受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学2B第1問の(2)、対数の問題
センター試験がやりたい年頃なので、2006年度の数学2Bの第1問の[2]をやります。


[問題]
第1問[2]
2log_3(x)-4log_x(27)≦5…(*)
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう。


(1)不等式(*)において、xは対数の底であるから
x>(セ)かつx≠(ソ)
を満たさなければならない。また
log_x(27)=(タ)/log_3(x)
である。

(2)不等式(*)は
(セ)<x<(ソ)のとき
(チ)(log_3(x))^2-(ツ)log_3(x)-(テト)≧0
x>(ソ)のとき
(チ)(log_3(x))^2-(ツ)log_3(x)-(テト)≦0
と変型できる。したがって、求めるxの値の範囲は
(セ)<x≦(√(ナ))/(ニ),(ソ)<x≦(ヌネ)
である。


[解答と解説]
底の条件は、1以外の正です。
1なら何乗しても1になってしまうからあかんってやつです。
だから
x>0かつx≠1
です。

真数にもxがありますが、すでに底の条件で正なので真数の条件の正も満たされています。
また
それで底を3に揃えるわけですが、底の変換
log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)
を使います。

log_x(27)=log_3(27)/log_3(x)
=3/log_3(x)

です。

(2)

(セ)<x<(ソ)のときって書いてますが、これは(1)で答えたやつで
0<x<1です。

なんかこういうのをよく見ておかないと、解こうとして考え込んでしまうのがセンターの注意しなければならないところです。

でlogは真数が1で正負が切り替わって(0乗は1)このときは、log_3(x)<0だから
2log_3(x)-4log_x(27)≦5

2log_3(x)-12/log_3(x)≦5

2(log_3(x))^2-5log_3(x)-12≧0

x>1のときはlog_3(x)>0だから不等式は反対で
(*)

2(log_3(x))^2-5log_3(x)-12≦0
です。

後はこれを解くわけですが、因数分解が出来ます。

0<x<1のとき

2(log_3(x))^2-5log_3(x)-12≧0

(2log_3(x)+3)(log_3(x)-4)≧0

でlog_3(x)<0だからlog_3(x)-4<0なので

2log_3(x)+3≦0

log_3(x)≦-3/2

これを解くには全部log_3にしたらよくて-3/2=log_3(3^(-3/2))=log_3(3^(1/(3√3)))

だから
log_3(x)≦log_3(3^(1/(3√3)))

よりlog_3(x)は増加関数だから、log_3をとっても大小関係はそのままで

x≦1/(3√3)=(√3)/9

0<x<1とあわせて

0<x≦(√3)/9


同じように

x>1のとき

(2log_3(x)+3)(log_3(x)-4)≦0

でlog_3(x)>0だから2log_3(x)+3>0なので

log_3(x)-4≦0

だから4もlog_3にすると4=log_3(3^4)=log_3(81)で
log_3(x)≦log_3(81)

よりlog_3(x)は増加関数だから、log_3をとっても大小関係はそのままで

x≦81

1<xとあわせて

1<x≦81

です。


センター試験の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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