| センター試験2006年度数学2Bの第4問、ベクトルの問題 |
| センター試験は数学1Aと数学2Bとに分かれてるから孤独を感じるんかもしれんな。 と言うことで、2006年度数学2B第4問ベクトルの問題をやりましょう。 孤独や…。 [問題] 第4問 平面上の三つのベクトルa→,b→,c→は |a→|=|b→|=|c→|=|a→+b→|=1 を満たし、c→はa→に垂直で、b→・c→＞0であるとする。 (1)a→とb→の内積は a→・b→=(アイ)/(ウ) である。また |2a→+b→|=√(エ) であり、2a→+b→とb→のなす角は(オカ)°である。 (2)ベクトルc→とa→とb→で表すと c→=(√(キ))/(ク)・(a→+(ケ)b→) である。 (3)x,yを実数とする。ベクトルp→=xa→+yc→が 0≦p→・a→≦1,0≦p→・b→≦1 を満たすための必要十分条件は (コ)≦x≦(サ),x≦(√(シ))y≦x+(ス) である。xとyの上の範囲を動くとき、p→・c→は最大値√(セ)をとり、この最大値をとるときのp→をa→とb→で表すと p→=(ソ)a→+(タ)b→ である。 [解答と解説] なにか一見センターっぽく見えない問題ですね。 (1) 内積を長さで表すって言うのをちょっと意識してみてください。 a→・b→=1/2・(|a→+b→|^2-|a→|^2-|b→|^2) =1/2・(1-1-1)=-1/2 他には a→・b→=1/4・(|a→+b→|^2-|a→-b→|^2) や a→・b→=1/2・(|a→|^2+|b→|^2-|a→-b→|^2) とかがあります。 |2a→+b→|はベクトルでは長さは内積の二乗と定義されるから |2a→+b→|^2=4|a→|^2+4a→・b→+|b→|^2 =4-2+1 =3 だから |2a→+b→|=√3です。 2a→+b→とb→のなす角度をθとすると cosθ=((2a→+b→)・b→)/|2a→+b→||b→| って考えるのが普通ですが (2a→+b→)・b→=-1+1=0 なので 90°です。 (2)c→をa→とb→であらわすことを考えるとまず c→=sa→+tb→ とあらわせて c→⊥a→より (sa→+tb→)・a→=0 ⇔ s-t/2=0…�� また |c→|=1より (sa→+tb→)・(sa→+tb→)=1 ⇔ s^2-st+t^2=1…�� �´△�らtを消去して s^2-2s^2+4s^2=1 ⇔ s=±(√3)/3 で�，紡綟�して t=±2(√3)/3 (複合同順) c→=±((√3)/3)(a→+2b→) で解答欄から答えは一つのはずで c→=((√3)/3)(a→+2b→) の場合しか解答欄にあいません。 と言うように解答欄から答え予想をフルに生かしてください。 まあでも一応勉強なのでb→・c→＞0の条件があるから ±((√3)/3)(a→+2b→)・b→=±(√3)/2 だからプラスの方が答えです。 (3) p→・a→=(xa→+yc→)・a→ =x p→・b→=(xa→+yc→)・b→ =-x/2+y(√3)/2 だから 0≦x≦1 と 0≦-x/2+y(√3)/2≦1 ⇔ x≦(√3)y≦x+2 です。 そして p→・c→=p→・{((√3)/3)(a→+2b→)} =(√3)x/3+(2√3)/3・(-x/2+y(√3)/2) =y だから 0≦x≦1,x≦(√3)y≦x+2 を表す領域の図を書いてyの最大となる点を調べます。 
図からx=1と(√3)y=x+2の交点でyが最大になるから (x,y)=(1,√3)のとき最大値√3をとって p→=a→+√3c→ =2a→+2b→ です。 センター試験の過去問の解説  |
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