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2005年度の数学1A第2問の整式の割り算と必要条件、十分条件と三角比の問題です。


[問題]
第2問
[1]a,bを実数とし、xの整式
A=x^4+(a^2-a-1)x^2+(-a^2+b)x+b^3
B=x^2-x-a
を考える。AをBで割った商をQ,余りをRとすると,
Q=x^2+x+a^(ア)

R=(a+b)x+a^(イ)+b^(ウ)
である。

(1)R=x+7のとき、a=(エ)またはa=(オカ)である。

(2)(キ)と(ク)に当てはまるものを、下の(0)〜(3)のうちから一つずつ選べ。
(i)a＜-1/2は、すべての実数xに対してQ＞0となるための(キ)。
(ii)a+b=0は、AがBで割り切れるための(ク)

(0)必要十分条件である
(1)必要条件であるが十分条件ではない
(2)十分条件であるが必要条件ではない
(3)必要条件でも十分条件でもない

[2]線分ABを直径とする半円周上に2点C,Dがあり,
AC=2√5,AD=8,tan∠CAD=1/2
であるとする。

このとき
cos∠CAD=((ケ)√(コ))/(サ)

CD=(シ)√(ス)
である。

さらに
△ADCの面積は(セ)
AB=(ソタ)
である。


[解答と解説]
まずAをBで割ります。

x^4+(a^2-a-1)x^2+(-a^2+b)x+b^2={x^2(x^2-x-a)+x^3+ax^2}+(a^2-a-1)x^2+(-a^2+b)x+b^3
=x^2B+x^3+(a^2-1)x^2+(-a^2+b)x+b^3
=x^2B+{x(x^2-x-a)+x^2+ax}+(a^2-1)x^2+(-a^2+b)x+b^3
=(x^2+x)B+a^2x^2+(-a^2+a+b)x+b^3
=(x^2+x)B+{a^2(x^2-x-a)+a^2x+a^3}+(-a^2+a+b)x+b^3
=(x^2+x+a^2)B+(a+b)x+a^3+b^3
だから
Q=x^2+x+a^2,R=(a+b)x+a^3+b^3
です。

本当は筆算でやりますが、まあパソコンのテキストなので普通の式で書きました。

(1)R=x+7の時は係数を比べてR=(a+b)x+a^3+b^3とxの係数を比べて
a+b=1
a^3+b^3=7

でa^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(a+b){(a+b)^2-3ab}
=1-3ab
だから
1-3ab=7⇔ab=-2
よって
a,bは次の二次方程式の解である。
t^2-t-2=0
⇔
(t-2)(t+1)=0
よりt=2,-1

だからa=2,-1です。

こうやって対称式であることを生かして、計算を簡単にしていきましょう。


(2)
必要条件や、十分条件の問題です。
これを聞くと頭痛くなったり、どっちか忘れたりしますが

⇒の左にあれば十分条件、右にあれば必要条件です。
⇒の左に縦線を入れると十に見える、⇒の右は必っぽく見えるから…
それだけです

(i)
Q=x^2+x+a^2
すべての実数xに対してQ＞0⇔判別式D＜0
でした。

D=1-4a^2
=-(2a-1)(2a+1)
だから

すべての実数xに対してQ＞0⇔a＜-1/2,1/2＜a
です。

なので

a＜-1/2⇒a＜-1/2,1/2＜a(⇔すべての実数xに対してQ＞0)

です。
a＜-1/2は十分条件です。
で
a＜-1/2,1/2＜aであれば、1/2＜aの時はa＜-1/2ではないから逆は成り立ちません。

a＜-1/2は必要条件ではありません。

だから(2)が正解です。

(ii)
AがBで割り切れる⇔すべてのxに対してR=0

すべてのxに対してR=0は
R=(a+b)x+a^3+b^3
のxの係数と定数は0で
a+b=0かつa^3+b^=0
ですがa+b=0の時点でa^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)だからa^3+b^3=0は満たされます。

だから
AがBで割り切れる⇔すべてのxに対してR=0⇔a+b=0
よって必要十分条件で(0)です。


[2]
数学はまず図を描くのがコツなので図を描いてください。

tanθ=sinθ/cosθ
より
(tanθ)^2=(sinθ)^2/(cosθ)^2
={1-(cosθ)^2}/(cosθ)^2
=1/cosθ^2-1
から
(tanθ^2)=1/(cosθ)^2-1

と言う式がありましたが
これから
cosθ=±1/√{1+(tanθ)^2}
です。

よって
cos∠CAD=±1/√{5/4}
=±(2√5)/5

と二つ答えが出て困ったことになりましたが文中の解答欄の形
cos∠CAD=((ケ)√(コ))/(サ)
から
cos∠CAD=(2√5)/5
ってわかります。

まあセンターはこうやって解答欄の形をフルに生かして欲しいですが、説明するとこれ点C,DはABを直径とする半円上なので∠CADは弧CDの円周角だから90°以下だとわかります。やっぱりそういうのは図を描くからわかります。


半円を弧とした円周角は90°でした。
そして半円より大きい弧の円周角は90°以上でした。

中学の幾何の知識はよく使うので、復習しといてください。
特に円周角はよく使います。

余弦定理から
CD^2=AC^2+AD^2-2AC・ADcos∠CAD
=20

よりCD=2√5

また
sin∠CAD=√(1-((2√5)/5)^2)
=1/√5

より
△ADC=1/2・AD・ACsin∠CAD
=8

最後のABですが、△ADCは円にABを直径とする円に内接してることがわかります。
やっぱりそういうのは図を描くから気づきます。
それでちょっと忘れがちな正弦定理を使って外接円の半径Rとすると

CD/sin∠CAD=2R
から
R=5
です。

だからAB=2R=10

まあCD/sin∠CAD=1/2Rだったかな？って思ってもAB=1/10は解答欄にあわないから間違いなことわかりますが。


センター試験ではよく正弦定理で外接円の半径を求めさせれるような気がするから、チェックしていくと良いと思います。

外接円の半径のとこを忘れたときは、直角三角形にして考えると導けます。

センター試験の過去問の解説