受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2005年度数学2B第4問、複素数の問題の解説
バレーボールの試合とセンター試験どっちか選べ言われたら難しいですよね。

2005年度数学2Bの第4問、複素数の問題をやります。



[問題]
第4問
二つの複素数p,qと三つの異なる複素数α,β,γは
α+β+γ=0…①
αβ+βγ+γα=p…②
αβγ=q…③
を満たすとする。複素数α、β、γが複素数平面状で表す上をそれぞれA,B,Cとし、三角形ABCは、AB=ACの直角二等辺三角形であるとする。
このとき
arg(γ-α)/(β-α)=±(アイ)°,
|(γ-α)/(β-α)|=(ウ)
である。ここで、複素数zの偏角argzは-180°≦argz<180°を満たすとする。
以下arg(γ-α)/(β-α)=(アイ)°であるとする。このとき、①を用いると
β={((エオ)+(カ)i)/(キ)}α,
γ={((クケ)-(コ)i)/(サ)}α
である。
さらに、②、③から
p=((シ)/(ス))α^(セ),
q=((ソ)/(タ))α^(チ)
である。したがって、pとqは
(ツテ)p^(ト)=(ナニ)q^(ヌ)
を満たさなければならない。
さらに、複素平面上に点Dがあり、四角形ABCDが正方形であるとき、Dを表す複素数は(ネノ)αである。


[解答と解説]
三角形ABCは、AB=ACの直角二等辺三角形だからこれを複素数で表すと

AB=ACより|β-α|=|γ-α|だから|(γ-α)/(β-α)|=1

直角三角形より∠BAC=90°だからarg(β-δ)/(β-α)=±∠BAC=±90°

です。


以下arg(γ-α)/(β-α)=90°です。

解答欄を見るとβとγをαで表すみたいなので、式が二つ必要と予想されます。
一つは①を使ってなので
α+β+γ=0
を使います。
もう一つは、センターは前問が誘導だからさっき求めた
|(γ-α)/(β-α)|=1
arg(γ-α)/(β-α)=90°
を使います。
複素数は一般に偏角argと絶対値が分かれば決まりました。
例えばargz=θ,|z|=rならz=r(cosθ+isinθ)

だから今の場合(γ-α)/(β-α)の偏角と絶対値が分かってるのでこれで決まります。
cos90°+isin90°=i
だから
(γ-α)/(β-α)=1×i=i

これで二式揃ったので、まずγを消去します。
γ=(β-α)i+α
を①に代入して
α+β+(β-α)i+α=0
より
β={(-2+i)/(1+i)}α
={(-2+i)(1-i)/(1+i)(1-i)}α
={(-1+3i)/2}α

γ=(β-α)i+α
={(-1+3i)i/2-i+1)}α
={(-1-3i)/2}α

で求まりました。


p,qもαで表せってことなので
②から
p=αβ+βγ+γα
={(-1+3i)/2}α^2+{(-1+3i)/2}{(-1-3i)/2}α^2+{(-1-3i)/2}α^2
=(-1+10/4)α^2
=(3/2)α^2

③から
q=αβγ
={(-1+3i)/2}{(-1-3i)/2}α^3
=(5/2)α^3

なんか(-1+3i)/2と(-1-3i)/2が共役なので計算しやすいですね。


したがって、pとqは
(ツテ)p^(ト)=(ナニ)q^(ヌ)
を満たさなければならない。


とありますが、流れから言えばきっとαを消去するので
まずαの次数をそろえて
p^3=(3/2)^3α^6
q^2=(5/2)^2α^6

p^3/q^2=(3/2)^3/(5/2)^2

50p^3=27q^2


ABCDが正方形になるには

arg(γ-α)/(β-α)=90°
|(γ-α)/(β-α)|=1

からBをAを中心に90°回転させたらCになります。

だから図を描くと

C


A       B

でAをBを中心に-90°回転させたのがDになれば四角形ABDCが正方形になります。
点Dを表す複素数をδとして
BA→(OA→-OB→で対応する複素数はβ-α)を-90°回転せるとBD→(=OD→-OB→で対応する複素数はδ-β)だから

δ-β=(cos(-90°)+isin(-90°))(α-β)
よりcos(-90°)+isin(-90°)=-iだから
δ=β-i(α-β)
={(-1+3i)/2}α-i[α-{(-1+3i)/2}α]
=-2α

センター試験の過去問の解説




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