。
[1]「p⇒q」は真、「p⇒q」の逆は真。「p⇒q」の対偶は偽である。
[2]「p⇒q」は真、「p⇒q」の逆は偽。「p⇒q」の対偶は真である。
[3]「p⇒q」は真、「p⇒q」の逆は偽。「p⇒q」の対偶は偽である。
[4]「p⇒q」は偽、「p⇒q」の逆は真。「p⇒q」の対偶は真である。
[5]「p⇒q」は偽、「p⇒q」の逆は真。「p⇒q」の対偶は偽である。
[6]「p⇒q」は偽、「p⇒q」の逆は偽。「p⇒q」の対偶は真である。
[7]「p⇒q」は偽、「p⇒q」の逆は偽。「p⇒q」の対偶は偽である。

[解答と解説]
(1)pの否定p~は、否定にする時
ともに→少なくとも一方
に変えます。

だからa,bはともに有理数であるの否定はa,bの少なくとも一方は有理数でない。つまりa,bの少なくとも一方は有理数です。

なぜ
ともに→少なくとも一方
になるのか言うと

ともにa,bは有理数であるって言う状況ではないのは

aが有理数でbが有理数でない
aが有理数ではなくbが有理数。
aとbはともに有理数ではない。

で、これを全部あわせるとa,bの少なくとも一方は有理数でないって言う表現になります。

(2)
必要条件と十分条件ですが
090108_m2.jpg
A⇒Bなら、左のAが十分で、右のAが必要です。
それだけです。

まず
「p⇒qかつr」
つまり

「a,bがともに有理数⇒a+b,abはともに有理数かつa/bは有理数」

ですが、これはさすがに当たり前なので真です。

問題は反対向きの
「qかつr⇒p」
つまり

「a+b,abはともに有理数かつa/bは有理数⇒a,bはともに有理数」

ですが、これはなんか違うっぽそうなので反例を考えます。

a,bの少なくとも一方は無理数なのにa/bが有理数になる簡単な例は、a,bに共通の無理数をかけてa=m√2,b=n√2のような条件です。
(m,nは有理数)

このときabもab=2mnで有理数になってくれます。

そして

a+b=(m+n)√2

だからm=-nであればa+b=0で有理数になります。

だからa=√2,b=-√2が一つの反例です。

したがって
「qかつr⇒p」
は偽です。


(3)は一つ一つ見ていきましょう。

文の最初の「p⇒q」は「a,bはともに有理数⇒a+b,abはともに有理数」
ですがこれは当たり前なので真です。

だから(0)~(4)が候補です。

「p⇒q」の逆つまり「q⇒p」が成り立つかどうかは例えばa=1-√2,b=1+√2ならばa+b=2,ab=-1でqを満たしますがa,bはともに無理数だからpを満たさないので逆は成り立たず偽です。
だから(2)か(3)が候補です。

和と積が有理数になる二つの無理数√m,√n(m,nは有理数)

(√m+√n)(√m-√n)=m^2-n^2

(√m+√n)+(√m-√n)=2√m

はよく出るでの実際には思いつくのではなく覚えてるから反例が出ます。

さらにa,bが解になるような二次方程式
(x-a)(x-b)=0つまりx^2-(a+b)x+ab=0
を考えると、係数が有理数の二次方程式で解は無理数なのはなんぼでもあったように
解と係数の関係とも結び付けておきましょう。

最後に「p⇒q」の対偶は「q~⇒p~」ですが、対偶はそもそも元の命題と同値です。
「p⇒q」⇔「q~⇒p~」
だからさっき「p⇒q」は真だったので、その対偶も真です。

だから答えは(2)です。

センター試験の過去問の解説




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