受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学1Aの第3問、平面図形と四面体の体積の問題
今からセンター試験2006年度数学1Aの第3問、平面図形と四面体の体積の問題をやろうと思いましたがやっぱりやることにしました。

[問題]
第3問
下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、
AE=√10,AF=8,AH=10
とする。
このとき、FH=(アイ)であり、cos∠FAH=(ウ)/(エ)である。

また、三角形AFHの面積は(オカ)√(キ)である。
090112_m6.jpg

次に、∠AFHの二等分線と辺AHの交点をP,∠FAHの二等分線と辺FHの交点をQ、線分FPと線分AQの交点をRとする。このとき、Rは三角形AHFの(ク)である。次の(0)~(2)のうちから(ク)にあてはまるものを一つ選べ。

(0)重心 (1)外心 (2)内心

また、AP=(ケ)であり、したがって、
PF:PR=(コ):1
となる。さらに、四面体EAPRの体積は(サ)√(シ)である。

補足説明
三角形において、その外接円の中心を外心、その内接円の中心を内心と言う。


[解答と解説]
FHは△AFHの辺ですが、見方をかえると直角三角形EFHの辺でもあります。

だからEFとEHがわかれば三平方の定理でわかります。

さらにEFは直角三角形AFE、EHは直角三角形ADHの辺なので三平方の定理から

EF=√(AF^2-AE^2)
=√54

EH=√(AH^2-AE^2)
=√90

だから

FH=√(54+90)
=12

です。

そしてcos∠FAHは△AFHの三辺の長さがわかってるから余弦定理より

cos∠FAH=(AF^2+AH^2-FH^2)/(2AF・AH)
=1/8

△AFHの面積は、まずsin∠FAHをだして

sin∠FAH=√(1-(cos∠FAH)^2)
=√(63/8)

だから
△AFH=(AF・AHsin∠FAH)/2
=15√7

です。

三辺の長さ求めて余弦定理からcosを出してsinに直して面積を求めると言うよくある三角比の基本問題ですね。



次は三角形の角に二等分線の交点ですが、内心になります。

これは中学の時からたぶんやってると思いますが、二等分線上ではその二辺への距離が等しいので交点は三辺への距離が等しくなる点です。
だからその点を中心にして内接円がかけます。


APを求めろってことですが、これは
090112_m5.jpg
三角ABCがあって∠Aの二等分線とBCとの交点をDとすると
AB:AC=BD:DC
となることを使います。

これも中学のときにたぶんやったと思います。

センター試験の平面図形では、中学の知識を使いまくるのでそういう気持ちでのぞむだけでかなり違うと思います。

証明は平行線を作る方法がありますが、高校で三角比を習えば面積で考えた方が直接的にわかりやすいです。

AB:ACは△ABDと△ADCを二等分された角で面積を考えた場合でsinとADと1/2までは共通なのでABとACが残ります。

BD:DCは△ABDと△ADCをBDとDCを底辺で高さは共通な三角形の面積と考えています。

なので
AB:AC=BD:DC
です。


この定理を△AFHと∠AFHの二等分線に使って、AP:PH=AF:FH=8:12=2:3
だから
AP=2/(3+2)×AH
=4
です。

またこれを同じように△AFHで∠FAPの二等分線に使って

FR:RP=AF:AP
=8:4
=2:1

だから
PF:PR=2+1:1
=3:1

です。


最後に四面体EAPRですが、これは△APRを底面と考えても高さをだすのが凄い複雑そうです。
しかし、これも中学生になった気分でやってください。
そうすれば、微妙に解きやすくなります。


今までの誘導を考えてください。
△AFHの面積やPF:PRを求めさせられました。


これが意味するところを考えてみください。

これらから△AFHと△APRの面積の比がわかります。

と言うことは△AFHを底面としてる四面体EAFHを考えればいいのではないかって仮説がたちます。

しかし高さはどうすればいいのか?って考えると四面体EAFHの体積は先にわかりそうです。
090112_m4.jpg
見方をかえると四面体EAFHは三角形EFHを底面で高さがAEです。

これは簡単に体積が求まります。

1/3・(1/2・EF・EH)・AE
=15√6

です。

そして体積がわかれば△AFHを底面と考えたとき、高さは△AFHでわればわかります。


四面体の高さを求める時に、分かりやすい方法で体積を出してから3かけて底面積で割る…これは中学生の家庭教師してる時に僕もよくやりました。


ただ高さは出してもいいですが、計算しなくても△AFHと△APRの面積の比から体積を求められます。


それでそのも△AFHと△APRの面積の比ですが

090112_m3.jpg

これも中学生的にやって、

まず△AFHで
△AFP:△HFP=AP:PH=AF:FH=2:3

だから△APRを含むほうの三角形AFPの方は全体の三角形AFHの何倍かを考えて
△AFP=2/(2+3)×△AFH
=2/5×△AFH

今度はその△AFPで
△AFP:△APR=PF:PR=3:1

だから
△APR=1/3×△AFP
=1/3×2/5×△AFH
=2/15×△AFH

よって△APRは△AFHの2/15倍です。


だから四面体EAPRの体積も高さが共通な四面体EAFHの2/15倍です

したがって
2/15×15√6=2√6

と決まります。

だからセンター試験の図形は中学生的に考えてみることと(本当は二次試験でも)、誘導の意図を考えることが大切です。

誘導をよく見てストーリーをつかんだってください。


センター試験の過去問の解説




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