受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2005年度数学1A第1問、二次関数と確率の問題
ちょっとセンター試験2005年度数学1aの第1問解くからよしろう呼んできて。


[問題]
第1問
[1]
aを定数とし、xの2次関数
y=x^2-2(a+2)x+a^2-a+1
のグラフをGとする。

(1)グラフGとy軸との交点のy座標をYとする。
Yの値が最小になるのはa=(ア)/(イ)のときで、最小値は(ウ)/(エ)である。
このときグラフGはx軸と異なる2点で交わり、その交点のx座標は。
(オ)±(√(カキ))/(ク)
である。

(2)グラフGがy軸に関して対称になるのはa=-(ケ)のときで、このときのグラフをG1とする。

グラフGがx軸に接するのはa=-(コ)/(サ)のときで、このときのグラフをG2とする。

グラフG1をx軸方向に(シ)/(ス),y軸方向に(セソ)だけ平行移動するとグラフG2に重なる。

[2]
大小2個のさいころを投げ、出た目の数をそれぞれa,bとし、2次関数y=x^2-(b-2)/aのグラフをCとする。

(1)グラフCとx軸との共有点の個数が0個である確率(すなわりグラフCがx軸と共有点をもたない確率は)は(タ)/(チ)であり、共有点の個数が1個である確率は(ツ)/(テ),共有点の個数が2個である確率は(ト)/(ナ)である。

(2)グラフCとx軸との共有点の個数の期待値は(ニ)/(ヌ)である。

(3)グラフCとx軸とが共有点をもち、かつ共有点のx座標がすべて整数となる確率は(ネノ)/(ハヒ)である。


[解答と解説]
[1]
(1)
グラフGとy軸との交点は、y切片のことだからx=0を代入して
Y=a^2-a+1

Y=(a-1/2)^2+3/4
だからa=1/2の時、Yは最小値3/4をとる。

x軸との交点のx座標は
x^2-2(a+2)x+a^2-a+1=0
にa=1/2を入れて
x^2-5x+3/4=0

4x^2-20x+3=0
より
x=(5±√22)/2

(2)y軸対称になるには、二次関数の軸がx=0になるところだから

y=x^2-2(a+2)x+a^2-a+1
=(x-(a+2))^2-5a-3

より軸はx=a+2でa+2=0としてa=-2

でG1:y=x^2+7

x軸に接する時は頂点のy座標が0だから-5a-3=0よりa=-3/5で

G2:y=(x-7/5)^2

だから
090114_m1.jpg
G1をy軸方向に-7、x軸方向に7/5平行移動すればG2になることがわかります。


[2]
(1)センターの確率は数え上げるような感じが多いです。

まず共有点の個数は
y=x^2-(b-2)/a
って言う式から判別式と言うよりy切片であって頂点のy座標になる-(b-2)/aの正負で判断したらします。

共有点の個数が0になるのは
-(b-2)/a>0の時
だからa>0より
b<2であればよく、これを満たすのはb=1だけです。
aは1~6なんでもオッケーです。
だから6通りなので確率は6/36=1/6です。

共有点の個数が1になるのは
-(b-2)/a=0の時
だからb=2です。
aは1~6なんでもオッケーです。
だから6通りなので確率は6/36=1/6です。

共有点の個数が2個になるには
-(b-2)/a<0の時だからb>2です、
これを満たすのはb=3,4,5,6で
aは1~6なんでもオッケーです。
だから24通りなので確率は24/36=2/3です。

(2)グラフCとx軸との共有点の個数の期待値は(1)から普通に計算して

1×1/6+2×2/3=3/2

(3)共有点を持つのはb=2,3,4,5,6の時ですが、その時の共有点のx座標は
x=±√((b-2)/a)
だからこれが整数になるには(b-2)/aが0,1,2^2=4,3^2=9,4^2=16…になる時です。
まず
(b-2)/a=0はb=2でaは1~6何でもいいから6通り

(b-2)/a=1はb=2+aでこれを満たすa,bは(a,b)=(1,3)(2,4)(3,5)(4,6)の4通りです。

(b-2)/a=4はb=2+4aでこれを満たすa,bは(a,b)=(1,6)の1通りです。

(b-2)/a=9はb=2+9aでこれを満たすa,bは無くて、9以上は無いことがわかります。

だから確率は
11/3


センター試験の過去問の解説




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