受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2005年度数学2B第2問、微分積分の問題の解説
センター試験さようなら、そしてセンター試験こんにちわ。
2005年度数学2Bの第2問の微分積分の問題いっときます。

[問題]
第2問
aを定数とし、放物線
y=x^2+2ax-a^3-2a^2
をC,その頂点をPとする。

(1)頂点Pの座標は
((アイ),-a^(ウ)-(エ)a^2)
である。したがって、どのような定数aについても、頂点Pは
y=x^(オ)-(カ)x^2
のグラフ上にある。

(2)aが-3≦a<1の範囲を動くとする。頂点Pのy座標の値が最大となるのはa=(キ)とa=(クケ)のときであり、最小となるのはa=(コサ)のときである。

(3)aの値を(2)で求めた(キ),(クケ),(コサ)とするときの放物線CをそれぞれC1,C2,C3とする。放物線C2,C3の方程式は
C2:y=x^2-(シ)x+(ス)
C3:y=x^2-(セ)x
である。

このとき
C1とC2の交点のx座標は(ソ)/2
C1とC3の交点のx座標は(タ)
C2とC3の交点のx座標は(チ)/2
である。

(4)C1,C2,C3を座標平面上に図示したとき、それらの位置関係を表す量も適当なものは、下の図(0)~(3)のうち(ツ)である。ただし、座標軸や曲線名は省略してある。
三つの放物線C1,C2,C3で囲まれた図形の面積は(テト)/(ナ)である。

090115_m2.jpg

[解答]
(1)頂点を求めるには平方完成して
y=x^2+2ax-a^3-2a^2
=(x+a)^2-a^3-3^a2
で頂点は
(-a,-a^3-3a^2)
です。

どのような定数aについても、頂点Pは
y=x^(オ)-(カ)x^2
のグラフ上にある。

って言うのはaを動かした時の頂点の軌跡のことで

yをxについて表すことを考えて

x=-a
y=-a^3-3a^2
から
y=x^3-3x^2

なので頂点Pは
y=x^3-3x^2
のグラフ上です。

(2)
aが-3≦a<1の時、はx=-aなので
-1<x≦3の時のy=x^3-3x^2の最大値と最小値を求めることになります。

三次関数なので微分すると
y'=3x^2-6x
=3x(x-2)

だから最大値と最小値は極大極小と端点のどれかでとりますが、そうなるxは
x=0,2,3

しかありません。
aになおすと
a=0,-2,-3
です。

最大となるのはa=(キ)とa=(クケ)のときであり、最小となるのはa=(コサ)

と言う文章から、(キ)はa=0しか入りません。

後は
a=-2のときy=-a^3-3a^2からy=-4
a=-3のときy=-a^3-3a^2からy=0

での残りの最大になるのはa=-3で、最小にになるのはa=-2です。


本当は増減調べてグラフを書いて判断するべきですが…まあセンターはこういう風に解答欄から予想するのがコツです。
090115_m3.jpg

(3)
a=-3のとき
C2:y=x^2-6x+9
a=-2のとき
C3:y=x^2-4x

でC1も求めておいてa=0のとき
C0:y=x^2

です。
C1とC2の交点はy消去して
-6x+9=0から,x=3/2
同様にC1とC3の交点は
x=0
C2とC3の交点は
-6x+9=-4xよりx=9/2

x^2が消えるから、交点は一つしかでません。

(4)
C1:y=x^2、頂点(0,0)
C2:y=(x-3)^2、頂点(3,0)
C3:y=(x-2)^2-4、頂点(2,-4)

xの順番に並び替えて
(0,0),(2,-4),(3,0)
だから真ん中の関数の頂点が一つだけ下に出てるやつです。
090115_m2.jpg
(3)ですね。

後は面積ですが

交点は(3)で求めさせられていました。

090115_m4.jpg
図から、x=0からx=3/2まではC1からC3を引いて

∫(0,3/2)(x^2-(x^2-4x))dx
=∫(0,3/2)4xdx
です。

そしてx=3/2からx=9/2まではC2からC3を引いて

∫(3/2,9/2)(x^2-6x+9-(x^2-4x))dx
=∫(3/2,9/2)(-2x+9)dx

だから面積は
∫(0,3/2)4xdx+∫(3/2,9/2)(-2x+9)dx=…
ですが、これは1次関数の積分とは言えば分数をx=3/2,9/2入れるのはしんどいです。
しかし、そこは頑張って欲しいところですが1次関数の積分と言えばよく考えるとただの三角形や台形の面積です。

よって
y=4x(0≦x≦3/2)
y=-2x+9(3/2≦x≦0/2)
のグラフを書くと
090115_m5.jpg
底辺9/2,高さ6の三角形の面積なことがわかります。

だから答えは
6×9/2=27/2


センター試験の過去問の解説




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