受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学2B第2問、微分積分の問題
タコが入ってるたこ焼食べたいからセンター試験2006年度の数学2Bの第2問、微分積分の問題をやります。


[問題]
第2問
aを正の実数として、C1,C2をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
C1:y=x^2
C2:y=x^2-4ax+4a(a+1)

また、C1とC2の両方に接する直線をlとする。

(1)点(t,t^2)におけるC1の接線の方程式は
y=(ア)t-t^(イ)
であり、この直線がC2に接するのはt=(ウ)のときである。

したがって、直線lの方程式は
y=(エ)x-(オ)
であり、lとC2の接点の座標は
((カキ)+(ク),(ケコ)+(サ))
である。

(2)C1とC2の交点をPとすると、Pの座標は
(a+(シ),(a+(シ))^2)
である。点Pを通って直線lに並行な直線をmとする。直線mの方程式は
y=(ス)x+a^(セ)-(ソ)
である。直線mとy軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲は
a>(タ)である。
a>(タ)のとき、C1のx≧0の部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Sはaを用いて

S=((チ)/(ツ))((テ)+1)^(ト)((ナニ)-1)
と表される。

[解答と解説]
(1)(x^2)'=2xより点(t,t^2)での接線の傾きは2tで、接線は点(t,t^2)を通るから
y-t^2=2t(x-t)

y=2tx-t^2
です。

これがC2に接するには、y=x^2-4ax+4a(a+1)からyを消去して判別式が0になればいいから

x^2-4ax+4a(a+1)=2tx-t^2

x^2-2(2a+t)x+4a^2+4a+t^2=0

で判別式はxの係数は2倍だから
ax^2+2b'x+c=0の判別式をDとするとD/4=b'^2-acって言うのを使って

(2a+t)^2-4a^2-4a-t^2=0

a(t-1)=0
だからa>0よりt=1です。

xの係数が2倍の時の判別式は覚えてたら、微妙に計算早くなります。
中途半端に覚えていて間違えたら意味ありませんが。


それでt=1をy=2tx-t^2に代入して

y=2x-1

でこれが直線lです。

lとC2の接点はさっきのy消去した式x^2-2(2a+t)x+4a^2+4a+t^2=0にt=1を入れて
(x-2a-1)^2=0
からx=2a+1です。

これをy=x^2-4ax+4a(a+1)に入れて

y=4a+1

だから
(2a+1,4a+1)です。


または
(x^2-4ax+4a(a+1))'=2x-4a

でlがy=2x-1より傾きが2だから、微分係数が2になる点が接点になるはずで
2x-4a=2よりx=2a+1とかいうようにやる方法もあります。


(2)
C1とC2の交点はて
C1:y=x^2
C2:y=x^2-4ax+4a(a+1)
からy消去して

x^2=x^2-4ax+4a(a+1)

ax=a(a+1)
でa>0だからx=a+1です。
解答欄を見るからにx座標がわかればy座標は自動的に決まって。
P(a+1,(a+1)^2)


直線mは傾きはlに平行なので2です。
そして点P(a+1,(a+1)^2)を通るから

y-(a+1)^2=2(x-(a+1))

y=2x+a^2-1


これがy切片が正になるってことなので

a^2-1>0

(a+1)(a-1)>0
aは正だからa+1>0で
a-1>0
より
a>1

そして最後の面積Sを求めるにはC1とmの図を書いて積分します。
090113_m2.jpg
図を書くと、ちょうど直線mの関数からC1の関数をひいたのをx=0から点Pのx=a+1まで積分すれば良いことがわかります。

∫(0,a+1){(2x+a^2-1)-x^2}dx
=[-x^3/3+x^2+(a^2-1)x](0,a+1)
=(a+1)^2(-(a+1)/3 + 1 + (a-1))
=1/3・(a+1)^2(2a-1)

で上手に出来ました。

これは特に工夫無しに普通に計算したらいい計算です。


センター試験の過去問の解説




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