受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2005年度数学2B第1問、三角関数の最大値、最小値と指数、対数の大小関係の問題の解説
センター試験は隣のおっさんのもんじゃなかったんや。みんなのもんやったんや。

そういうことに気づいた2005年度数学2Bの第1問、三角関数の最大値、最小値と指数、対数の大小関係の問題をやります。


[問題]
第1問
[1]座標平面上の3点
A(-1,-0),B(cosθ,sinθ),C(cos2θ,sin2θ)
について、θが0°≦θ≦180°の範囲を動くとき
d=AC+BC
の最大値と最小値を求めよう。


(1)AC^2=(ア)+2cos2θ
=(イ)(cosθ)^2

BC^2=(ウ)-2cosθ
=(エ)(sin(θ/2))^2

であるから
d=(オ)|cosθ|+(カ)sin(θ/2)
である。

(2)t=sin(θ/2)とおく。
0°≦θ≦90°のとき
0≦t≦(√(キ))/(ク)であり、d=-(ケ)t^2+(コ)t+2である。
90°≦θ≦180°のとき
(√(キ))/(ク)≦t≦1であり、d=-(ケ)t^2+(コ)t-2である。

したがって、dはt=(√サ)/シのとき最小値√(ス)をとり、このときのθの値は(セソ
)°である。また,dはt=(タ)のとき最大値(チ)をとり、このときのθは(ツテト)°である。

[2]x,y,zは正の数で2^x=(5/2)^y=3^zを満たしているとする。このとき
a=2x,b=5y/2,c=3z
とおき、a,b,cの大小関係を調べよう。

(1)x=y(log_2((ナ))-(ニ))であるから

b-a=y((ヌ)/2-2log_2((ナ)))
である。したがって、aとbを比べると(ネ)の方が大きい。
(2)x=zlog_2((ノ))であるから」
c-a=z(3-2log_2((ノ)))
である。したがって、aとcを比べると(ハ)の方が大きい。

(3)3^5<(5/2)^6であることを用いると、a,b,cの間には大小関係
(ヒ)<(フ)<(ヘ)
が成り立つことがわかる。


[解答と解説]
(1)
座標が与えられてる時、長さ^2は(x座標の差)^2+(y座標の差)^2でした。

AC^2=(cos2θ-(-1))^2+(sin2θ-0)^2
=2+2cos2θ
=2+2(2(cosθ)^2-1)
=4(cosθ)^2

(cos(2θ)=cosθcosθ-sinθsinθ
=(cosθ)^2-(1-(cosθ)^2)
=2(cosθ)^2-1)

BC^2=(cosθ-(-1))^2+(sinθ-0)^2
=2-2cosθ
=4(sin(θ/2))^2

(cos2θ=cosθcosθ-sinθsinθ
=1-2(sinθ)^2
より
(sinθ)^2=(1-cos2θ)/2
でθをθ/2と書き換えると
(sinθ/2)^2=(1-cosθ)/2
)

だから
d=√4(cosθ)^2 + √4(sin(θ/2))^2
=2|cosθ|+2sinθ/2

です。

絶対値が付くとかつかないとかは、解答する上では問題文に載ってるから考えなくていいですが0°≦θ≦180°から-1≦cosθ≦1、0≦sin(θ/2)≦1です。

ニ倍角や半角の公式は覚えてるのが理想ですが、完璧に覚えてない場合は加法定理から導いてください。

(2)
0°≦θ≦90°のとき、0°≦θ/2≦45°だから0≦sinθ/2≦(√2)/2です。

0≦t≦(√2)/2

そして
cosθ=1-2(sin(θ/2))^2
=1-2t^2
(cos2θ=1-2(sinθ)^2でθをθ/2に置き換える)

d=2|cosθ|+2sinθ/2
=|2-4t^2|+2t
ですが|2-4t^2|の正負を考えなくてもこれで

0°≦θ≦90°のとき
0≦t≦(√(キ))/(ク)であり、d=-(ケ)t^2+(コ)t+2である。
90°≦θ≦180°のとき
(√(キ))/(ク)≦t≦1であり、d=(ケ)t^2+(コ)t-2である。

にあうように入れるには(ケ)=4,(コ)=2しかありません。


ちゃんと正負を考えても簡単にわかると思いますが。


よって
0°≦θ≦90°のとき
0≦t≦(√2)/2でd=-4t^2+2t+2
90°≦θ≦180°のとき
(√2)/2≦t≦1でd=4t^2+2t-2

ついでに平方完成しといて
0≦t≦(√2)/2でd=-4(t-1/4)^2+9/4
(√2)/2≦t≦1でd=4(t+1/4)^2-9/4

dの最小値と最大値はグラフを描いて欲しいですが、
二次関数は最大値と最小値は頂点と端点でしかとりえません。

だから
t=0,1/4,(√2)/2,1
のどれかで最大値、最小値になりますが

dはt=(√サ)/シのとき最小値√(ス)をとり

って書いてるから、ここにはt=(√2)/2しか入りません。
そして最小値はd=√2です。

このときのθはθ/2=45°のとこだから90°です。

そして最大値も

dはt=(タ)のとき最大値(チ)をとり

って書いてあるから、t=0か1です。
t=0ではd=2
t=1ではd=4だからt=1で最大値4をとります。

このときのθはθ/2=90°のところだからθ=180°です。


ちゃんとした解説としては

090114_mm3.jpg
こうやってグラフを描いて、
0≦t≦(√2)/2の中点は(√2)/4で軸t=1/4がこれより左からこの区間では最小になるのは右端のt=(√2)/2になります。
最大値はもちろん頂点でd=9/4です。

(√2)/2≦t≦1ではただの増加関数ですね。

だから最小値は同じt=(√2)/2のとこで最大値はt=1のところのd=4です。

で9/4<4だからt=1のとこが最大とわかります。


[2]
(1)
2^x=(5/2)^y
ですが
x=y(log_2((ナ))-(ニ))
って式にするにはlog_2をとればよさそうなので

log_2(2^x)=log_2((5/2)^y)

x=y(log_2(5/2))
=y(log_2(5)-1)
です。

b-a=5y/2-2x
=5y/2-2y(log_2(5)-1)
=y(9/2-2log_2(5))

大小関係はyは正だから9/2-2log_2(5)の正負で決まりますがlog_2にまとめて

log_2(2^(9/2)-log_2(5^2)

2^(9/2)=16√2<16×1.5=24

5^2=25

だから
2^(9/2)-5^2<0で
底2の対数は増加関数だからそのまま大小関係はたもたれて

log_2(2^(9/2)-log_2(5^2)<0

よってb<aだからaの方が大きいとわかりました。

(2)
x=zlog_2((ノ))の式から今度は
2^x=3^zの式でlog_2をとればよさそうで

x=log_2(3^z)
=zlog_2(3)

c-a=3z-2x
=3z-2zlog_2(3)
=z(3-2log_2(3))

でこれもcは正で
3-2log_2(3)=log_2(2^3)-log_2(3^2)
=log_2(8)-log_2(9)<0
(8<9だから)

よってc<aでaの方が大きいです。

(3)
(1)(2)からb<a,c<aなので
bとcの大小関係がわかればいけます。
(1)(2)はヒントにもなってるので同じようにやってみます。
(5/2)^y=3^z
をlog_2をとって
ylog_2(5/2)=zlog_2(3)
y=zlog_2(3)/log_2(5/2)

だから
b-c=5y/2-3z
=(z/2log_2(5/2))(5log_2(3)-6log_2(5/2))
=(z/2log_2(5/2))(log_2(3^5)-log_2(5/2)^6)

でこれに
3^5<(5/2)^6
を使って
log_2(3^5)-log_2(5/2)^6<0
とわかります。

だから
b<c

よって
b<c<a

です。
センター試験の過去問の解説




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