右目が痛いから、センター試験2006年度の数学2Bの第1問の[1]、三角関数の問題をやることにしました。


[問題]
第1問[1]0°≦θ＜180°の範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える。

sinθ=tとおけば

cos2θ=(ア)-(イ)t^(ウ)
であるから、y=f(θ)とおくと

y=-(エ)t^(ウ)+(オ)t+(カ)

である。したがって、yの最大値は(キク)/3であり、最小値は(ケ)である。

また、αが0°＜α＜90°を満たす角度でf(α)=3のとき
sin(α+30°)=((コ)√(サ)+√(シ))/(ス)
である。

[解答と解説]
はい、加法定理ですね。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

これを覚えてもらって
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
をαもβもθにすると
cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2
=1-2(sinθ)^2

だからsinθ=tとおくと
cos2θ=1-2t^2
です。


出来れば
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ＝(cosθ)^2-(sinθ)^2
=1-2(sinθ)^2
=2(cosθ)^2-1
は覚えて欲しいですが、覚えてないときや忘れときはこんな感じでやってください。

y=f(θ)とおくとcos2θ=1-2t^2を代入して
y=3(1-2t^2)+t+4t
=-6t^2+4t+3
=-6(t-1/3)^2+11/3
で、t=sinθの範囲は0°≦θ＜180°から0≦t≦1だから、yは頂点で最大でt=1/3のとき最大値は11/3。

最小値は、0≦t≦1の中点は1/2で、軸x=1/3は1/2より左側なので右側が長くなるから右端のt=1で最小になります。
だから最小値はt=1のとき1です。

上に凸な二次関数の最小値は、範囲の中点より二次関数の軸が右側なら左端で最小、二次関数の軸が左側なら右端で最小です。


0°＜α＜90°だからcosα＞0、t=sinα＞0です。

f(α)=3より

-6t^2+4t+3=3
⇔
t(3t-2)=0
でt＞0だから
t=2/3
つまり
sinα=3/2です。
sin(α+30°)=sinαcos30°+cosαsin30
だからcosαも必要です。

cosα＞0より
cosα=√(1-(sinα)^2)
=√(1-t^2)
=(√5)/3

だから
sin(α+30°)=(3/2)(√3/2)+(√5/3)(1/2)
=(2√3+√5)/6

で求まりました。


センター試験の過去問の解説