受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学1Aの第4問、確率の問題
今からセンター試験2006年度数学1Aの第4問確率の問題をやらざるをえなくなりました。

[問題]
第4問
袋A,B,C,Dがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。
各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋A,B,C,Dからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をa,b,c,dとする。

(1)a,b,c,dの最大の数が3以下である場合は(アイ)通りあり、最大の数が4である場合は(ウエオ)通りある。

(2)a,b,c,dについて、a<b<cとなる場合は(カキ)通りある。

(3)出た数a,b,c,dによって、次のように得点を定める。
a≦b≦c≦dのときは、(d-a+1)点
それ以外のときは、0点

(i)得点が1点となる確率は(ク)/(ケコ)であり、得点が4点となる確率は(サ)/(シスセ)である。

(ii)得点の期待値は(ソタ)/(チツテ)点である。


[解答と解説]

(1)
3以下はになるのは、a,b,c,dのどれもが1~3通りだから
3^4=81通りです。

そして最大の数が4であるのは、全体の総数4^4=256通りから全て3以下であるものを取り除けばどれか一つは4である場合だけが残るから
256-81=175通りです。

これはもうやり方を丸暗記していて欲しい問題です。


(2)
dは何でも良いから4通りで、a<b<cってなるにはまず1~4の数字から3つ選んで小さい順番に並べればよいから4C3=4通り。
(例えば(2,4,1)って組み合わせはa=1,b=2.c=4が対応)
だから
4×4=16通りです。

このa<b<cってなる場合を、組み合わせ4C3を使って求める方法はよく使うので解き方を覚えておいて欲しいです。

(3)
得点が1点になるのは
d-a+1=1だからd=aの時です。
この時、a≦b≦c≦dからa=b=c=dです。
だから全部1~4の4通りしかなくて
4/256=1/64
です。

得点が4点になるには
d-a+1=4よりd-a=3だから(a,d)=(1,4)しかありません。

後はb,cの選び方ですがb<cとなるのはさっきやったように1~4の数字から2つ選んで小さい順に並べて4C2=6通りです。
またb=cになるのは1~4の4通りで合計6+4=10通りです。

だから10/256=5/128


得点の期待値は後は2点と3点になる確率を求めなければなりませんが

2点になるには
d-a+1=2よりd-a=1だから(a,d)=(1,2)(2.3)(3,4)の三通りで
(1,2)の時はb,cはさっきと同様にしてb<cは1と2の二つの数字から2つ選んで1通り、b=cは1~2の2通りで2+1=3通り。
(2,3)(3,4)も同じだから3×3=9通り

3点になるには
d-a+1=3よりd-a=2だから(a,d)=(1,3)(2,4)の2通りで
(1,3)の時は同じようにb<cは3C2通り、b=cは3通りで3+3=6。
(2,4)の場合も同じだから6×2=12通り。

だから期待値は

1×4/256+2×9/256+3×12/256+4×10/256=49/128

です。

もっと他にも色々やり方あると思いますが、基本は数え上げようとする!って言うのがセンターのコツです。


センター試験の過去問の解説




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