受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2006年度数学2Bの第4問、ベクトルの問題
センター試験は数学1Aと数学2Bとに分かれてるから孤独を感じるんかもしれんな。

と言うことで、2006年度数学2B第4問ベクトルの問題をやりましょう。

孤独や…。

[問題]
第4問
平面上の三つのベクトルa→,b→,c→は

|a→|=|b→|=|c→|=|a→+b→|=1
を満たし、c→はa→に垂直で、b→・c→>0であるとする。

(1)a→とb→の内積は
a→・b→=(アイ)/(ウ)
である。また
|2a→+b→|=√(エ)
であり、2a→+b→とb→のなす角は(オカ)°である。

(2)ベクトルc→とa→とb→で表すと

c→=(√(キ))/(ク)・(a→+(ケ)b→)
である。

(3)x,yを実数とする。ベクトルp→=xa→+yc→が
0≦p→・a→≦1,0≦p→・b→≦1
を満たすための必要十分条件は

(コ)≦x≦(サ),x≦(√(シ))y≦x+(ス)
である。xとyの上の範囲を動くとき、p→・c→は最大値√(セ)をとり、この最大値をとるときのp→をa→とb→で表すと
p→=(ソ)a→+(タ)b→
である。


[解答と解説]
なにか一見センターっぽく見えない問題ですね。
(1)
内積を長さで表すって言うのをちょっと意識してみてください。
a→・b→=1/2・(|a→+b→|^2-|a→|^2-|b→|^2)
=1/2・(1-1-1)=-1/2

他には

a→・b→=1/4・(|a→+b→|^2-|a→-b→|^2)

a→・b→=1/2・(|a→|^2+|b→|^2-|a→-b→|^2)

とかがあります。

|2a→+b→|はベクトルでは長さは内積の二乗と定義されるから

|2a→+b→|^2=4|a→|^2+4a→・b→+|b→|^2
=4-2+1
=3
だから
|2a→+b→|=√3です。

2a→+b→とb→のなす角度をθとすると

cosθ=((2a→+b→)・b→)/|2a→+b→||b→|
って考えるのが普通ですが

(2a→+b→)・b→=-1+1=0
なので
90°です。


(2)c→をa→とb→であらわすことを考えるとまず
c→=sa→+tb→
とあらわせて
c→⊥a→より

(sa→+tb→)・a→=0

s-t/2=0…①

また
|c→|=1より

(sa→+tb→)・(sa→+tb→)=1

s^2-st+t^2=1…②

①②からtを消去して
s^2-2s^2+4s^2=1

s=±(√3)/3
で①に代入して
t=±2(√3)/3
(複合同順)

c→=±((√3)/3)(a→+2b→)
で解答欄から答えは一つのはずで

c→=((√3)/3)(a→+2b→)
の場合しか解答欄にあいません。

と言うように解答欄から答え予想をフルに生かしてください。

まあでも一応勉強なのでb→・c→>0の条件があるから
±((√3)/3)(a→+2b→)・b→=±(√3)/2
だからプラスの方が答えです。


(3)
p→・a→=(xa→+yc→)・a→
=x

p→・b→=(xa→+yc→)・b→
=-x/2+y(√3)/2

だから
0≦x≦1

0≦-x/2+y(√3)/2≦1

x≦(√3)y≦x+2

です。

そして
p→・c→=p→・{((√3)/3)(a→+2b→)}
=(√3)x/3+(2√3)/3・(-x/2+y(√3)/2)
=y

だから

0≦x≦1,x≦(√3)y≦x+2
を表す領域の図を書いてyの最大となる点を調べます。

090113_m3.jpg
図からx=1と(√3)y=x+2の交点でyが最大になるから
(x,y)=(1,√3)のとき最大値√3をとって

p→=a→+√3c→
=2a→+2b→
です。


センター試験の過去問の解説




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