受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学1Aの第2問、二次関数の最大、最小の問題
センター試験2006年度数学1Aの第2問を僕に説明させてください・


[問題]
第2問
2次関数
y=6x^2+11x-10…①
について考える。
①において、y≦0となるxの値の範囲は
(アイ)/(ウ)≦x≦(エ)/(オ)
である。
①のグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動して得られるグラフをGとする。Gが原点(0,0)を通るとき、
b=(カキ)a^2+(クケ)a+(コサ)
であり、このときGを表す2次関数は
y=(シ)x^2-((スセ)a-(ソタ))x…②
である。

x=-2とx=3に対応する2次関数②の値が等しくなるのは
a=(チツ)/(テト)
のときである。このとき、2次関数②の-2≦x≦3における
最小値は(ナニ)/(ヌ)、最大値は(ネノ)である。


[解答と解説]
6x^2+11x-10≦0
を解きます。解答欄の形から√が無いから因数分解できるはずです。
(2x+5)(3x-2)≦0
より-5/2≦x≦2/3
です。

①をx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動はx→x-a、y→y-bに置き換えて

y-b=6(x-a)^2+11(x-a)-10



y=6x^2-(12a-11)x+6a^2-11a-10+b

これが原点を通るからそのまま(0,0)を入れて

0=6a^2-11a-10+b

b=-6a^2+11a+10

よってGは

y=6x^2-(12a-11)x

です。

x=-2とx=3に対応する2次関数②の値が等しくなるのは…って言う文が微妙に意味がわかりにくいですが、x=-2とx=3の時の値が等しいってことで

6(-2)^2-(12a-11)(-2)=6・3^2-(12a-11)・3

より

a=17/12

で、②は

y=6x^2-6x
=6(x-1/2)^2-3/2

だから-2≦x≦3において頂点(1/2,-3/2)はこの区間内だから、頂点で最小で
最小値-3/2

また-2≦x≦3の中点は(-2+3)/2=1/2で、軸x=1/2と中点は一致し両端の端点で最大となります。
090112_m2.jpg
だから最大値はx=-2を入れて36


x^2の係数が正の二次関数の最大値は、『区間の中点から見て』二次関数の軸(頂点)と反対側の端点、一致するときは両端って反射的に出るようにしてください。
ぱっぱっと素早く図を書いて目で判断できればよく出来ましたって頭なぜられる感じです。


センター試験の過去問の解説




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