受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学2Bの第3問、数列の問題
もう疲れてきた。

センター試験2006年度の数学2Bの第3問の数列の問題の解説いきます。


[問題]
第3問
a,b,cを相異なる実数とする。数列{x_n}は等差数列で、最初の3項が順にa,b,cであるとし、数列{y_n}は等比数列で、最初の3項が順にc,a,bであるとする。

(1)bとcはaを用いて
b=((アイ)/(ウ))a,c=(エオ)a
と表され、等差数列{x_n]の公差は((カキ)/(ク))aである。

(2)等比数列{y_n}の公比は(アイ)/(ウ)であるから、{y_n}の初項から第8項までの和は、aを用いて
((ケコサ)/(シス))a
と表される。

(3)数列{z_n}は最初の3項が順にb,c,aであり、その階差数列{2_n}が等差数列であるとする。
このとき、{w_n}の公差は((セ)/(ソ))aであり。{w_n}の一般項は
w_n=((タ)n-(チツ))a/(テ)
である。したがって、数列{z_n}の一般項は、aを用いて
z_n=(a/(ト))((ナ)n^2-(ニヌ)n+(ネノ))
と表される。

[解答]
何かセンターっぽく見えない問題です。

(1)
a,b,cって順に等差数列なので
b=(a+c)/2
で、
c,a,bって順に等比数列なので
a^2=cb
です。

これは定石と言えば定石で覚えていて欲しいですが、
例えばa_n=a_1+(n-1)dって言う等差数列{a_n]があると

a_(n-1)+a_(n+1)=2a_1+(n-2+n)d
=2(a_1+(n-1)d)
=2a_n
だから
{a_(n-1)+a_(n+1)}/2=a_n
(a_(n-1)とa_(n+1)の相加平均はa_nって意味)

b_n=b_1・r^(n-1)の等比数列{b_n}があると
b_(n-1)・b_(n+1)=(b_1)^2・r^(n-2+n)
={b_1・r^(n-1)}^2
=(a_n)^2
(b_(n-1)とb_(n+1)の相乗平均はb_nって意味)

となります。

話しは戻って
b=(a+c)/2
a^2=cb
からcを消去する方針でまずa^2=bcからb=0するとa=0となり相異なることに反するからb≠0で
c=a^2/b
これをb=(a+c)/2に代入して
b=(a+a^2/b)/2

b^2-ab-a^2=0

(2b+a)(b-a)=0

b≠aより
b=-a/2

a^2=bcに代入して
a^2=-ac/2

a(2a+c)=0
ここでa=0とするとa^2=bcよりbまたはcが0となって相異なることに反するからa≠0で
c=-2a
です。

公差は等差数列の隣り合う項の差をとればいいから
b-a=-a/2-a=-3a/2
です。
(公差dとするとd+a=b⇔d=b-a)

(2)等比数列{y_n}の公比はc,a,bって言う順番なのでb=(-1/2)aより公比は-1/2です(公比rとするとb=ra)。
これは問題文に書いてあるので、別にいいんですが。

また
y_n=c・(-1/2)^(n-1)
=-2a・(-1/2)^(n-1)
だから{y_n}の初項から第8項までの和は

-2a(1-(-1/2)^8/(1-(-1/2))
=-255/192
=-85/64
です。


(3)z_1=b,z_2=c,z_3=aで{z_n}の階差数列が{w_n}だから
z_2-z_1=w_1
z_3-z_2=w_2
です。
だからw_nの公差は
w_2-w_1=z_3-z_2-(z_2-z_1)
=a-2c+b
=a+4a-a/2
=(9/2)a
で初項はw_1=c-b=-2a+a/2=-3a/2だから等差数列{w_n
}の一般項は
w_n=-3a/2+(n-1)(9/2)a
=(9n-12)a/2

よって{z_n}の一般項は

z_(n+1)-z_n=w_n
だからn≧2のとき
z_n=z_1+∑(k=1~n-1)w_k
=-a/2+(9(n-1)n/2-12(n-1))a/2
=a/4・(9n^2-33n+22)

です。
解答欄からこれでオッケーですが一応n≧2の式でn=1とおくと-a/2になってz_1=-a/2(=b)を満たしn=1のときも成立します。

センター試験の過去問の解説




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