受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2005年度数学2B第3問、ベクトルの問題の解説
今日もセンター試験やし、明日もセンター試験やるだけや。
2005年度数学2B第3問ベクトルの問題をやります。


[問題]
第3問
座標平面上の3点O(0,0),P(4,0),Q(0,3)を頂点とする三角形OPQの内部に三角形ABCがあるとする。A,B,Cから直線OQに引いた垂線とOQとの交点をそれぞれA1,B1,C1とする。A,B,Cから直線OPに引いた垂線とOPとの交点をそれぞれA2,B2,C2とする、A,B,Cから直線PQに引いた垂線とPQとの交点をそれぞれA3,B3,C3とする。
A1が線分B1C1の中点であり、B2が線分A2C2の中点であり、C3が線分A3B3の中点であるとする。
090115_m6.jpg

AB→=→(x,y),AC→=(z,w)とおく。A1が線分B1C1の中点であるからw=(ア)yである。B2が線分A2C2の中点であるからz=(イ)xである。線分ABの中点をDとすると、C3が線分A3B3の中点であるから

CD→・PQ→=(ウ)
である。また
PQ→=((エオ),(カ)),CD→=((キ)/(ク))(AB→-(ケ)AC→)
であるから
y=((コサ)/(シ))x
である。したがって
AB→=x(1,(コサ)/(シ)),AC→=x((イ),(ス)/(セ))
である。ゆえに
AC=((ソ)(√(タチ))/(ツ))AB,cos∠BAC=(√(テト))/(ナニ)
である。


[解答と解説]
090115_m6.jpg


図を見るとA1やB1やC1って言うのはx座標は0で、y座標がA,B,Cと一致してます。
同様にA2やB2やC2って言うのはy座標は0で、x座標がA,B,Cと一致してます。

AB→=(x,y)

の図形的意味は始点をOにすると、後ろから前を引いて(始点の揃える式講座)

OB→-OA→=(x,y)

だから(Bのx座標)-(Aのx座標)=x
(Bのy座標)-(Aのy座標)=y

同様に

AC→(z,w)
から

OC→-OA→=(z,w)

だから
(Cのx座標)-(Aのx座標)=z
(Cのy座標)-(Aのy座標)=w

です。

A1が線分B1C1の中点は
B1A1=C1A1
なので
B1A1=(Aのy座標)-(Bのy座標)
=-y
C1A1=(Cのy座標)-(Aのy座標)
=w
だから

w=-y

と表せます。

同様に

B2が線分A2C2の中点は
(Bのx座標)-(Aのx座標)=x
(Cのx座標)-(Aのx座標)=z
がわかってるから、今度は中点であることを
A2C2=2×A2B2
と考えたら代入しやすくて
A2C2=z
A2B2=x
だから
z=2x
です。

これは、ベクトルの定石とかよりも、その場で図から考えて中学生的に処理してください。
センターはそういう処理能力を求めるところがあります。
中学生的にって言うと幼稚っぽく聞こえますが、まだピチピチの短パンはいてママとパパとお出かけしてた純粋な時と言う良い意味で使ってます。


線分ABの中点をDとしてるから、AA3とBB3はPQに垂直だから平行で
AD:DB=A3C3:C3B3=1:1
よりDC3もAA3とBB3に平行だから、PQに垂直なります。

だからDCはPQに垂直です。
よって

CD→・PQ→=0

こうやって中学生的に考えることが多いです。

PQ→は始点をOにして、後ろのQひく前のPで

PQ→=OQ→-OP→

=(0,3)-(4,0)
=(-4,3)

CD→の方は解答欄を見るとAB→とAC→で表されているからAを始点にします。
こうやって解答欄を先によ~く見てると、解き方の方針がわかってきます。

CD→=AD→-AC→
で点Dは線分ABの中点だからAD=1/2・AB→
なので
CD→=1/2・AB→-AC→
=1/2・(AB→-2AC→)

でy=((コサ)/(シ))xは、さっきCD→・PQ→=0を出したから、これに代入すると思われます。

1/2・(AB→-2AC→)・(-4,3)=0


((x,y)-2(z,w))・(-4,3)=0

(x-2z,y-2w)・(-4,3)=0

でここで最初のw=-yとz=2xを代入して

(-3x,3y)・(-4,3)=0

4x+3y=0

y=(-4/3)x

です。
こうやって、前の問題が誘導になってるのを意識してやれば余り考えずとも何となく解けます。
反対に数学の力があっても、こういうセンター特有の思考に慣れていないと迷走してしまって思わぬ失敗をする危険性があります。


よって
AB→=(x,y)
=x(1,((コサ)/(シ)))
はさっきと同じ括弧なので-4/3です。

AC→も解答欄を見るとxで表せってことなので
z=2x,w=-y=4x/3だから
AC→=x(2,4/3)
です。

また
AC=|AC→|=x√(2^2+(4/3)^2)
=x2(√13)/3
ですが解答欄はABで表せってことなので

AB=|AB→|=x√(1^2+(-4/3)^2)
=5x/3
よりx=3AB/5より
だから
AC=2(√13)/5・AB
で最後に∠BACはAB→とAC→のなす角度で内積と絶対値がわかってるからそれらを使って
cos∠BAC=(AB→・AC→)/(AB・AC)

AB・AC=10(√13)/9・x^2

AB→・AC→=(2-16/9)x^2
=2/9・x^2

だから

cos∠BAC=2/(10√13)
=(√13)/65

センター試験の過去問の解説




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