受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角形の角の二等分線の定理の解説、図形的な意味は面積の比
△ABCがあって、∠BACの二等分線との交点をDとすると
AB:AC=BD:DC
が成り立ちます。
090115_m1.jpg
証明はADと平行な点Cを通る線を引いて、BAの延長線との交点をEとすると
錯覚∠DAC=∠ACE
同位角∠BAD=∠AEC
だから
∠ACE=∠AECになってAC=AEになるからDA//CEから
AB:AE=BD:DCに入れて
AB:AC=BD:DCと言う証明法がありますが、

AB:ACとBD:DCは
△ABDと△ADCの面積の比であると思った方が図形的意味がわかりやすいと思います。

DからAB,ACにそれぞれ垂線H,Iを降ろすと
直角三角形ADHとADIは斜辺のADが共通で∠DAH=∠DAIだから直角三角形の合同条件、斜辺と一つの鋭角が等しいので合同です。
だからDH=DIで、△ABDと△ADCをそれぞれDHとDIが高さで底辺がABとACであると考えると面積の比は
1/2×DH×AB:1/2×DI×AC
=AB:AC
です。

また△ABDと△ADCをそれぞれ底辺がBDとDCであると考えると、高さhは共通です。
だから面積の比は
1/2×h×BD:1/2×h×DC
=BD:DC
です。

よって
AB:AC=BD:DC
です。


高校の範囲では∠OAB=∠OAC=θとおくと
△ABD=1/2・AB・ADsinθ
△ACD=1/2・AC・ADsinθ
だから
BD:DC=1/2・AB・ADsinθ:1/2・AC・ADsinθ

BD:DC=AB:AC
と言うように、△ABDと△ACDの面積で違うのはABとACだけって直接的にわかります。

だから、AB:AC=BD:DCは△ABDと△ADCの比のとこで、それぞれABとACを底辺と考えたのと、BDとDCが底辺と考えたものであると見ることができます。

中学数学の公式や問題の解説

高校数学の公式や問題の解説




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